第六章 章末检测卷（含答案）--高中数学人教A版（2019）必修第二册

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第六章 平面向量及其应用
章节检测
一、单项选择题(本题共6小题,每小题6分,共36分)
1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b=(　　)
A.(-2,-1) B.(2,1) C.(3,-1) D.(-3,1)
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,向量m=(2b+c,sin C),向量n=(sin B,2c+b),且满足m·n=2asin A,则角A=(　　)
A. B. C. D.
3.已知△ABC中,AB=2,AC=1,·=1,O为△ABC所在平面内一点,且满足+2+3=0,则·的值为(　　)
A.-4 B.-1 C.1 D.4
4.已知锐角△ABC中,角A、B、C对应的边分别为a、b、c,acos C+a×sin C-b-c=0,若(ab-c)=btan B,则a的最小值是(　　)
A.1 B. C.2 D.
5.某渔轮在航行中遇险并发出呼救信号.海军舰艇在A处获悉后,测出该渔轮在方位角为45°(方位角是以某点的正北方向为标准线,将标准线绕该点顺时针方向转到目标点所成的角)、距离为10 n mile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9 n mile/h的速度向小岛B靠拢.海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救,则舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间分别为(　　)
A.方位角21.8°,40分钟
B.方位角66.8°,40分钟
C.方位角21.8°,25分钟
D.方位角66.8°,25分钟
6.设θ为两个非零向量a、b的夹角,已知当实数t变化时,|a+tb|的最小值为2,则(　　)
A.若θ确定,则|a|唯一确定 B.若θ确定,则|b|唯一确定
C.若|a|确定,则θ唯一确定 D.若|b|确定,则θ唯一确定
二、多项选择题(本题共2小题,每小题8分,共16分)
7.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,下列四个命题是真命题的是(　　)
A.若==,则△ABC一定是等边三角形
B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形
C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形
D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形
8.已知对任意角α,β均有公式sin 2α+sin 2β=2sin(α+β)cos(α-β).设△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+.面积S满足1≤S≤2.记a,b,c分别为角A,B,C所对的边,则下列式子一定成立的是(　　)
A.sin Asin Bsin C=
B.2≤≤2
C.8≤abc≤16
D.bc(b+c)>8
三、填空题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
9.已知a=(2,4),b=(1,3),则a在b方向上的投影向量的坐标为　　　　.
10.已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c且a=1,bcos A-cos B=1,当A,B变化时,sin B-λsin2A存在最大值,则正数λ的取值范围是　　　.
四、解答题(共36分)
11.已知=(2,4),=(m,n),=(6,0),点O为坐标原点.
(1)若A,B,C三点共线,且=,求;
(2)若||=||,求||的最小值.
12.已知在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,a2=b2+bc,且sin C+tan Bcos C=1.
(1)求角A的大小;
(2)b=1,P为△ABC所在平面内一点,且满足·=0,求BP的取值范围,并求当BP取得最大值时四边形ABCP的面积S.(A,B,C,P四点按逆时针排列)
参考答案
1.答案：A
2.答案：C
3.答案：B
4.答案：D
5.答案：B
6.答案：A
7.答案：AC
8.答案：CD
9.答案：
10.答案：
11.解析：(1)因为=(2,4),=(m,n),=(6,0),
所以=-=(m-2,n-4),=-=(4,-4).
因为=,所以(m-2,n-4)=(1,-1),
解得m=3,n=3.
所以=(3,3).
(2)因为=(m,n),=(6,0),
所以=-=(6-m,-n).
因为=(m-2,n-4)且||=||,
所以=,
整理得m-n-2=0.
||===≥(当且仅当m=1,n=-1时取等号).
所以||的最小值为.
12.解析：(1)因为a2=b2+bc,所以a2-b2=bc,
所以a2+c2-b2=c2+bc,所以cos B===,
所以b+c=2acos B,
由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,
sin B+sin(A+B)=2sin Acos B,
即sin B+sin Acos B+cos Asin B=2sin Acos B,
所以sin B=sin Acos B-cos Asin B,即sin B=sin(A-B),
因为A、B、C为三角形的内角,所以B=A-B,即A=2B,
又由sin C+tan Bcos C=1,可得sin C+=1,
可得sin(B+C)=cos B,所以sin A=cos B>0,
所以2sin Bcos B=cos B,可得sin B=,
因为B∈(0,π),且B是锐角,所以B=,A=.
(2)由(1)可知C=,所以△ABC为直角三角形,
又因为·=0,所以PA⊥PC,
所以P点在以AC为直径的圆上,如图,
因为b=1,所以BC=,AB=2,
设O为AC的中点,连接BO,OP,BP,则BO==,OP=,
因为BO+PO≥BP,所以当B,O,P三点共线时,BP取得最值,
当点B,O,P三点共线且P在线段BO上时,BP取得最小值-,
当点B,O,P三点共线且P在线段BO的延长线上时,BP取得最大值+,
所以BP的取值范围为.
当BP取得最大值+时,如图.
设∠OCP=α,则∠COP=π-2α,
所以sin α==PA,cos α==PC,
所以S△PAC=PA·PC=sin αcos α=sin 2α,在Rt△BCO中,sin∠COB=sin 2α===,
所以(S△PAC)max=sin 2α=×=,
又△ABC的面积为,
所以当BP取得最大值时,四边形ABCP的面积S=+.
综上,BP的取值范围为.
当BP取得最大值时,四边形ABCP的面积S为+.
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