南阳中学2023-2024学年高二下学期第一次月考
数学科试卷
满分150分，时间120分钟
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在中，（ ）
A． B． C． D．0
2．复数，则的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
3．在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．在中，，则（ ）
A． B．或 C． D．或
5．设为所在平面内一点，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
6.将函数图象上所有的点都向左平移个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，（分别为角的对边），则的形状可能是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
8．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A． B． C． D．1
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ）
A．的最小正周期为π B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
10.已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量是
11.（多选题）的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B．
C．角A的最大值为 D．面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，，若，共线，且，则向量的坐标可以是 .（写出一个即可）.
13．设，，，且，，，求向量的模为 .
14．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则角 ，当时，的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
若复数，当实数m为何值时
（1）z是实数； （2）z对应的点在第二象限．
16.（本题满分15分）
已知向量，满足，，且，的夹角为.
（1）求； （2）若，求实数的值.
17.（本题满分15分）
已知.
（1）求函数图象的对称轴方程；
（2）设的内角所对的边分别为，若且.
求的取值范围.
18.（本题满分17分）
在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若的中线长为，求面积的最大值.
（本题满分17分）
在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=
（1）试用，表示；
（2）若，求∠ARB的余弦值；
（2）若H在BC上，且RH⊥BC，设，若，求的范围.南阳中学2023-2024学年高二下学期第一次月考
参考答案
1.A. .故选：A.
2.D.由可得：，故的虚部为.故选:D．
3.A
4. D
5.C∵，所以三点共线且.∴，即
6.D.将图象上所有的点都向左平移个单位长度后，得到函数的图象，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得.
7.B.由已知，得，即，由正弦定理可得：，
所以，得，在中，所以，又，所以，即三角形为直角三角形.
8.A由得，由得，
故，
AD
AC 因为，，所以，
则，所以，故A正确；
因为，所以，故B错误；
，因为，所以，故C正确；
在方向上的投影向量是，故D错误.
故选:AC.
11.ABC 由，故A正确；
由余弦定理结合A项可得，故B正确；
由上结合基本不等式及余弦定理有
故，而，单调递减，所以由，
当且仅当时取得最大值，故C正确；
由上可得，又，所以，故D错误.
12.由已知得，解得或，即向量的坐标可以是或.
13.因为，所以所以
，∴.
14.∵，∴，即，解得，
又∵，所以；∵，∴，
当且仅当时等号成立，即的最大值是3.
因为，是实数，
则，解得或；................................................................5分
（2）若对应的点在第二象限，
则，..............................................................7分
解得，................................................................11分
即的取值范围为．..................................................................13分
16.（1）................................5分
（2）因为，所以， ...............................7分
即，..............................10分
也即， ...............................12分
所以，解得................................15分
17.（1）已知，
则，..............4分
由（k∈Z），得（k∈Z），............5分
即函数图象的对称轴方程为（k∈Z）；.............6分
（2）由，得，又，即..............9分
所以，又，..............................11分
由正弦定理，得，.............................12分
即
又，所以，.............................14分
所以.即的取值范围为．............................15分
18.（1）在中，由正弦定理得：，.............2分
而，..............3分
所以，..............5分
化简得，因为，则，，
即，所以，..............7分
又因为，所以，即...............9分
（2）由是的中线，可知，.............10分
所以，即，.............12分
可得，即，当且仅当时，等号成立，............14分
所以三角形面积，.............16分
即的面积的最大值为..............17分
19.（1）因P,R,C共线，则存在使，.............2分
则，整理得.
由共线，则存在使，.............3分
则，整理得.
根据平面向量基本定理，有，.............5分
则.............6分
（2）由（1），，，则，
，...........9分
则...........10分
（3）由（1）知，则.由共线，设
又............12分
则............15分
.
因，则，则............17分
