景胜中学 2024-2025 学年度高二月考试题(3月)
数学试题
一、单选题(每题 5 分,共计 40 分)
1.某晚会有三个唱歌节目,两个舞蹈节目,要求舞蹈节目不能相邻,有( )种排法?
A.72 B.36 C.24 D.12
1
2. 2
2 1 ay
6
展开式中 x 2 y3项的系数为 160,则a ( )
x
A.2 B.4 C. 2 D. 2 2
n
3 .在二项式 2x
3 1 的展开式中,所有的二项式系数之和为 64,则该展开式中的 x
6的系数是( )
x
A.60 B.160 C.180 D.240
4.某地病毒暴发,全省支援,需要从我市某医院某科室的 4名男医生(含一名主任医师) 5名女医生(含
一名主任医师)中分别选派 3名男医生和 2名女医生,则在有主任医师被选派的条件下,两名主任医师都
被选派的概率为( )
3 3 6 6A. B. C.8 D.10 11 17
5.甲乙两位游客慕名来到赣州旅游,准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南天龙山、龙南九连山和安
远三百山 5个景点中随机选择其中一个,记事件 A:甲和乙选择的景点不同,事件 B:甲和乙恰好一人选
择崇义齐云山,则条件概率 P(B A) ( )
1 2 9 9
A. B. C. D.
5 5 25 20
1 1 1
6.已知集合 A , , ,
1 , 2,3 ,若 a,b,c A且互不相等,则使得指数函数 y ax,对数函数 y log x,
2 3 2 3
b
幂函数 y xc中至少有两个函数在 (0, )上单调递增的有序数对 (a,b,c)的个数是( )
A.16 B.24 C.32 D.48
7.如图,给 7条线段的 5个端点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有 4种不同的颜色可供
选择,则不同的涂色方法种数有( )
A.24 B.48 C.96 D.120
8.设 ai i 0,1,2, , 2020 是常数,对于 x R ,都有
a0 a1 a2 2!a3 3!a4 4!a5 2018!a2019 2019!a2020
x2020 a0 a1 x 1 a2 x 1 x 2 a2020 x 1 x 2 x 2020 ,则( )
1
{#{QQABIQSQggCIAIBAARgCAQnQCEOQkBGAAAoGBAAMIAAACANABAA=}#}
A. 2019 B. 2020 C. 2019! D.2020!
二、多选题(每题 6 分,共计 18 分)
9.甲罐中有 5个红球,5个白球,乙罐中有 3个红球,7个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,再
从乙罐中随机取出一球. A1表示事件“从甲罐取出的球是红球”, A2表示事件“从甲罐取出的球是白球”,B
表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是( )
A. A
4
1、 A2为对立事件 B. P B A1 11
C.P B 3 D. P B A1 P B A2 110
10 ax2 1
n
.已知 (a 0)的展开式中第 5项与第 7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和
x
为 1024,则下列说法正确的是( )
A.展开式中奇数项的二项式系数和为 256
B.展开式中第 6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含 x15 的项的系数为 35
11.用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩(满分为100分,成绩都是整数)中抽取一个样
本量为100的样本,其中男生成绩数据 40个,女生成绩数据60个,再将 40个男生成绩样本数据分为6组:
40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 ,绘制得到如图所示的频率分布直方图.下列正
确的是( )
A.男生成绩样本数据的平均数为 75
B.估计有80%的男生数学成绩在84分以内
C.在 50,60 和 90,100 内的两组男生成绩中,随机抽取两个
3
进行调查,则调查对象来自不同分组的概率为
7
D.若男生成绩样本数据的方差为187.75,女生成绩样本数据
的平均数和方差分别为73.5和119,则总样本的方差为148
三、填空题(每题 5 分,共计 15 分)
x 2
6
12.
的展开式的常数项是 (用数字作答)
x
13.4名志愿者全部分到 3所学校支教,要求每所学校至少有 1名志愿者,则不同的分法共有 种.
14.在一个给定的正 2n 1 边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点,任何一种选法的可能性是相等的,
2
{#{QQABIQSQggCIAIBAARgCAQnQCEOQkBGAAAoGBAAMIAAACANABAA=}#}
则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为 .
四、解答题(77 分)
15.(13分)设 f x,n 1 x n, n N .
(1)求 f x, 6 的展开式中系数最大的项;
2 n N C04n 1 C1 n 2 2 n 3 n 1 0 n 1( ) 时,化简 n n4 Cn 4 Cn 4 Cn 4 ;
3 C1( )求证: n 2C
2
n 3C
3
n nC
n
n n 2
n 1 .
2
16.(15分)已知 (x ) n2 的展开式中第四项的系数与第二项的系数的比是28 :1.x
(1)求展开式中各项系数的和;
1
(2)求展开式中含 的项.
x
17.(15分)某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%
和35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05,0.04,0.03和0.02 .
(1)每条流水线都提供了两件产品放进展厅,一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品,求这两件产品来自
同一流水线的概率;
(2)从该厂的这一产品中任取一件,抽取不合格品的概率是多少?
3
{#{QQABIQSQggCIAIBAARgCAQnQCEOQkBGAAAoGBAAMIAAACANABAA=}#}
18.(17分)某市 12月的天气情况有晴天,下雨,阴天 3种,第 2天的天气情况只取决于第 1天的天气情
1 1
况,而与之前的无关.若第 1天为晴天,则第 2天下雨的概率为 ,阴天的概率为 ;若第 1天为下雨,则
4 4
1 3 1 1
第 2天晴天的概率为 ,阴天的概率为 ;若第 1天为阴天,则第 2天晴天的概率为 ,下雨的概率为8 .4 4 3
已知该市 12月第 1天的天气情况为下雨.
(1)求该市 12月第 3天的天气情况为晴天的概率;
(2)记 an ,bn ,cn分别为该市 12月第 n n N 天的天气情况为晴天 下雨和阴天的概率,证明: an 1 an 为等
比数列,并求出 an .
19.(17分)已知 (1 x)2020 a 2 20200 a1x a2x ... a2020x .
(1)求 a1 a2 ... a2020 的值;
1 1 1 1
(2)求 ... a 的值.0 a1 a2 a2020
4
{#{QQABIQSQggCIAIBAARgCAQnQCEOQkBGAAAoGBAAMIAAACANABAA=}#}高二数学参考答案
1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.C 8.A
9.AB 10.BC 11.BCD
n 1
12.240 13.36 14.
4n 2
n
15 5.(1) 20x3;(2) ;(3)证明见解析
4
【分析】(1)中间项的二项式系数(也是系数)最大;
(2)在原式乘以 4,然后逆用二项式定理即可;
3 C k C n k( )根据 n n ,将左边利用倒序相加法求和.
【详解】解:(1) f x,6 1 x 6,通项为:Tk 1 C k6 xk,
3 3 3
故各项的系数即为二项式系数,故系数最大的项为T4 C6 x 20x ;
(2 C0) n 4
n 1 C14n 2n C
24n 3n C
n 140 Cn4 1n n
1 1 5 n
C 04n C14n 1 n n C
24n 2n C
n 141n C
n
n 4 1
n ;
4 4 4
(3 1 2)证明:令 S Cn 2Cn 3C
3
n n 1 C n 1 nn nCn ①,
n n 1
则 S nCn n 1 Cn n 2 C n 2n 2C 2n C1n,
S nC 0 n 1 C1 n 2 C 2 2C n 2所以 n n n n C n 1n ②,
0 1 n n① ②得: 2S n Cn Cn Cn n 2 ,∴ S n 2n 1 .
【点睛】本题考查二项式定理的通项、系数的性质以及赋值法.同时考查学生的逻辑推理和
数学运算等数学核心素养.属于中档题.
448
16.(1)1;(2) .
x
【分析】(1)由条件求出 n,然后令 x 1即得展开式中各项系数的和
(2)写出通项公式,然后令 x的次数为-1,即可得出答案
3 3
【详解】解:第四项系数为Cn ( 2) ,
1
第二项的系数为Cn ( 2),
1
{#{QQABIQSQggCIAIBAARgCAQnQCEOQkBGAAAoGBAAMIAAACANABAA=}#}
C3n ( 2)
3
则 1 28,Cn ( 2)
化简得 n 1 n 2 7 6,即 n2 3n 40 0
解得 n 8,或 n 5(舍去).
2 8
(1)在二项式 (x 2 ) 中令 x 1,x
即得展开式各项系数的和为 1 2 8 1.
(2 k 8 k)由通式公式得Tk 1 C8 x (
2
2 )
k C k ( 2)k x 8 3x ,
x 8
令8 3k 1,得 k 3.
1 T C 3( 2)3x 1 448故展开式中含 的项为 4 8 .x x
【点睛】本题考查的是二项式定理的相关知识,属于基本题型.
1
17.(1)
7
(2)0.0315
【分析】(1)根据古典概型的概率公式计算得解;
(2)设 A表示“任取一件产品,抽到不合格品”,Bk 表示“任取一件产品,结果是第 k条流水
线的产品”,结合条件概率和全概率公式,即可求解.
C1 1
【详解】(1)这两件产品来自同一流水线的概率为 42 .C8 7
(2)设 A表示“任取一件产品,抽到不合格品”,Bk 表示“任取一件产品,结果是第 k条流水
线的产品”, k 1,2,3,4,
由题, P B1 0.15, P B2 0.20, P B3 0.30, P B4 0.35,
且 P A B1 0.05, P A B2 0.04, P A B3 0.03, P A B4 0.02,
从该厂的这一产品中任取一件,抽取不合格品的概率是:
P A P B1 P A B1 P B2 P A B2 P B3 P A B3 P B4 P A B4
15% 0.05 20% 0.04 30% 0.03 35% 0.02 0.0315 .
2
{#{QQABIQSQggCIAIBAARgCAQnQCEOQkBGAAAoGBAAMIAAACANABAA=}#}
5
18.(1) .
16
1 1 n 1
(2)证明见解析, an 1
3
.
4
【分析】(1)设“该市 12月第 n天的天气情况为晴天,下雨, 阴天”分别为事件 An,Bn,Cn,
通过列举得到 A3 A2A3 B2A3 C2A3 ,然后利用全概率公式计算概率即可;
(2)记 an P An ,bn P Bn ,cn P Cn ,先根据全概率公式求出 an ,bn ,cn之间的递推关系,
然后利用递推关系求通项公式.
【详解】(1)设“该市 12月第 n天的天气情况为晴天”为事件 An,“该市 12月第 n天的天气
*
情况为下雨”为事件 Bn,“该市 12月第 n天的天气情况为阴天”为事件Cn ,n N ,且1 n 31.
由图可得, A3 A2A3 B2A3 C2A3 ,
由全概率公式可得,
P A3 P A2A3 P B2A3 P C2A3
P A2 P A∣3 A2 P B2 P A∣3 B2 P C2 P A∣3 C2
1 1 1 1 3 1 3 1 5
4
1 1 ,
4 4 4 8 4 8 4 16
5
故该市 12月第 3天的天气情况为晴天的概率为
16
(2)记 an P An ,bn P Bn ,cn P Cn ,a1 0,a
1
2 .4
由(1)可得 An 1 AnAn 1 BnAn 1 CnAn 1,
由全概率公式可得
3
{#{QQABIQSQggCIAIBAARgCAQnQCEOQkBGAAAoGBAAMIAAACANABAA=}#}
an 1 P An 1 P AnAn 1 P BnAn 1 P CnAn 1 .
P An P An ∣1 An P Bn P An ∣1 Bn P Cn P An ∣1 Cn
a 1 1 1 b 1 1 1 1 1 n n c a4 4 4 n 4 2 n
bn cn,
4 4
1 1 1
即 an 1 an bn c ①,2 4 4 n
b 1 a 3 1 1 3 5同理可得 n 1 4 n
b
8 n
c ②, c
3 n n 1
an bn cn③,4 8 12
1 3 3 1 3
②+③得bn 1 cn 1 an bn cn an bn cn ④,2 4 4 2 4
由①得bn cn 4an 1 2an ,则bn 1 cn 1 4an 2 2an 1,
4a 2a 1 a 3代入④得 n 2 n 1 n 4an 1 2an ,即 4a2 4 n 2
5an 1 an,
故 4 a 1n 2 an 1 an 1 an,即 an 2 an 1 a4 n 1 an .
a a 1 0 1 1 1又 2 1 ,所以 a a 是以 为首项, 为公比的等比数列,4 4 n 1 n 4 4
a a 1 1
n 1 1 n
所以 n 1 n
,4 4 4
1
1
1
2 1 3 1 n 1
所以当 n 2时, a2 a1 ,a3 a2
,a4 a3 , ,an a
n 1 ,
4 4 4 4
1 1 n 1
1
1 1 2 3 n 1
累加得 a a 1 1 1
4 4 1
1 1
n 1
n 1
.
4 4 4 4 1 1 3 4
4
1 1 n 1a 0 a
又 1 ,所以 n 1 .3 4
又当 n 1时, a1 0也满足上式,
1 1 n 1
所以 an 1
.
3 4
【点睛】方法点睛:对于数列和概率相结合的题目,一般是先根据条件得到递推公式,然后
再根据递推公式求通项公式.
2021
19.(1) 1;(2) .
1011
【解析】(1)根据已知条件,令 x 0,求得 a0,令 x 1,即可求得 a1 a2 ... a2020 的值;
4
{#{QQABIQSQggCIAIBAARgCAQnQCEOQkBGAAAoGBAAMIAAACANABAA=}#}
k k 1 1 2021 1 1 (2)由二项式定理可得 ak 1 C2020,求得Ck ,由 C k 2022 C k C k 1 ,进而求n 2020 2021 2021
2020 1
得 a ,即可求得答案.k 0 k
1 1 x 2020【详解】( ) a a x a x 2 a x 20200 1 2 2020 ——①.
在①中,令 x 0,得 a0 1 .
在①中,令 x 1,得 a0 a1 a2 a2020 0,
a1 a2 a2020 1.
(2) (1 x)2020 a a x a x2 ... a x20200 1 2 2020 .
k
由二项式定理可得 a kk 1 C2020, k 0,1,2, ,2020.
1 k ! n k ! n 1 k ! n k ! n 2 n 1 k ! n k ! k 1 n 1 k
k Cn n! n 2 n 1 ! n 2 n 1 !
n 1 k ! n 1 k ! k 1 ! n k ! n 1 1 1
n 2 n 1 ! n 1 !
k k 1 ,
n 2 Cn 1 Cn 1
2020 1 2020 1 200 ( 1)
k
k k k
k 0 ak k 0 ( 1) C2020 k 0 C2020
1 1 1
0 1 2 1
2020 1
C C C C 2020 .2020 2020 2020 2020
1 2021 1 1k C k
k 1 ,
2020 2022 C2021 C2021
2020 1 2021 1 1 1 1 1 1
2020a 2022 C 0 C 1 1 2 ( 1) 2020 2021 k 0 k 2021 2021 C 2021 C 2021 C 2021 C 2021
2021 1 1 2021
2022 0
2021
C2021 C2021 1011
5
{#{QQABIQSQggCIAIBAARgCAQnQCEOQkBGAAAoGBAAMIAAACANABAA=}#}