天津市蓟州区第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考检测数学试题（含答案）

蓟州区第一中学2023-2024学年度第二学期第一次月检测
高二年级数学学科
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．若f′（x0）=4，则=（　　）
A．2 B．4 C． D．8
2．曲线f（x）＝2x2﹣mlnx在x＝1处的切线与直线y＝x平行，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．函数f（x）＝x3﹣3x+a，x∈[0，2]的最大值为1，则实数a的值为（　　）
A．1 B．﹣4 C．3 D．﹣1
4．已知f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1处有极值0，则a+b＝（　　）
A．11或4 B．﹣4或﹣11 C．11 D．4
5．已知函数f（x）＝，则y＝f（x）的图象大致为（　　）
A．B． C． D．
6．已知定义在R上的函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（0）＝1，则不等式f（x）＜ex的解集为（　　）
A．（﹣∞，e4） B．（e4，+∞） C．（﹣∞，0） D．（0，+∞）
7.将3个不同的小球放入5个不同盒子中，则不同放法种数有（　　）
A
B
C D
A． B． C． D．
8．如图，有A，B，C，D四块区域需要植入花卉，现有4种不同花卉可供选择，要求相邻区域植入不同花卉，不同的植入方法有（　　）
A．12种 B．72种 C．24种 D．48种
9．高二（2）班4月1日安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（　　）
A．42种 B．96种 C．120种 D．144种
10．已知函数f（x）＝kex﹣ex2（k∈R），若函数f（x）至少有两个零点，则k的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，] B．（0，） C．（0，] D．[0，]
11．已知函数f（x）＝﹣x2+a，g（x）＝x2ex，若对任意的x2∈[﹣1，1]，存在，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（　　）
A．[e+1，4] B．[e，4] C． D．
12.已知函数f（x）＝，g（x）＝1+lnx，若f（m）＝g（n），则m﹣n的最大值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣ D．2ln2+3
二．填空题（共6小题，每题5分，共30分）
13．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有
　 　　 种．（用数字填写答案）
14．将7个人分成三组，其中一组由3人组成，另外两组都由2人组成，则不同的分组方法种为 　 　　．（用数字填写答案）
15．已知函数f（x）＝+2ax﹣lnx，若f（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是 　 　．
16．若函数f（x）＝x3﹣3x2+2在区间（a﹣1，a+2）内存在极小值，则a的取值范围是 　 　．
17．已知，g（x）＝lnx+a-， x1∈[0，2]， x2∈[1，3]，使f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是 　 　．
18．已知函数，x∈（，+∞），当x2＞x1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为　 　．
三．解答题（共4小题，共60分）
19．(14分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx的图象在点（0，f（0））处的切线斜率为﹣4，且x＝﹣2时，y＝f（x）有极值．
（1）求函数f（x）的解析式；(6分）
（2）求f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．(8分）
20．（15分）从包含甲、乙2人的7人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答，否则无分）
（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
（2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；
（3）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；
（4）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；
（5）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．
21．（15分）已知函数f（x）＝x﹣lnx，g（x）＝x2﹣ax．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；；（4分）
（Ⅱ）令h（x）＝g（x）﹣f（x），A（x1，h（x1）），B（x2，h（x2））（x1≠x2）是函数h（x）图像上任意两点，且满足，求实数a的取值范围；（5分）
（Ⅲ）若 x∈（0，1]，使成立，求实数a的最大值．（6分）
22（16分）．已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣2．
（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（3分）
（2）若，讨论函数g(x)的单调性．（5分）
（3）记函数，设x1，x2（x1＜x2）是函数m（x）的两个极值点，若，且m（x1）﹣m（x2）≥k恒成立，求实数k的取值范围．（8分）
高二月考数学参考答案
1-5. DCDCA 6-10. DCBCC 11-12.BA
16 14. 105 15.
16.（0，3） 17. 18.
19.解：（1）由题意可得，f′（x）＝3x2+2ax+b．
由解得
经检验得x＝﹣2时，y＝f（x）有极大值．
所以f（x）＝x3+2x2﹣4x．
（2）由（1）知，f′（x）＝3x2+4x﹣4＝（x+2）（3x﹣2）．
令f′（x）＝0，得，
f′（x），f（x）的值随x的变化情况如下表：
x ﹣3 （﹣3，﹣2） ﹣2 （﹣2，） （，1） 1
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 3 ↑ 8 ↓ ↑
所以
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
21.解：（Ⅰ）因为f（x）＝x﹣lnx，所以，
所以当x∈（0，1）时f′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时f′（x）＞0，
所以f（x）的极小值为f（1）＝1，无极大值；
（Ⅱ）h（x）＝x2﹣ax﹣x+lnx，
不妨设x2＜x1，则x1﹣x2＞0， 则由，可得h（x1）﹣h（x2）＜2x1﹣2x2，
变形得h（x1）﹣2x1＜h（x2）﹣2x2恒成立，
令F（x）＝h（x）﹣2x＝x2﹣（a+3）x+lnx，
则F（x）＝x2﹣（a+3）x+lnx在（0，+∞）上单调递增，
故恒成立,
∴在（0，+∞）恒成立，
法一：∵，当且仅当时取“＝”，
即实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣3]；
法二：
所以
所以
即实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣3]；
（Ⅲ）∵，∴a（x+1） 2x2﹣xlnx，
∵x∈（0，1]，∴x+1∈（1，2]，
∴ x∈（0，1]使得成立，
令，则，
令y＝2x2+3x﹣lnx﹣1，
则由，可得或x＝﹣1（舍），
当时，y′＜0，则y＝2x2+3x﹣lnx﹣1在上单调递减，
当时，y＞0，则y＝2x2+3x﹣lnx﹣1在上单调递增，
∴，∴t′（x）＞0在x∈（0，1]上恒成立，
∴t（x）在（0，1]上单调递增，则a t（1），即a 1，
∴实数a的最大值为1．
(1) 因为，∴切线斜率为f'（1）＝0，
又f（1）＝﹣1，切点为（1，﹣1），所以切线方程为y＝﹣1；
（2）∵＝ （x＞0）
∴当a=0时， 增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；
①当，即时， ，增区间为（0，+∞）．
②当，即时， 令g'（x）＞0得，0＜x＜1或；令g'（x）＜0得，．
所以，增区间为；减区间为；
③当，即时，令g'（x）＞0得，或x＞1； 令g'（x）＜0得，．
所以，增区间为；减区间为；
综上，当a=0时，增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；
当时，增区间为（0，+∞）；
当时，增区间为；减区间为；
当时，增区间为；减区间为．
（3）函数，x∈（0，+∞），
所以， 由g'（x）＝0，得x2﹣（b+1）x+1＝0，
依题意方程x2﹣（b+1）x+1＝0有两不相等的正实根x1、x2，
∴x1+x2＝b+1， x1x2＝1，
∴， 又， 则，解得，
∴，
构造函数，
，
∴F（x）在上单调递减；
当x＝3时，， 所以．