第八章 立体几何初步 专题4 空间角与距离的计算考点练习（含答案）--高中数学人教A版（2019）必修第二册

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考点练习：空间角与距离的计算
1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=3,点E、F分别是棱AB、AA1的中点,E、F、C1∈平面α,直线A1D1∩平面α=P,则直线PB与直线CD1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
2.在三棱锥P-ABC中,三条棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=2,若点P,A,B,C均在球O的球面上,则O到平面ABC的距离为(　　)
A. B. C. D.
3.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为(　)
A.20° B.40° C.50° D.90°
4.已知两平行平面α与β间距离为4,直线a β,点A∈a,则平面α内到点A的距离为5,且到直线a的距离为2的点的轨迹是(　　)
A.一组平行线 B.两条线段 C.两段圆弧 D.四个点
5.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E,F分别在边AD,BC上,且AE=1,BF=3,如图所示,沿EF将四边形AEFB翻折成A'EFB',在翻折过程中,二面角B'-CD-E的平面角为θ,则tan θ的最大值为(　　)
A. B. C. D.
6.矩形ABCD中,已知AB=2,BC=4,E为AD的中点.将△ABE沿着BE向上翻折至△A'BE,如图,记锐二面角A'-BE-C的平面角为α,A'B与平面BCDE所成的角为β,则下列结论不可能成立的是(　　)
A.sin α=sin β B.cos α=cos β
C.α<2β D.α-β>
7.(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,下列选项正确的是(　　)
A.直线BD1与平面AB1C不垂直
B.四面体D1AB1C的体积为
C.异面直线AC与直线BC1所成的角为
D.直线AC与平面ABC1D1所成的角为
8.(多选)截角四面体是一种半正八面体,可由四面体经过适当的截角得到,即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体,如图所示,将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面,得到所有棱长均为a的截角四面体,则下列说法正确的是(　　)
A.直线AC与DE所成的角为120°
B.该截角四面体的表面积为7a2
C.该截角四面体的外接球表面积为πa2
D.AF=2a
9.(多选)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为线段B1D1上一动点(包括端点),则以下结论正确的有(　　)
A.三棱锥A1-BDC1外接球表面积为3π
B.三棱锥P-A1BD的体积为定值
C.过点P平行于平面A1BD的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1,截得的多边形的面积为
D.直线PA1与平面A1BD所成角的正弦值的取值范围为
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=8,底面△ABC的边长为2,用一个平面α截此三棱柱,截面与侧棱AA1,BB1,CC1分别交于点M,N,P,且△MNP为直角三角形,给出下列四个结论:
①当△MNP为等腰直角三角形时,斜边与底面所成角的正弦值为;
②当截面MNP将三棱柱截成体积相等的两个几何体时,△MNP的直角顶点一定为所在侧棱的中点;
③截面△MNP面积的最大值为;
④平面α与三棱柱底面所成锐角θ的余弦值最大为.
其中正确结论的序号为　　　　.
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥平ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,
M为PC的中点.
(1)求证:BM∥平面PAD;
(2)设点N在平面PAD内,且MN⊥平面PBD,求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值.
第八章 立体几何初步（参考答案）
专题4 空间角与距离的计算
1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=3,点E、F分别是棱AB、AA1的中点,E、F、C1∈平面α,直线A1D1∩平面α=P,则直线PB与直线CD1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案：B
2.在三棱锥P-ABC中,三条棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=2,若点P,A,B,C均在球O的球面上,则O到平面ABC的距离为(　　)
A. B. C. D.
答案：B
3.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为(　)
A.20° B.40° C.50° D.90°
答案：B
4.已知两平行平面α与β间距离为4,直线a β,点A∈a,则平面α内到点A的距离为5,且到直线a的距离为2的点的轨迹是(　　)
A.一组平行线 B.两条线段 C.两段圆弧 D.四个点
答案：D
5.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E,F分别在边AD,BC上,且AE=1,BF=3,如图所示,沿EF将四边形AEFB翻折成A'EFB',在翻折过程中,二面角B'-CD-E的平面角为θ,则tan θ的最大值为(　　)
A. B. C. D.
答案：C
6.矩形ABCD中,已知AB=2,BC=4,E为AD的中点.将△ABE沿着BE向上翻折至△A'BE,如图,记锐二面角A'-BE-C的平面角为α,A'B与平面BCDE所成的角为β,则下列结论不可能成立的是(　　)
A.sin α=sin β B.cos α=cos β
C.α<2β D.α-β>
答案：D
7.(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,下列选项正确的是(　　)
A.直线BD1与平面AB1C不垂直
B.四面体D1AB1C的体积为
C.异面直线AC与直线BC1所成的角为
D.直线AC与平面ABC1D1所成的角为
答案：BCD
8.(多选)截角四面体是一种半正八面体,可由四面体经过适当的截角得到,即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体,如图所示,将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面,得到所有棱长均为a的截角四面体,则下列说法正确的是(　　)
A.直线AC与DE所成的角为120°
B.该截角四面体的表面积为7a2
C.该截角四面体的外接球表面积为πa2
D.AF=2a
答案：BC
9.(多选)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为线段B1D1上一动点(包括端点),则以下结论正确的有(　　)
A.三棱锥A1-BDC1外接球表面积为3π
B.三棱锥P-A1BD的体积为定值
C.过点P平行于平面A1BD的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1,截得的多边形的面积为
D.直线PA1与平面A1BD所成角的正弦值的取值范围为
答案：ABD
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=8,底面△ABC的边长为2,用一个平面α截此三棱柱,截面与侧棱AA1,BB1,CC1分别交于点M,N,P,且△MNP为直角三角形,给出下列四个结论:
①当△MNP为等腰直角三角形时,斜边与底面所成角的正弦值为;
②当截面MNP将三棱柱截成体积相等的两个几何体时,△MNP的直角顶点一定为所在侧棱的中点;
③截面△MNP面积的最大值为;
④平面α与三棱柱底面所成锐角θ的余弦值最大为.
其中正确结论的序号为　　　　.
答案：③④
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点.
(1)求证:BM∥平面PAD;
(2)设点N在平面PAD内,且MN⊥平面PBD,求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值.
解析：(1)证明:取PD的中点E,连接EM,AE,则EM∥CD且EM=CD,
∵AB⊥AD,CD⊥AD,∴AB∥CD,又AB=CD,
∴AB∥EM,AB=EM,∴四边形ABME是平行四边形,故BM∥AE.
∵AE 平面PAD,BM 平面PAD,∴BM∥平面PAD.
(2)当N为AE的中点时,MN⊥平面PBD,理由如下:
∵PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,
∴PA⊥AB,又AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
∴AB⊥平面PAD,而PD 平面PAD,则AB⊥PD,
又PA=AD,E是PD的中点,∴AE⊥PD,
而AB∩AE=A,AB,AE 平面ABME,
∴PD⊥平面ABME,∵MN 平面ABME,∴PD⊥MN,
在平面ABME内,作MN⊥BE交AE于点N,又PD∩BE=E,PD,BE 平面PBD,
∴MN⊥平面PBD,易知△BME∽△MEN,∵BM=,EM=AB=1,
∴=,即EN==,而AE=,
∴当N为AE的中点时,MN⊥平面PBD.
作NG⊥AD于G,连接BG,则NG⊥平面ABCD,
∴∠GBN是BN与平面ABCD所成的角,
∵NG=PA=,BG==,
∴BN==,则sin∠NBG==.
故直线BN与平面ABCD所成角的正弦值为.
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