广东省清远市阳山县南阳中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（含答案）

南阳中学2023-2024学年第二学期第1次月考
高二级数学科试卷
满分：150分 考试时间：120分钟
单选题，8个小题，每小题5分共40分.
已知函数，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．6
2．某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．一质点做直线运动，经过秒后的位移为，则速度为零的时刻是（ ）
A．1秒末 B．4秒末 C．1秒与4秒末 D．0秒与4秒末
4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征，函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
5．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）

B．
C． D．
6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）
A．24种 B．54种 C．96种 D．120种
7．若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知函数，则的大小关系为（ ）A． B．
C． D．
二、多选题，3个小题，每小题6分共18分，有错选不得分，三选题，选对一个得2分，选对两个得4分；两选题，选对一个得3分.
9．下列关于导数运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，
B．函数既有极大值又有极小值
C．函数有三个零点
D．过可以作三条直线与图象相切
11．下列命题中正确的有（ ）
A．是幂函数，且在单调递减，则
B．的单调递增区间是
C．的定义域为，则
D．的值域是
三、填空题，3个小题，每小题5分共15分.
12．某人有5件不同的衬衫，6条不同的裤子，1件上衣和1条裤子为一种搭配，则搭配方法共有 种.
13．已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间是 ．
14．已知函数，若成立，则的最小值为 .
四、解答题，5个小题，第15题13分，第16-17每题15分，第18-19题每题17分，共77分.
15．求下列直线的方程：
(1)曲线在处的切线；
(2)曲线过点的切线.
16．（1）计算：．
（2）利用0，1，2，4，5，7这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有多少个？
（3）从1，3，5，7中任取3个数字，从2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
17．已知函数在处有极值10．
（1）求的值；
（2）求的单调区间；
（3）求在上的最大值与最小值．
18．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：当时，.
19．已知函数，，且对于任意实数，恒有．
（1）求函数的解析式；
（2）已知函数在区间上单调，求实数的取值范围；
（3）若函数有2个零点？求的取值范围.
南阳中学2023-2024学年第二学期第1次月考
高二级数学科参考答案
1．D 2．D 3．C 4．A 5.A
6．B 根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名，
分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况；
②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况；
则一共有种不同的名次情况，
7．A 由题设在区间上单调递增，所以恒成立，
所以上恒成立，即恒成立，而在上递增，故.
8．C作出函数的图象，如图所示.
由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.
由，得，即.
9．ABD 10．AB 由，求导得，，
令，得，由函数的对称中心为，
得，且，解得，A正确；
于是，，当或时，，当时，，则函数在，上都单调递增，在上单调递减，
因此函数既有极大值，又有极小值，B正确；
由于极小值，因此函数不可能有三个零点， C错误；
显然，若是切点，则，切线方程为；
若不是切点，设过点 的直线与图象相切于点，，
由，解得，即切点，切线方程为，
过 只可以作两条直线与图象相切，D错误.
11．AD 对于A，由幂函数的定义可知或，
又在单调递减，所以，所以，故A正确；
对于B，，可知时，单调递增，
结合复合函数的单调性可知的单调递增区间为，故B错误；
对于C，恒成立，显然符合题意，当时，则，综上所述，故C错误；对于D，令，此时，显然，故D正确.
12．【详解】依题意有种搭配方法.
13．对函数进行求导，则，因为，当，，故的单调递增区间是．
14．/ 函数，由，得，则，
令，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，则，
（1），(2分)
故曲线在处的切线斜率为，（4分）
故在处的切线方程为，即（6分）
设切点为，因为，
故曲线在处的切线方程为，(8分)
化简可得，代入可得，（10分）
即，解得或，（12分）
代入切线方程可得或（13分）
16．(1)=35（5分）
（2）不选0时，有个奇数；选0时，有个奇数；共有个奇数．（5分）
（3）从1，3，5，7中任取3个数字，从2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数．（5分）
17．解：（1）因为，
所以，（1分）
所以，（3分）
解得得或,（4分）
，(经检验符合)；（5分）
（2）,（6分）
由得.
当时，；当时，>0，（8分）
所以在上单调递减，上单调递增，（10分）
(3)（13分）的最大值为，最小值为.（15分）
18．（1）因为的定义域为，（1分）
所以，（3分）
当时，>0恒成立，所以在上单调递增；(5分)
当时，令，得，当时，单调递减，
当时，单调递增，（7分）
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.（8分）
（2）当时，，
令，则，（10分）
令，则，
因为，所以，所以当时，恒成立，
所以在上单调递减，即在上单调递减，（12分）
所以，（14分）所以在上单调递减，（15分）
所以，即.（17分）
19．（1）函数，，则（1分）
因为，所以，（2分）
所以对于任意实数恒成立，，故．（4分）
（2）因为，，
所以，，（5分）
因为在区间上单调，所以或在上恒成立，（6分）
即或在上恒成立，
即或在上恒成立，（7分）
令，因为，所以（9分）
所以或．（10分）
(3)令，，（11分）
当时，，当时，，
所以当时，函数有极大值，（13分）
因为当时，，当时，，（15分）
所以当时，函数有两个零点．（17分）