8、【答案】B【详解】以O为原点建立如图所示的直角坐标系，
长阳一中 2023 级高一年级下学期 3 月月考数学试题参考答案
一、选择题： 设P (4cos ，4sin ) 0， ，
2
2 2
1、【答案】C【详解】B = x | y = ln (x 2x 3) = x x 2x 3 0 = ( , 1) (3,+ )，
设E (t，0)(t 0，2 ) 2，又 EF = 2，所以 OF = 4 t 2 ，可得F (0，4 t )，
A = x |1≤ x 4 ，则 A B = (3,4) .故选：C
PE = (t 4cos ， 4sin )，PF = ( 4cos ，4 t 2 4sin )，
2、【答案】D【详解】因为角 α终边上一点 M （1，3），设O为原点，则 OM = 12 + ( 3)2 = 2，
所以PE PF = 4tcos +16cos
2 4 4 t 2sin +16sin2 =16 4 (tcos + 4 t 2sin )
3
由正弦函数的定义，得sinα = .故选：D.
2
=16 8sin ( + ) 4 t
2 t
1 ，其中cos = ，sin = ，
3、【答案】C【详解】解：因为“ x R,sin x + 2m ”是假命题，
2 3 2 2
1 1
所以其否定“ x R,sin x + 2m ”是真命题，故只要sin x + 2m即可， π
2 3 2 3 max 又 t 0，2 ，所以cos ，sin 0，1 ，所以 0， , + 0，π ，
2
1 1 1
因为 sin x + 的最大值为1，所以2m 1，解得m ，所以实数 m的最小值为 .故选：C.
2 3 2 2
sin ( + ) 0，1 ， sin ( + ) 1，0 ，所以PE PF 8，16 ，PE PF 的最小值为8．故选：B.
4、【答案】C【详解】 a ⊥ c ， a = (x,1)， = (2, 4)， a c = 2x 4 = 0， x = 2，
二、选择题：
7
b∥c ，b = (1, y)， 2y = 4， y = 2， a +b = (2,1)+ (1, 2) = (3, 1)， a +b = 9+1 = 10 .故选：C. 9、【答案】AD【详解】由 (0, )， sin cos = 1，得sin 0，cos 0，则 ( , ) ，故
5 2
5、【答案】D【详解】解：由题意：D为△ 所在平面内的一点，
7 49 24
1 3 3 3 3 1 A 正确；由 sin cos = ，两边平方得：1 2sin cos = ，则2sin cos = .
BD = BC，所以CD = CB，所以 AD = AC +CD = AC + CB = AC + (AB AC ) = AB AC ，选：D． 5 25 25
2 2 2 2 2 2
3
π ∵ ( , ) ，则 ( , ) ，∴sin cos = 2 sin( ) (1, 2)，
Asin x,0 x 2 4 4 4 4
6、【答案】B【解析】由函数 f (
2
x) = 在区间[0,+ ) 上单调递增，
2x π 24 1 A, x 又 sin + cos = (sin + cos )2 = 1+ 2sin cos = 1 = ，
π 2 25 5
A 0 1 1 1
则满足 ，解得0 A ，即实数A 的取值为 0, ．故选：B. sin + cos =
1 A A 2 2 1 5 4 3当 sin + cos = 时，联立 ，解得 sin = ，cos = ，
5 7 5 5
2 7 sin cos =
7、【答案】A【详解】sin (2 + ) = ，0 < < ， < 2 + < 5
6 3 6 6 6 6
4
y = sin (2 + )关于 = 对称， + = 2 × = ， =
6 6 6 3 3 sin 4 tan
tan = = 3
12
∴ ， = = 2 ；
cos 3 1+ tan 16 25
cos( + ) = cos [ ( )] = cos (2 ) = cos [(2 + ) ] = 1+
3 3 6 2 9
2
(2 + ) = ．故选：A. 1
6 3
sin + cos = 1 5 3 4
当 sin + cos = 时，联立 ，解得 sin = ，cos = ，
5 7 5 5 sin cos =
5
{#{QQABSQQQgggIAIBAABgCAQ3gCkGQkBAAAIoGwAAEIAAAiBFABAA=}#}
3 三、填空题：
sin 3 tan 12
∴ tan = = ， = 4. = 2 . 3 4
a (3, 4) 3 4
2 2 3 4
cos 4 1+ tan 9 25 12、【答案】 ( , )【详解】由题意 a = 3 + ( 4) = 5， = = ( , )．故答案为： ( , )． 1+ 5 5 a 5 5 5 5 5
16
故 B、C 错误，D 正确.故选：AD a b = k 3(1 2k ) 0 3
13、【详解】由已知a b 0且a 、b 不共线，则 ，解得 k 且 k 1.
k (1 2k ) 3 7
π π
10、【答案】ABD【详解】将函数 f (x) = 2cos 2x + 的图象向右平移 个单位长度 2 7 π π
6 4 14、【答案】
√ 【详解】因为 ADB = 2 DBC = ，所以 DBC = ，
7 3 6
π π
π π π 所以由 ADB = DBC + BCD = ，得 DBC = BCD = ，于是DB = DC．
得到 g (x) = 2cos 2 x + = 2sin 2x + ，故 A 正确； 3 6
4 6 6 设DC = x，则DB = x ，DA= 3x，
在△ 中，由余弦定理得 AB2 = DA2 +DB2 2DA DBcos ADB，
π π π π
又 g = 2sin 2 + = 2，所以直线 x = 是 g (x)的图象的一条对称轴，故 B 正确； 1
6 6 6 6 即14 = (3 )
2 + 2 2 3 = 7 2，解得 x = 2 ．
2
所以DC = 2 ， AC = 4DC = 4 2 ．
π π π π
因为 g = 2sin 2 + =1，所以 g (x)的图象不关于点 , 0 对称，故 C 错误； AC AB
3 3 6 3 在△ 中，由正弦定理得 = ，
sin ABC sin ACB
1
4√2×
π π π 故 ∠ 2 2√7．
由 2cos 2x + = 2sin 2x + ，得 tan 2x + =1
∠ = = =
， √14 7
6 6 6
四、解答题：
π π kπ π a c
所以 2x + = kπ + (k Z)，即 x = + (k Z)， 15、【详解】 (1)因为c = 3 ， sinA = 6sinC ，由正弦定理 = ，得a = 3 2 .(5分)
6 4 2 24 sinA sinC
π
又 xi 0，所以当 k = 0时， xi 取得最小值 ，故 D 正确．故选：ABD 2 1 6 3
24 (2)因为cos2A =1 2sin A = ，且 A 0, ，所以 sinA = ，cosA = . (3分)
3 2 3 3
11、【答案】ACD【详解】如图所示，点 O 为△ 所在平面内一点，且 + 2 + 3 = 0 ，
2
( ) ( ) 由余弦定理a = b
2 + c2 2bccosA，得b2 2b 15 = 0，解得b = 5或b = 3(舍)， (3分)
可得 + 2 2 + 3 3 + 5 = 0 ，即 AO = 2 OB OA +3 OC OA ，
1 5
所以 △ = bcsinA = √2. (2分)
1 3 2 2
即 4AO = 2AB +3AC，所以 = + ，所以 A 是正确的；
2 4
16、【详解】（1）令 x 0，则 x 0 .所以 f ( x) = ( x)2 + 2 ( x) = x2 2x . (2 分)
在△ 中，设D为 BC的中点，由 + 2 + 3 = 0 ，可得( + ) +
2(
2 2
+ ) = 0 ，所以 AC = 2(OB+OC) = 4OD，所以直线 AO不过BC边的 又 f (x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f (x) = f ( x) = ( x 2x) = x + 2x ，且 f (0) = 0 . (3 分)
中点，B 不正确； 2 + 2 , 0,
所以 ( ) = { 2 (2 分，掉 f(0)=0，扣 1 分；分段函数格式不对，扣 1 分) DE OD 1 + 2 , < 0.
由 AC = 4OD，可得 AC = 4 OD 且 AC / /OD，所以 = = ，所以
EC AC 4 （2）结合（1）的结论，作出函数 f (x)的图象如下：
1
AD BE sin AEB 当 2 < 0时，f(b)≤f(－2)，所以 f (x)max = f ( 2) = 0, f (x)在区间[ 2,b) 上有
1 2 BE 3 S BE 3
DE = EC EC = BC = △AOB，可得 ，所以 ， = 2 = = ，所以 C 正确；
4 5 EC 2 S 1△AOC EC 2AD EC sin OEC 最大值，满足题意；
2
当 0＜b≤1 时， f (b) f ( 2), f (x)在区间[ 2,b) 上无最大值，不满足题意；
由 + 2 + 3 = 0 ，可得 = 2 + 3 ，因为| | = | | = 1，且 ⊥ ，
当b 1时，易得 f (x)
2 [ 2,b)
max = f (1) = 1 + 2 1=1, f (x)在区间 上有最大值，
2 2
可得| | = |2 + 3 | = 4 2 + 12 + 9 2 = 13，所以| | = √13，所以 D 正确.
满足题意.
{#{QQABSQQQgggIAIBAABgCAQ3gCkGQkBAAAIoGwAAEIAAAiBFABAA=}#}
1
综上，实数b 的取值范围为 ( 2,0] (1,+ ) . (8 分) 故 g(1 2)+ g( ) = g(1 2) + g( 2 1) = 2 . (5 分)
2 +1
1 1 3 1 4+ x 4+ x 4 x
17、【详解】（1） f (x) = sin
2 x + 3sin xcos x = (1 cos 2 x)+ sin 2 x （3）因为 f ( x) = lg ，故 f ( x)+ f (x) = lg + lg = lg1= 0，
2 2 2 2 4 x 4 x 4+ x
3 1 π 故 f ( x) = f (x)，而 x ( 4,4)，该定义域关于原点对称，故 f (x)为奇函数.
= sin 2 x cos 2 x = sin 2 x , (3 分)
2 2 6
故 f (k cos ) + f (cos2 k 2 ) 0等价于 f (k cos ) f ( cos2 + k 2 ) .
π π π π 5π
当 =1时， f (x) = sin 2x ，又 x 0, ，故 2x , ，
6 2 6 6 6 由（1）可知 f (x)在 ( 4,4)上为减函数，
π π π 5π π 1 π 5π 1
又 y = sin x在 , 上单调递增，在 , 单调递减，且sin = ,sin =1,sin = ， k cos cos
2 + k 2 k k
2 cos cos2
6 2 2 6 6 2 2 6 2
k cos 4 k cos 4
π 1 故 ，所以 对任意 R均成立，
故函数 f (x)在 0, 上的值域为 ,1 . (4 分)
2
cos + k
2 4 k 2 4+ cos
2
2 2
k 0
k 0
π
（2）由（1）知， f (x) = sin 2 x ，由其最小正周期为2π，
6
k k 2 2
2π 1
= 2π
π
可得 ，又 0，解得 = ，则 f (x) = sin x ； (1 分) k 32 2 6 故 即 2 k 12 .故 k 的取值集合为 k | 2 k 1 . (7 分)
k 4
A A π A π π π A π π
由 f = 0，即 sin = 0，又 A (0,π)，可得 , ，则 = 0，即 A = ；(1 分) k 0
2 2 6 2 6
6 3 2 6 3
AD为 BAC 的平分线，故可得 BAD = 30 , CAD = 30 ，
19、【详解】（1）如图，在△AEM 中
1 1 1 3 1 2 3 3
则 sin A bc = sin BAD c AD + sin CAD b AD，即 bc = (b + c)，b+ c = bc； (3 分) 2 2 2
2 2 2 4 4 3 2 由余弦定理得， AE = MA +ME 2MA ME cos = 9，所以
3
b2
2
+ c2 a2 2 2
在三角形 1 b + c 3
(b+ c) 2bc 3 2
ABC中由余弦定理可得 cos A = ，即 = = ， 2 MA+ ME
2bc 2 2bc 2bc (MA+ ME) = 9 + 3MA ME 9 + 3 ，
2
3 9 2
将b+ c = bc代入上式可得：bc = (bc) 2bc 3，即 (3bc + 2)(3bc 6) = 0， 所以MA+ME 6，（当且仅当MA= ME = 3时等号成立），故两机器人运动路程和的最大值为 6. (6 分)
2 4
2 （2）（i）在△AEM 中由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的 2 倍，故 AM = 2EM ，因为 = = ，
解得bc = 2，或bc = （舍去）； (2 分) 3
3
可知两机器人的运动方向平行，所以不论 AD多长，机器人乙都不可能拦截到甲，所以不可能拦截成功.
1 1 3 3
故△ 的面积为 sin A bc = 2 = . (1 分) (3 分)
2 2 2 2
（i i）设EM = x，则 AM = 2EM = 2x， x (1,3)
32 + x2 (2x)2 3 x x 3
4 x 由余弦定理可得cos( ) = = ，所以cos =
18、【详解】（1） f (x) = lg ， x ( 4,4)为减函数. 2 3 x 2x 2 2 2x
4+ x
2 x 3 1 2
4 x1 4+ x 2 所以 x sin = x
2 (1 cos2 ) = x2 1 = (x2 5) + 4 由题意得 AD xsin 对任意 x (1,3)恒成
设任意 4 x1 x2 4，则 f (x1 ) f (x2 ) = lg ， 2 2x
4
4+ x1 4 x
2
立，故 AD (x sin )max = 2，当且仅当 x = 5时取到等号.
因为 4 x1 x2 4，故4 x1 4 x2 0,4+ x2 4+ x1 0, 所以 (4 x1 )(4+ x2 ) (4+ x1 )(4 x2 ) 0，故
答：矩形区域 ABCD的宽 AD至少为 2 米，才能确保无论 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放
4 x1 4+ x 2 1即 f (x1 ) f (x2 ) 0，所以 f (x1 ) f (x2 )，因此 f (x)在 ( 4,4)上为减函数. (5 分) 角度使机器人乙在矩形区域 ABCD内成功拦截机器人甲. (8 分) 4+ x1 4 x2
1 2 x 4+ x 2x 1 4 x 4+ x
（2） g( x) = f ( x) + 1= lg + 1, g( x)+ g (x) = lg + lg 2 = lg1 2 = 2 ,
1+ 2 x 4 x 2x +1 4+ x 4 x
{#{QQABSQQQgggIAIBAABgCAQ3gCkGQkBAAAIoGwAAEIAAAiBFABAA=}#}长阳一中 2023 级高一年级下学期 3 月月考 A. 4 B. 8 C. 19 8 2 D. 16 8 2
数学试题 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对
的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
满分 150分．考试时间：120分钟．
7
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 9. 已知 (0, )，sin cos = ，则下列结论正确的是（ ）
5
1、已知集合 A = x |1≤ x 4 ， B = x | y = ln (x2 2x 3) ，则 A B 等于（ ） 3 3 tan 12
A. ( , ) B. cos = C. tan = D. =
2 5 24 1+ tan 25
A. (3,4 B. ( , 1) 1,+ ) C. (3,4) D. ( , 1 (4,+ )
π π
2、已知角α
f x = 2cos 2x + g x f x g x
终边上一点M 的坐标为 10、将函数 ( ) 的图象向右平移 个单位长度，得到 ( )的图象，记 ( )与 ( )的图象（1，3），则sinα等于（ ） 6 4
1 1 3 3 *
A． B． C． D． 在 y 轴右侧的公共点为 (xi , yi )(i N )，则下列选项正确的有（ ）
2 2 2 2
1 π π
3、若“ x R,sin x + 2m”是假命题，则实数 m的最小值为（ ） A. g (x) = 2sin 2x + B. 直线 x = 是 g (x)的图象的一条对称轴
2 3 6 6
1 1 3 π π
A．1 B．- C． D． C. g (x)的图象关于点 , 0 对称 D. xi 的最小值是 2 2 2 3 24
4、设 x, y R ，向量a = (x,1)， = ( , )， = ( , )，且 ⊥ ，b∥c ，则 a +b =（ ）． 11、已知点 O为△ 所在平面内一点，且 + + = ，则下列选项正确的是（ ）
A． 5 B．2 5 C． 10 D．10 A．
= + B．直线 AO必过BC边的中点
1 C． △ : △ = : D．若| | = | | = ，且 ⊥ ，则| | = √
5、已知点 D 是△ 所在平面上一点，且满足BD = BC ，则 AD =（ ）
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
1 1 1 1 1 3 3 1
A． AB AC B． AB + AC C． AB + AC D． AB AC 12、与向量 = ( , )方向相反的单位向量是 .
2 2 2 2 2 2 2 2
13、已知a = (1 2k,1)，b = ( 3,k )，若a 与b 的夹角为钝角，则实数 k 的取值范围为______. π
Asin x,0 x 2 π
6、已知函数 f (x) = 在[0,+ ) 上单调递增，则 A的取值范围是（ ） 14、已知 D为△ 的边 AC上一点，AD = 3DC， = √ ， ADB = 2 DBC = ，
2x π 3 A, x
π 2 则sin ABC = .
1 1 1
(0,+ ) 0, ,1 ,+ 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. B. C. 2
D.
2 2
1
15、(13 分)在△ 中，角 A, B,C 的对边分别是a,b,c，已知c = 3，sin A = 6 sinC ， cos2A = .
3
7、已知 , 是函数 f (x) = 3sin(2x + ) 2 在 0, 上的两个零点，则cos ( ) = ( ).
6 2 (1)求a的值；
2 5 15 2 2 3 + 5 (2)若角A 为锐角，求b 的值及△ 的面积.
A． B． C． D．
3 3 6 6
π
8、如图，已知 AOB是半径为 4 ，圆心角为 的扇形，点E，F 分别是
2
OA，OB上的两动点，且EF = 2，点 P 在圆弧 上，则PE PF 的最小值为（ ）
{#{QQABSQQQgggIAIBAABgCAQ3gCkGQkBAAAIoGwAAEIAAAiBFABAA=}#}
16、(15分)已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0时， f (x) = x2 + 2x . 19、(17 分)某校兴趣小组在如图所示的矩形区域 ABCD内举行机器人拦截挑战
（1）求函数 f (x)在 R 上的解析式； 赛，在 E处按EP方向释放机器人甲，同时在 A处按 AQ方向释放机器人乙，设
（2）若 f (x)在 2,b)上有最大值，求实数b 的取值范围. 机器人乙在 M 处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点 M 在矩形区域
ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知 AB = 6米，E为 AB 中
点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记 EP 与 EB 的夹角为
(0 )， AQ与 AB 的夹角为 0
2
1 （1）若两机器人运动方向的夹角为
, AD足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
2
17、(15分) 已知函数 f (x) = sin x + 3 sin xcos x ( 0)． 3
2
（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的 2倍
π
(1)当 =1时，求函数 f (x)在 0, 上的值域；
2 （i）若 = = , AD足够长，求机器人乙能否挑战成功.
3
(2)在△ 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, AD 为 BAC 的平分线，
（ii）如何设计矩形区域 ABCD的宽 AD 的长度，才能确保无论 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放
A 2 3
若 f (x)的最小正周期是2π, f = 0,a = 3, AD = ，求△ 的面积． 角度 使机器人乙挑战成功？
2 3
1 2x 4 x
18、(17分)已知函数 g(x) = f (x) + 1，其中 f (x) = lg ，其中 x ( 4,4).
1+ 2x 4+ x
（1）判断并证明函数 f (x)在 ( 4,4)上的单调性；
1
（2）求 g(1 2) + g( )的值
2 +1
（3）是否存在这样的负实数 k ，使 f (k cos ) + f (cos2 k 2 ) 0对一切 R恒成立，若存在，试求出 k 取值的
集合；若不存在，说明理由.
{#{QQABSQQQgggIAIBAABgCAQ3gCkGQkBAAAIoGwAAEIAAAiBFABAA=}#}
