2023-2024学年景胜学校高一月考数学试卷（3月）
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计 40 分 ）
→ → → → →
1. 已知向量 = 1, 3 , = , 1 且 与 的夹角为60 ，则 =（ ）
2 3 1 3 2
A. B. C. D.
3 3 3 3
→ → → → → →
2. 已知向量 = 3,1 , = 2,2 ，则 cos + , =（ ）
1 17 5 2 5
A. B. C. D.
17 17 5 5
→ → → → → →
3. 如图，已知两个单位向量 , 和向量 , = 2. 与 的夹角为 且 cos =
3 → → → → →
， 与 的夹角为45 ，若 = + , ∈ ，则 + =
5
（ ）
A. 3 B. 2 2C.1 D.
2
→ → → → → → →
4. 如图，已知 = ， = , = 2 ，用 , 表示 为（ ）
→ → → → → →
A. = 5 + 2 B. = 1 1
3 3 2 3
→ 2 → 1 → → 1 → 2 →
C. = D. =
3 3 3 3
→ → → →
5. 如图，△ 中，∠ = ， = 2 ， 为 上一点，且满足 = +
3
试卷第 1页，总 4页
{#{QQABCQSQogioAJBAABgCAQ3QCkGQkBGAAIoGAAAEIAAASBNABAA=}#}
1 → → → ，若 = 3， = 4，则 的值为（ ）
2
12 19 13 13
A. B. C. D.
5 2 2 12
→ → → →
6. 在△ 中， 为 上一点， = 3 ， 为 上任一点，若 = +
→
> 0, > 0 3 1，则 + 的最小值是
A.2 3 B.4 + 2 3 C.6 D.12
7. 在△ 中，三边之比 : : = 2: 3: 4 sin 2sin ，则 等于（ ）
sin2
1 1
A. B. C.2 D. 2
2 2
8. 国庆阅兵式上举行升国旗仪式，在坡度为15 的观礼台上，某一列座位与旗杆在同
一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分
别为60 和30 ，第一排和最后一排的距离为 24.5 米，则旗杆的高度约为（ ）（ 2 ≈
1.414， 3 ≈ 1.732， 6 ≈ 2.449）
A.17 米 B.22 米 C.30 米 D.35 米
二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 6 分 ，共计 18 分 ）
→ → → → →
9. 已知向量 = 1,3 , = , 2 ，且 2 ⊥ ，则下列选项正确的是
（ ）
→
A. = 1,2
→ →
B. 3 = 25
→ →
C.向量 与向量 的夹角是45
→ →
D.向量 在向量 上的投影向量坐标是 1,3
10. 设点 是△ 所在平面内任意一点， △ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
试卷第 2页，总 4页
{#{QQABCQSQogioAJBAABgCAQ3QCkGQkBGAAIoGAAAEIAAASBNABAA=}#}
，则下列结论正确的是（ ）
→ → →
A.若点 是△ 的重心，则 + + = 0
→ → →
B.若点 是△ 的垂心，则 + = 0
→ → → → → →
C.若 + = + = 0，则点 是△ 的外心
→ → → →
D.若 + + = 0，则点 是△ 的内心
11. 已知△ 的角 ， 3 ， 所对的边分别为 ， ， ， 2 = 且 = ，则下列
sin cos
说法正确的是（ ）
A. = 30
→ →
+
→
B. → → = 0
C.△ 为等腰非等边三角形
D.△ 为等边三角形
三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计 15 分 ）
→ → → → → → → → → →
12. 已知 1， 2不共线， = 1+ 2 2， = 1+ 2，要使 ， 是一组基底，则实数
的取值范围是________．
→ → → → → → →
13. 已知 = 1,2 ， = 1, 7 ， = 2 + ，则 在 方向上的投影为_________.
→ → →
14. 已知 为△ 的边 上的高， = 4, 2 , = 2,4 , = , 1 ，则
=_______.
四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，共计 77 分 ）
→ → → →
15.(13 分) 已知平行四边形 中， = ， = ， 为 中点， 为 靠近
的三等分点．
→ → → →
1 用基底 ， 表示向量 ， ；
2 求证： ， ， 三点共线．
试卷第 3页，总 4页
{#{QQABCQSQogioAJBAABgCAQ3QCkGQkBGAAIoGAAAEIAAASBNABAA=}#}
→ →
16.(15 分) 已知向量 = cos , sin ， = 3, 3 ， ∈ [0, ]．
→ →
1 若 // ，求 的值；
→ →
2 记 = ，求 的最大值和最小值以及对应的 的值．
→ →
17.(15 分) 如图所示，点 是△ 所在平面上一点，并且满足 = +
→
, ∈ ，已知 = 6， = 2,∠ = 60 .
1 若 是△ 的外心，求 、 的值；
→
2 如果 是∠ 3的平分线上某点，则当 + 达到最小值时，求 的值．
18.(17 分) 已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 + 2 2 = 2 ．
3
（1）若 sin = ，求 ；
3
（2）若 为 中点，且 = ，求 ．
19.(17 分) 在锐角△ 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 3 = 2 sin ．
（1）求角 的大小；
（2）若 = 7，且 = 6，求△ 的周长．
试卷第 4页，总 4页
{#{QQABCQSQogioAJBAABgCAQ3QCkGQkBGAAIoGAAAEIAAASBNABAA=}#}2023-2024学年景胜学校高一月考数学试卷（3月）
参考答案与试题解析
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】向量且与的夹角为，
由平面向量数量积的坐标运算可得，
代入可得，
解得，
所以，
由模的运算求得，
故选：．
2.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】因为，
所以
则 ，
，
所以
故选：．
3.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由，得．由题意，得，在两边分别点乘得，两式相加，得，所以．故选．
4.
【答案】
D
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
由已知中，，，我们由数乘向量的几何意义得到，根据向量减法的三角形法则，可得，代入即可得到答案．
【解答】
解：∵ ，
∴
∴
又∵ ，，
∴ .
故选
5.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
平面向量的基本定理
【解析】
以，为基底表示出，根据可求的值，再根据数量积的运算律计算即可．
【解答】
解：因为，所以，
设，
则，
又，
所以，
所以，解得，，
所以．
故选：．
6.
【答案】
D
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
利用向量共线定理可得：＝．再利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：∵ ，
∴ .
∵ 为上任一点，
∴ ，
∴
，
当且仅当时取等号．
故选.
7.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
首先由结合余弦定理得出，然后根据二倍角公式和正弦定理即可得出结果．
【解答】
解：因为，设，，，
则，
所以．
故选：．
8.
【答案】
C
【考点】
解三角形
【解析】
先求得和，则可求，再利用正弦定理求得，最后在中利用求得的长．
【解答】
解：如图所示，
依题意可知，，
，
由正弦定理可知，
．
在中，
米．
旗杆的高度为米．
故选：．
二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 6 分 ，共计18分 ）
9.
【答案】
A,C
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
数量积表示两个向量的夹角
平面向量的坐标运算
投影向量
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为，所以
则，解得： ，所以，故正确；
，所以，故错误；
又因为，故向量与向量的夹角是，故正确；
向量在向量上的投影向量坐标是： ，故错误．
故选：．
10.
【答案】
A,C,D
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
平面向量数量积
三角形五心
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】对于，若点是的重心，则，∴ ,A正确；
对于，若点是的垂心，则，即,
∴ ，错误；
对于，由得： 与垂直，即与垂直，
又过中点，∴ 点在的中垂线上；
同理可得：点在的中垂线上，∴ 点是的外心，正确；
对于，∴ ，∴ ,
即，∴ ,
∴
∵ 为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
∴ 在的角平分线上，即为的角平分线；
同理可得：为的角平分线，∴ 点是的内心，正确．
故选：．
11.
【答案】
B,D
【考点】
解三角形
正弦定理
【解析】
选项，利用正弦定理将中的边化角，再由同角三角函数的商数关系，得解；
选项，由平面向量的加法运算法则知，与的角平分线共线，再由等边三角形的性质，得解；
选项与，结合与余弦定理，可得，再由选项中的结论，得解；
【解答】
解：对于，由正弦定理及知，，
因为，所以，又，所以，故错误；
对于与，由余弦定理知，，因为，所以，
整理得，即，所以为等边三角形，即选项错误，故正确．
对于，由平面向量的加法运算法则知，与的角平分线共线，
因为为等边三角形，所以，即，故正确；
故选：．
三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）
12.
【答案】
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
根据题意，与不共线，求出与共线时的值，即可得出所求的取值范围．
【解答】
解：当，设，
则有，
故可得，解得，；
即当，
又因为与是一组基底，所以与不共线，
则.
13.
【答案】
【考点】
向量的投影
平面向量的坐标运算
【解析】
利用向量投影公式结合坐标运算求解即可.
【解答】
解：∵ ，
则在方向上的投影为：.
14.
【答案】
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为，所以由得，解得
四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，共计77分 ）
15.
【答案】
解：
，
．
证明：由可得
,
∵ ,
∴ ,
∴ 三点共线.
【考点】
向量的共线定理
平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
由于，，即可得出．
由可得，即可证明，，三点共线．
【解答】
解：
，
．
证明：由可得
,
∵ ,
∴ ,
∴ 三点共线.
16.
【答案】
解：∵ 向量，，．
由，
可得，
即，
∴ ．
由.
∵ ，
∴ ，
∴ 当时，即时；
当，即时．
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
同角三角函数间的基本关系
数量积的坐标表达式
三角函数的最值
【解析】
（1）根据，利用向量的坐标关系建立等式即可求的值．
（2）根据求解求函数＝解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的的值．
【解答】
解：∵ 向量，，．
由，
可得，
即，
∴ ．
由.
∵ ，
∴ ，
∴ 当时，即时；
当，即时．
17.
【答案】
【解析】（）设的中点为，显然
由
设的中点为，显然
由
即;
（2）因为是的平分线上某点，
所以 ，
所以由 ,
由，当且仅当时取等号，即时取等号，此时
所以
所以
【考点】
向量在几何中的应用
平面向量的基本定理及其意义
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】（）设的中点为，显然
由
设的中点为，显然
由
即;
（2）因为是的平分线上某点，
所以 ，
所以由 ,
由，当且仅当时取等号，即时取等号，此时
所以
所以
18.
【答案】
解：（1）由余弦定理得
又，所以，即
由正弦定理得，因为，所以，
因为，所以，
又因为，所以；
（2）因为点是的中点，所以，
所以，
，
因为，所以，
又因为，所以，即，
解得．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
（1）由题意，根据余弦定理，结合三角形内角性质以及正弦定理，可得答案；
（2）由题意，根据向量的基本性质，结合余弦定理，整理齐次方程，可得答案．
【解答】
解：（1）由余弦定理得
又，所以，即
由正弦定理得，因为，所以，
因为，所以，
又因为，所以；
（2）因为点是的中点，所以，
所以，
，
因为，所以，
又因为，所以，即，
解得．
19.
【答案】
解：（1）由及正弦定理得，
因为，故．
又为锐角三角形，所以．
（2）由余弦定理，
，得，
解得：或，
的周长为．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
（1）将根据正弦定理边角互化即可求解；
（2）根据余弦定理求得、的值即可求周长．
【解答】
解：（1）由及正弦定理得，
因为，故．
又为锐角三角形，所以．
（2）由余弦定理，
，得，
解得：或，
的周长为．
试卷第4页，总9页
