广东省两阳中学2023-2024学年高二下学期月考一数学试题（PDF版，含解析）

广东两阳中学 2023-2024 学年度第二学期月考一
高二数学
（时间：120 分钟 分值：150 分）
班别 学号 姓名
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．直线 3x y 3 0的倾斜角为（ ）
π
A． π 2π 5π
6 B． C． D．3 3 6
2．把 5个相同的小球分给 3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（ ）
A．4种 B．6种 C．21种 D．35种
3．如图，在三棱锥P ABC中，点 N为棱 AP的中点，点M 在棱BC上，

且满足CM 2BM，设 PA a,PB b,PC c，则MN （ ）
1 2 1 1 2 a b c a b 1

A． B． c
2 3 3 2 3 3
1 2 1 1 2 1
C． a b c D． a b c
2 3 3 2 3 3
4．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数
列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列 2，4，7，11，16，从第二项起，每
一项与前一项的差组成新数列 2，3，4，5，新数列 2，3，4，5为等差数列，则称数列 2，4，7，
11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列 an ，其中前几项分别为 2，5，9，14，20，27，记
该数列的后一项与前一项之差组成新数列 bn ，则b8 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5． 1 x 1 2x 5 的展开式中 x2的系数为（ ）
A．-40 B．-10 C．40 D．30
6．如图，已知圆柱OO1的轴截面 AA1B1B为矩形， AB 2AA1，P，Q
1
分别为圆柱上、下底面圆周上一点， A P P 1 B2 1
， AQ 2Q B，则异
面直线 PQ与 AB所成角的余弦值为（ ）
试卷第 1页，共 4页
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1
A． B 3 2 3． C． D．
3 3 2 2
ex (2x 1)
7．已知函数 f (x) ，则 f (x)的大致图象为（ ）
x 1
A． B．
C． D．
2 2
8．如图所示，F1， F2是双曲线C :
x y
2 2 1(a 0,b 0)的左、a b
右焦点，双曲线C的右支上存在一点 B满足 BF1 BF2， BF1与双
曲线C的左支的交点A平分线段 BF1，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3 B． 2 3 C． 13 D． 15
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
7 x 79．关于 的展开式，下列判断正确的是( )
A．展开式共有 7项 B．展开式的各二项式系数的和为 128
C．展开式的第 7项的二项式系数为 49 D．展开式的各项系数的和为67
10．已知数列 an 和 bn 满足 a1 1，b1 0，4an 1 3an bn 4，4bn 1 3bn an 4．则（ ）
A． an bn 是等比数列 B． an bn 是等差数列
a b 1 b 1 1C． n n n D．2 n

2n
n
2
11．已知点M 在圆 x2 y2 2x 3 0上，点P 2,1 ，Q 3, 2 ，则（ ）
A．存在点M ，使得 MP 1 B．存在点M ，使得 MP MQ
C． MQP
π
D． MQ 2 MP
4
试卷第 2页，共 4页
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三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．抛物线 2y2 x的焦点坐标为 ．
13．在等比数列 an 中， a2 3,a 81 25 ， Sn为该数列的前 n项和，Tn为数列 an 的前 n项和，
且Tn tS2n，则实数 t的值是 ．
14．已知 f (x) (x 1)ex，若对任意 x1，x2 [ 3，0]，都有 f (x1) f (x2 ) t，则实数 t的取值
范围是 ．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
设 an 是正项等差数列， a3 3，且 a2 ,a5 1,a6 2成等比数列．
(1)求 an 的通项公式；
(2)记 an 的前 n项和为 Sn，且b
1
n S ，求数列 bn 的前 n项和Tn．n
16．（15分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PD
底面 ABCD，PD DC 1，E是 PC的中点，作EF PB交 PB
于点 F．
(1)求证： PB 平面 EFD；
(2)求平面CPB与平面 PBD的夹角的大小．
17．（15分）
3 2
已知函数 f x x ax bx c a,b,c R ，且 1,1是函数 f x 的两个极值点.
(1)求 a与b的值；
(2)若函数 f x 在 2,2 上有最小值为 2，在 2,m 上有最大值，求m的取值范围．
试卷第 3页，共 4页
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18．（17分）
已知函数 f x ax 1 ln x a R ，
1
(1)当 a 时，求函数 f x 在 1,e 上的最大值和最小值；
2
(2)讨论函数 f x 的单调性；
(3)若曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线与 y 轴垂直，不等式 f x bx 2对 x 0, 恒成立，
求实数b的取值范围．
19．（17分）
在平面直角坐标系 xOy中，已知点 F1( 3,0),F2 ( 3,0)， MF1 MF2 4，记M 的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点 1,0 的直线 l与C交于 P,Q两点， A 2,0 ， B 2,0 ，设直线 AP,BP,BQ的斜率分别
为 k1,k2 ,k3．
（i 3）若 k ，求 k2 3；2
（ii）证明： k2 k1 k3 为定值．
试卷第 4页，共 4页
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广东两阳中学 2023-2024 学年度第二学期月考一
高二数学 参考答案
班别 学号 姓名
1．B【分析】由直线的斜率计算倾斜角.
【详解】直线 3x y 3 0改写为斜截式方程为 y 3x 3，所以直线斜率 k 3，则直线倾斜
π
角为 .故选：B
3
2．B【分析】元素相同问题用隔板法.
2
【详解】利用隔板法：由题可知使每个小朋友都能分到小球的分法有C4 6种.故选：B .
3．A【分析】根据空间向量基本定理结合空间向量的线性运算即可得解.

【详解】因为点 N为棱 AP的中点，CM 2BM，设 PA a,PB b,PC c，所以
1 MN MB BP PN CB PB 1

PA
3 2
1 PB PC PB 1 1 PA PA 2 PB 1 1 2 1 PC a b c .故选：A.3 2 2 3 3 2 3 3
4．C【分析】根据概念，先写出等差数列 bn 的前几项，得到通项公式，再求数列的第 8项.
【详解】由题意，数列 bn 的前几项为：3,4,5,6,7，且数列 bn 为等差数列，所以：bn n 2，
故b8 8 2 10 .故选：C.
5 D r r r． 【分析】利用二项式展开式的通项公式C5 ( 2) x 即可求解.
1 2x 5 C r ( 2)r r【详解】根据题意知， 的展开式的通项公式为 5 x ，
2 2 1 1
∴展开式中含 x2项的系数为C5 ( 2) C5 ( 2) 30 .故选：D.
【点睛】本题考查了二项式定理的展开式、求二项式展开式的系数，属于基础题.

6．C【分析】建立空间直角坐标系，设 AB 2AA1 6，根据已知得出 AB 0,6,0 ，PQ 0,3, 3 ，
即可根据异面直线夹角的向量求法得出答案.
【详解】如图，以 A为坐标原点建立空间直角坐标系，设
AB 2AA1 6，则 A 0,0,0 ， B 0,6,0
1
，结合 A1P P B2 1
，
AQ 2Q
3 3 3 3 3 9
B，可得 P , ,32 2 ，
Q , , 0 ，所以 AB 0,6,0 ，
3 2
答案第 1页，共 8页
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PQ 0,3, 3 AB PQ 18 2 ，所以异面直线 PQ与 AB所成角的余弦值为 ，故选:C.
AB PQ 6 3 2 2
7．A【分析】利用导数判定单调性结合特殊区间即可得出选项.
x x 2
【详解】 f (x)
e (2x 1)
, f x e (2x 3x) 3
x 1 2 ，令
f x 0 x ,0 , ，所以x 1 2
f x 在 , 0 3 , 和 上单调递增，又当 x 0时， x 1 0,2x 1 0,ex 0， f (x) 0 .故选：
2
A
8．C【分析】设 AB AF1 x(x 0)，由双曲线的定义可求得 BF1 2x， BF2 2x 2a，
AF2 x 2a，利用勾股定理求得 x 3a，在△BF F a,c1 2中利用勾股定理即可求得 的关系式，从
而求得答案.
【详解】设 AB AF1 x(x 0)，由双曲线的定义得 BF1 2x， BF2 2x 2a， AF2 x 2a，
BF BF AF |2 AB |2由 1 2得 2 | BF2 |
2, (x 2 a) 2 x2 (2 x 2 a) 2，解得 x 3a，所以 BF1 6a，
BF 2 2 2 2 2 22 4a，在△BF1F2中，由勾股定理得 F1F2 | BF1 | | BF2 | , (2c) (6a) (4a) ，
2
整理得 c2 13a2 ，即双曲线C的离心率 e c 13 ，故选：C．
a2
9．BD【分析】根据二项式定理的性质逐项判断即可．
【详解】展开式共有7 1 8项，故 A错误．展开式的各二项式系数的和为27 128，故 B正确．
6 1 7
展开式的第 7项的二项式系数为C7 C7 7，故 C错误．展开式的各项系数的和为 7 1 67，
故 D正确．故选：BD．
10．ABD【分析】将已知的两式相加、相减可得有关结论.
4an 1 3an bn 4① an 1 bn 1 1
【详解】由已知： ，① ②得：4 an 1 bn 1 2 an bn
4bn 1 3bn an 4② a
且
n bn 2
a1 b
1
1 1，所以 an bn 是以1为首项， 为公比的等比数列.故 A正确，且 an b
1
n n 1 ③2 2
故 C错误；① ②得： 4 an 1 bn 1 4 an bn 8 an 1 bn 1 an bn 2且 a1 b1 1，
所以 an bn 是以1为首项， 2为公差的等差数列.故 B正确，且 an bn 2n 1④
1 1 1
③ - ④得： 2bn n 1 2n 1 bn n n ，故 D正确.故选：ABD2 2 2
11．ACD
答案第 2页，共 8页
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【分析】利用圆心C的坐标,及半径的大小，可求得 CP 的范围，继而判定选项 A；设M x, y ，
利用坐标验证 MQ 2 MP ，继而可判定选项 B,D；结合题中条件可知当QM 与圆相切时，
MQP最大，解出即可判定选项 C.
【详解】圆 x2 y2 2x 3 0化为 x 1 2 y2 4，其圆心C 1,0 ,半径 r 2，又 P 2,1 ，则
CP 2 1 2 1 0 2 2，因为点M 在圆上，所以 MP 2 2, 2 2 ,
所以存在点M ，使得 MP 1，故 A正确；
2 2 2 2 2
设M x, y ，若 MQ 2 MP ，则 MQ 2 MP 2，即 x 3 y 2 2 x 2 y 1 ，
化为 x2 y2 2x 3 0，又点M 在圆 x2 y2 2x 3 0上，故
MQ 2 MP 一定成立，则 B错，D正确；
k 1 0 1,k 2 0又 PC QC 1，则C,P,Q三点共线，且2 1 3 1
CP 2 r CQ 3 1 2， 2 0 2 2 2 r，则当QM 与圆
MQP π π相切时， 最大，此时 MQP ,故 MQP ，故 C正确，故选：ACD.
4 4
1
12． ,0

【分析】把抛物线方程化成标准形式后可求焦点坐标.
8
2 1 1 1 1
【详解】抛物线的标准方程为： y x p

，故 ，故焦点坐标为 ,0 .故答案为： ,02 4
.
8 8
1
13． /0.25【分析】根据等比数列的通项公式求得公比后，利用等比数列的前 n项和公式建立方
4
程，解出即可.
a 81
【详解】设数列 a q 5 27 q3 n 2 n 1n 的公比为 ，则 q 3 a 1a2 3
，解得 ，故 an a2q 3 ， 1 ，
S 1 3
n 1 9n n2
所以 n ， S2n ，又 an 9
n 1 1 9
，则Tn ，1 3 1 3 1 9
n n
由Tn tS
1 9 1 9 1 1
2n得， t ，解得 t ，故答案为： .1 9 1 3 4 4
1
14．[1 2 , )【分析】对 f (x)求导，求出 f (x)的最值，由任意x ，x2 [ 3 ,0]，都有 | f (x1) f (x2 ) |≤ t1 ，e
可得 t f x f xmax min ，再求出 t的范围即可．
x x
【详解】由 f x x 1 e ，得 f x x 2 e ，令 f (x) 0，则 x 2，
所以当 3 x 2时， f (x) 0；当 2 x 0时， f (x) 0，
所以 f (x)在 [ 3, 2]上单调减，在[ 2, 0]上单调增，
答案第 3页，共 8页
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f 1所以 2 2 , f 3
2
3 , f 0 1
1
，所以 f x f 2 , f x f 0 1
e e min
2 e max ，
1
因为对任意x ， x2 [ 3, 0]1 ，都有 | f (x1) f (x2 ) |≤ t，所以只需 t f x f x 1 max min ，e2
1 1
所以实数 t的取值范围为[1 2 , )．故答案为：[1 e e2
, )．
15．【详解】（1）设正项等差数列 an 的公差为d ，则 a1 0,d 0， 1分
a3 3
由题意，可得 2 ， 2分
a5 1 a2 a6 2
a1 2d 3
即 ， 4分
a1 4d 1
2
a1 d a1 5d 2
43
a1 1
a
1 7
解得 或 （舍去）， 6分
d 1 d 11
7
故 an 的通项公式 an 1 n 1 n . 7分
n 1 n
（2）由（1），可得 an n,Sn ， 8分2
b 1 2 2 1 1则 n

Sn n n 1 n n 1
， 10分

T b b b 2 1 1 1 1 1 1 1 2n故 n 1 2 n

2

1

2 2 3 n n 1
， 12分
n 1 n 1
2n
即数列 bn 的前 n项和Tn . 13分n 1
16．【详解】（1）解法一：因为底面 ABCD是正方形，侧棱PD 底面 ABCD，
以 D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系， 1分
依意得 A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,0,1) E 0, 1 , 1 ， ， 2分
2 2
1 1
所以 PB (1,1, 1)，DE 0, , ， 3分
2 2

因为 PB
1 1
DE 0 0，所以 PB ED， 5分
2 2
由已知 EF PB，且 EF DE E， EF 平面 EFD，DE 平面 EFD，
所以 PB 平面 EFD． 7分
解法二： 底面 ABCD是正方形， BC CD，
PD 底面 ABCD，且 BC 平面 ABCD， PD BC，
答案第 4页，共 8页
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PD CD D， PD 平面 PCD，CD 平面 PCD，
BC 平面 PCD， 2分
DE 平面 PCD， BC DE，
PD DC 1，E为PC中点， DE PC，
BC PC C，BC 平面 PBC， PC 平面 PBC，
DE 平面 PBC， 4分
PB 平面 PBC， DE PB， 5分
由已知 EF PB，且 EF DE E， EF 平面 EFD，DE 平面 EFD，
所以 PB 平面 EFD . 7分

（2）依题意得C (0,1, 0)，且CB (1,0,0)， PC (0,1, 1)，
n 设平面CPB的一个法向量为 (x, y, z)，

CB n x 0, x 0,
则 ，即 取 n (0,1,1)， 9分
PC n y z 0, z y,

因为DB (1,1,0)， DP (0, 0,1)，设平面 PBD的一个法向量为m a,b,c ，

DB

m a b 0, a b
m 则 即 取 (1, 1,0)， 11分
DP m c 0, c 0

n m 1
设平面CPB与平面 PBD的夹角为 ，则 cos cos n,m ， 13分n m 2
又 0,
π π π
，所以 ，所以平面CPB与平面 PBD的夹角为 ． 15分 2 3 3
17 3．【详解】（1）因为 f x x ax2 bx c，所以 f x 3x2 2ax b， 1分
由条件知 f 1 f 1 0， 2分
3 2a b 0
即 ， 3分
3 2a b 0
解得 a 0,b 3，经检验适合题意（1分）； 5分
所以 a与b的值分别为0和 3 6分
（2）由（1）可知 f x x3 3x c，则 f x 3x 2 3， 7分
令 f x 0，得 x= 1或 x 1，
f x 和 f x 随 x的变化情况如下表：
答案第 5页，共 8页
{#{QQABQQaQggigAJBAABhCAQEgCEKQkBAACIoGRAAEIAAAyRNABAA=}#}
x -2 2, 1 -1 1,1 1 1, 2 2
f x + 0 — 0 +
f x c 2 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 c 2
10分
因为 f 2 c 2, f 2 c 2, f 1 c 2，
所以函数 f x 在 2,2 上的最小值为 f 1 c 2，
所以 c 2 2，解得 c = 0，
3
所以 f x x 3x， 11分
因为函数在 , 1 和 1, 上递增，在 1,1 上递减，且 f 1 f 2 2，
画出函数图象如图所示， 13分
由于函数在区间 2,m 上有最大值，根据图象可知m xB , xA ，即m 1,2 ． 15分
1 1
18．【详解】（1）当 a 时， f x x 1 ln x f x 1 1 ，所以 ， 1分
2 2 2 x
令 f x 0时， x 2，
当 x 2时， f (x) 0，当0 x 2时， f (x) 0， 3分
∵ x 1,e ，所以 f x 1 x 1 ln x在 x 2取得极小值，也是最小值，
2
∴ f x f 2 ln 2min ， 4分
1
又 f 1 , f e e e 4 1 2
2 2 2 2
f (x)max f (1)
1
5分
2
∴ f x 1在 1,e 上的最大值为 ，最小值是 ln 2； 6分
2
1 ax 1
（2） f x a x 0 7分
x x
当 a 0时，令 f (x) 0
1
，解得： x ，
a
令 f x 0 1，解得：0 x ，
a
所以 f x 在 0,
1 1
单调递减，在 ,

单调递增， 9分
a a
答案第 6页，共 8页
{#{QQABQQaQggigAJBAABhCAQEgCEKQkBAACIoGRAAEIAAAyRNABAA=}#}
当 a 0时， f x 1 0在 0, 上恒成立，
x
所以 f x 在 0, 上为减函数，
ax 1
当 a<0时， f x 0在 0, 恒成立，
x
所以 f x 在 0, 上单调递减． 11分
a 0 f x 0, 1 1综上，当 时， 在 单调递减，在 ,

单调递增，
a a
当 a 0时， f x 在 0, 上单调递减． 12分
（3） f x a 1 ，依题意： f 1 a 1 0，解得： a 1， 13分
x
所以 f x x 1 ln x，
又 f x bx 2对 x 0, 恒成立，即 x 1 ln x bx 2，
1 ln x
所以b 1 在 0, 上恒成立． 14分
x x
g(x) 1 ln x令 1(x 0)　， g (x)
ln x 2

x x2
，
2 1
当 0 x e2时 g (x) 0，当 x e2 时 g (x) 0，∴ x e2 时 g x g(e ) 1 min 2 ， 16分e
故b 1
1
，
e2
所以b 的取值范围为 ,1
1
2 ． 17分 e
19．【详解】（1）因为 MF1 MF2 4 2 3，
根据椭圆的定义可知曲线C为以 F1( 3,0),F2 ( 3,0)为焦点的椭圆， 2分
其中 a 2,c 3， 4分
x2
所以椭圆方程： y2 1． 5分
4
（2） (i)易知直线 PQ的斜率不为零，
所以设直线 PQ的方程为 x my 1，P x1, y1 ，Q x2 , y2 ， 6分
x my 1
2 2 ，得 m2 4 y2 2my 3 0， 7分
x 4y 4
2 2 2
则Δ 2m 4 m 4 ( 3) 16 m 3 0 ，
答案第 7页，共 8页
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y y 2m 31 2 2 , y1y2 2 ， 8分m 4 m 4
k k y1 y2 y y 1 22 3 x1 2 x2 2 my1 1 my2 1
9分
y
3
2
1
y2 3
2
m 4
m y 2
，
1y2 m y1 y2 1 3m 2m 4
m2
m 1
4 m2 4
11分
k 3 32 , k3 ． 12分2 2
x21
2 1
(ii)因为 k k y1 y1 y1 4 1 ， 15分1 2 x1 2 x 2 x
2
1 1 4 x
2
1 4 4
k k k k k k k 1 3 2 1 3 1 2 2 3 1为定值． 17分4 4
答案第 8页，共 8页
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