第六章 平面向量及其应用 专题训练2 解三角形（含答案）--高中数学人教A版（2019）必修第二册

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专题训练2 解三角形
1.在△ABC中,如果A=45°,c=6,a=4,则此三角形(　　)
A.无解 B.有一解 C.有两解 D.有无穷多解
2.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=8,
b=6,c=4,则中线AD的长为(　　)
A.2 B.2 C. D.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos C+
asin C=b+c,则角A的大小为(　　)
A. B. C. D.
4.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b2+c2-a2=bc,bcos C+ccos B=2,则△ABC的面积的最大值为　　(　　)
A.1 B. C.2 D.2
5.△ABC是钝角三角形,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=2,则c的取值范围是(　　)
A.(,3) B.(1,) C.(1,)∪(,3) D.(1,3)
6.已知在四边形ABCD中,AB=7,BC=13,CD=AD,且cos B=,∠BAD=2∠BCD,则AD=(　　)
A. B.7 C. D.2
7.在△ABC中,下列判断正确的是(　　)
A.若sin 2A=sin 2B,则△ABC为等腰三角形
B.若A>B,则sin A>sin B
C.若△ABC为锐角三角形,则sin A>cos B
D.若·>0,则△ABC是锐角三角形
8.(多选,)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则(　　)
A.AB=4 B.△ABC的面积为1
C.△ABC外接圆的直径是5 D.△ABC内切圆的半径是6-4
9.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　.
10.已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　　　.
11.如图,无人机在离地面高200 m的A处,观测到山顶M处的仰角为30°,山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为　　　　.
12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin(A+C)·=, B=, 则b=　　 　, a+c的取值范围是　　　 　.
13.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, A=, cos=2sin(A+C), △ABC的面积为2.
(1)求b,c的值;
(2)设D为BC上一点,且AD=,求sin∠ADB.
14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
已知c=a(sin B+cos B).
(1)求角A的大小;
(2)若a=,求b-c的取值范围.
15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.
16.如图所示,某镇有一块空地△OAB,其中OA=3km,OB=3km,∠AOB=90°.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖△OMN,其中M、N都在边AB上,且∠MON=30°,挖出的泥土堆放在
△OAM地带上形成假山,剩下的△OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在△OAN的周围安装防护网.
(1)当AM=km时,求OM的长度;
(2)若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍,试确定∠AOM的大小;
(3)为节省投入资金,人工湖△OMN的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使△OMN的面积最小 最小面积是多少
参考答案
专题训练2 解三角形
1.答案：A
2.答案：D
3.答案：C
4.答案：B
5.答案：C
6.答案：B
7.答案：BC
8.答案：ACD
9.答案：2
10.答案：-1
11.答案：(300+100)m
12.答案：;
13.解析：(1)∵cos=2sin(A+C),∴sin C=2sin B,∴c=2b.
又∵△ABC的面积为2,
∴2=bcsin A,即×2b×b×=2,
∴b=2,∴c=2b=4.
(2)在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC,
即a2=4+16-2×2×4×=28,所以a=2.
由正弦定理得sin B==.
在△ABD中,由正弦定理得sin ∠ADB==.
14.解析：(1)∵在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=a(sin B+cos B),
∴===,
∴sin Acos B+sin Bcos A=sin Asin B+sin Acos B,
∵A,B∈(0,π),∴sin B≠0,∴cos A=sin A,
∴A=.
(2)∵a=,∴====2,
即b=2sin B,c=2sin C,且B+C=,则B=-C,
则b-c=2sin B-2sin C=2sin-2sin C
=2-2sin C
=2cos C+2sin C-2sin C=2cos C,
∵0故b-c的取值范围是(-,2).
15.解析：(1)证明:由题设,知BD=,
由正弦定理知=,即=,∴BD=,又b2=ac,
∴BD=b.
(2)解法一:由题意知BD=b,AD=,DC=,
在△ADB中,cos∠ADB==,
同理,在△CDB中,cos∠CDB==,
∵∠ADB=π-∠CDB,
∴=,整理得2a2+c2=,又b2=ac,
∴2a2+=,整理得6a4-11a2b2+3b4=0,
解得=或=,
由余弦定理的推论得cos∠ABC==-,
当=时,cos∠ABC=>1(舍);当=时,cos∠ABC=.
综上,cos∠ABC=.
解法二:在△ABC和△ABD中,由余弦定理的推论得cos A==,将b2=ac代入化简得3c2-11ac+6a2=0,解得c=3a或c=a,
当c=3a时,b2=ac=3a2,所以b=a,此时b+a=(+1)a<3a=c,三角形不存在;
当c=a时,b2=ac=a2,所以b=a,此时cos∠ABC===.
16.解析：(1)在Rt△OAB中,tan∠OAB=,∴∠OAB=60°,
在△AOM中,OA=3,AM=,∠OAM=∠OAB=60°,
由余弦定理得OM===,
故OM的长度为km.
(2)设∠AOM=θ(0°<θ<60°),∵S△OMN=S△OAM,
∴ON·OMsin 30°=·OA·OMsin θ,
即ON=6sin θ,
在△OAN中,由正弦定理得=,
即=,即6sin θ=,即sin 2θ=,
由0°<2θ<120°,得2θ=30°,∴θ=15°,即∠AOM=15°
(3)设∠AOM=α(0°<α<60°),由(2)知ON=,
又在△AOM中,由=,得OM=,
∴S△OMN=OM·ON·sin 30°=···=,
当且仅当2α+60°=90°,即α=15°时,△OMN的面积取得最小值,最小值为km2﹒
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