青铜峡市宁朔中学 2023-2024 学年第二学期 8．已知边长为3等边三角形 ABC中，点D为边 AC上一点，BD 7，cos ADB 0，则下列结论
高一数学月考试卷 一定正确的为（ ）
S
A AD 2CD B ABD
1
sin DBA 2 cos DBA 1
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分。） ． ． C． ． S BCD 2 sin DBC
D
cos DBC 2
1．下列说法错误的是（ ） 二、多选题（每小题 5 分，共 20 分。少选 2 分，错选或多选 0 分。）
A． CD DC B． e ， e 是单位向量，则 e e 9．下列说法错误的是（ ）1 2 1 2
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
C．若 AB CD ，则 AB CD D．任一非零向量都可以平行移动
B．若非零向量 AB与CD是共线向量，则 A,B,C,D四点共线
a 2,4 a
2．已知向量 ， b 3,2 ，则b 等于（ ） C ．若非零向量 a与b 共线，则 a b
1, 2 1,2 5,6 2,0 a
A．( - ) B． C． D． D．若 a b，则 b
3．下列各式中不能化简为 PQ的是（ ） 10．对于 ABC，（角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c, ABC中的余弦定理是 c2 a2 b2 2ab cosC ），则．．
下列说法正确的是（ ）
A． AB PA BQ B． PA AB BQ
A．若 sin2A sin2B，则 ABC一定为等腰三角形
C．QC QP CQ D． AB PC BA QC B．若 sinA sinB，则 ABC一定为等腰三角形
4．已知 a 2
π
，且 a b 2，则向量b在向量 a上的投影向量为（ ） C．若 a b 2c，则0 C 3
1 1 r
A． a B． b C． a D． b D．若 tanA tanB tanC 0，则 ABC一定为锐角三角形2 2
5．若在三角形 ABC中， AC 2DC，CB 2BE，则DE （ ） 11．在 ABC中，角 A,B,C的对边分别是 a,b,c，若 acosB bsinA c，a 2 10,a
2 b2 c
2 absinC，
1 3 1 3 1
A． CA CB CA
3 1 3
B． CB C． CA CB D． CA CB 则（ ）
2 2 2 2 2 2 2 2
6．在 ABC中，A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 a2 b2 c2 2bc 且bcosC a sin B，则 ABC A． tanC
π
2 B． A C． b 6 2 D． ABC的面积为3 12 2
是（ ） 12．对于非零向量 a x, y ，定义变换 F a x y, x y 以得到一个新的向量．则关于该变换，
A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
下列说法正确的是（ ）
7．在 ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，向量m 2b c,sinC ，向量 n sin B, 2c b ，
A．若 a / /b，则 F a / /F b B ．若 a b，则 F a F b
且满足m n 2asin A，则角 A＝（ ） cos F a ,F(b) cos a ,b 1C．存在 a,b 使得
π π 2π 5π 2
A． B． C． D．
6 3 3 6
D．设a 10110 5,2 , a1 F a0 , a2 F a1 , , a2023 F a2022 ，则 a0 a2023 2
试卷第 1页，共 2页
{#{QQABQQaQogCoAIJAABgCEQXACkCQkBEACIoGhAAAIAAASRFABAA=}#}
三、填空题（每小题 5 分，共 20 分。） 20．（12分）已知在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且 2acosB ccosB bcosC．
13．已知 A 2, 4 ,B 4,3 ,C 2, x 三点共线，则实数 x . (1)求角 B的大小；
(2)设向量m cos A,cos2A ,n
12, 5 ，求当m n 取最大值时， tanC的值．
14．已知向量 a，b 满足 a b 2， a,b 60 ，则 a b ．
a
15．已知向量 2,1 ，b 2, x 不平行，且满足 a 2b a b ，则 x ．
π
16．在 ABC中，三内角 A、B、C对应的边分别为a、b、c，且 a 1, A ，则 ABC面积的最大值
6
为 ． 21．（12分） ABC中， AB 2AC ，点D在BC边上， AD平分 BAC．
四、解答题（共 70 分） (1)若 sin ABC 5 ，求 cos BAC；
5
17．（10分）已知向量 a 1,3 ，b 2,5 ，求：
(2)若 AD AC ，且 ABC的面积为 7，求 BC．
(1) a b； (2) 3a
b ； (3) a b 2a b ..
1
18．（12分）在△ ABC中，内角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c，已知 a 1，b 2， cosC . 22．（12 分）在 ABC中， sinA 2sinB,b 2 ．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
4
(1)求 c的值； (2)求△ ABC的面积. 一个作为已知，使 ABC存在且唯一确定，并解决下面的问题：
(1)求角 B的大小；
(2)求 ABC的面积．
19．（12分）如图，在 ABC中，已知 AB 2，AC 4， BAC 60 ，M ，N分别为 AC，BC上的 条件①： c 4；
1
两点 AN AC BM 1
2 2 2
， BC， AM ， BN 相交于点 P． 条件②：b a c 2ac；
2 3
条件③： acosB bsinA．
注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分．
(1)求 AM 的值；
(2)求证： AM PN．
试卷第 2页，共 2页
{#{QQABQQaQogCoAIJAABgCEQXACkCQkBEACIoGhAAAIAAASRFABAA=}#}青铜峡市宁朔中学2023-2024学年第二学期
高一数学月考试卷
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．
B．，是单位向量，则
C．若，则
D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】C
【分析】
利用向量的有关概念即可.
【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；
对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；
对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；
对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确．
故选：C．
2．已知向量，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量坐标的加减可得.
【详解】
故选：A
3．下列各式中不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据平面向量加、减运算法则及运算律计算可得.
【详解】对于A：，故A不合题意；
对于B：，故B满足题意；
对于C：，故C不合题意；
对于D：，故D不合题意.
故选：B
4．已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量在向量上的投影公式进行计算即可.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为：，
故选：C.
5．若在三角形中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据图形，由向量的线性运算及减法运算求解即可.
【详解】如图，
因为，，
所以，
所以，
故选：A
6．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】A
【分析】由结合余弦定理可求得，由结合正弦定理可求得，从而可判断出三角形的形状
【详解】由，得，
所以由余弦定理得，
因为，
所以，
因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，
所以,
所以为等腰直角三角形，
故选：A
7．在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，向量，且满足，则角A＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由结合正弦定理得到，然后利用余弦定理求解.
【详解】解：因为，向量，且，
所以，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
所以，因为，所以，
故选：C.
8．已知边长为等边三角形中，点为边上一点，，，则下列结论一定正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用余弦定理求出，从而求出，即可判断A、B，再由正弦定理判断C，利用余弦定理求出，，即可判断D.
【详解】依题意，，，且，
由余弦定理，
即，解得或，
当时，符合题意，
当时，不符合题意，
所以，则，
所以，，故A错误，B正确；
又，，
所以，所以，故C错误；
又，
所以，故D错误.
故选：B
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
B．若非零向量与是共线向量，则四点共线
C．若非零向量与共线，则
D．若，则
【答案】ABC
【分析】
利用向量的定义、共线向量、向量相等、向量的模的概念进行确定即可．
【详解】
对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误；
对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误；
对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，
方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误；
对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确．
故选：ABC
10．对于，（角所对的边分别为中的余弦定理是），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则一定为等腰三角形
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，则
D．若，则一定为锐角三角形
【答案】BD
【分析】根据正弦定理和诱导公式计算即可判断A；由正弦定理化简即可判断B；由余弦定理和基本不等式计算化简即可判断C；根据诱导公式和两角和的正切公式化简计算即可判断D.
【详解】对于A，在中，若，
因为，
则或，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若，
由正弦定理得，所以一定为等腰三角形，故B正确；
对于C，由余弦定理，
得，又，
所以，
即，
即，
又，当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为，所以，所以，
又因，所以，故C错误；
对于D，，
所以，
所以，
所以三个数有个或个为负数，
又因为最多一个钝角，
所以，即都是锐角，
所以一定为锐角三角形，故D正确.
故选：BD.
11．在中，角的对边分别是，若，，则（ ）
A． B．
C． D．的面积为
【答案】AC
【分析】根据及余弦定理可判断A；根据及正弦定理可判断B；由的值及同角三角函数的基本关系可求，，根据正弦定理求出，代入求出可判断C；根据三角形面积公式可判断D.
【详解】由余弦定理可得，解得，故A正确；
由及正弦定理，可得,
化简可得.
因为，所以，所以，即.
因为，所以，故B错误；
因为，所以且，代入，
可得，解得，.
因为，，，
所以由正弦定理可得，
由，可得，
化简可得，解得或（舍），故C正确；
.
故选:AC.
12．对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量．则关于该变换，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．存在使得
D．设，则
【答案】ABD
【分析】
由定义变换的新向量，结合向量平行的条件验证选项A，结合向量垂直的条件验证选项B，由向量夹角的坐标运算验证选项C，由新定义向量的变换，得到向量间的关系，求出，再计算验证选项D．
【详解】
A选项，，设，
若，则有，所以，
则，故A选项正确；
B选项，若，则有，
故，
则，故B选项正确；
C选项，
，
，
，故C选项错误；
D选项，当时，，
，
，
，
，D选项正确．
故选：ABD．
【点睛】
新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
三、填空题
13．已知三点共线，则实数 .
【答案】6
【分析】由题意可得，再根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】由，得，
因为三点共线，
所以，
则，解得.
故答案为：.
14．已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】
根据数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，，
所以，
所以.
故答案为：
15．已知向量，不平行，且满足，则 ．
【答案】/
【分析】由向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，即可求解.
【详解】，，
由，可知，，
得或，
若，则，，
由向量与不平行，所以舍去，
综上可知，.
故答案为：
16．在中，三内角对应的边分别为，且，则面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用余弦定理和基本不等式可得的范围，再由三角形面积公式得解.
【详解】根据题意由余弦定理可得： ，
即，
所以（当且仅当时等号成立）
∴，（当且仅当时等号成立），
即面积最大值．
故答案为：
四、解答题
17．已知向量，，求：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根据向量数量积的坐标计算公式直接计算；
（2）根据向量的线性运算及模长公式直接计算；
（3）根据向量的线性运算及数量积公式直接计算.
【详解】（1）由已知，，
得；
（2）方法一：，所以；
方法二：，
所以；
（3）方法一：因为，，所以；
方法二：.
18．在△中，内角所对的边分别是，已知，，.
(1)求的值；
(2)求△的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解；
（2）先用同角三角函数关系式求出，再用三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）由余弦定理可得
，即，
解得，
（2）∵，且，
∴,
由得，,
∴.
故△的面积为.
19．如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．
(1)求的值；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得；
（2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以；
（2）
因为，
所以，
所以，
所以，即，所以．
20．已知在中，角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)设向量，求当取最大值时，的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）先利用正弦定理化边为角，再根据两角和的正弦公式结合三角形内角和定理即可得解；
（2）根据数量积的坐标公式结合二倍角的余弦公式及二次函数的性质，求出取最大值时，的值，再结合三角形内角和定理及两角和的正切公式即可得出答案.
【详解】（1）
由题意，
所以，
，．
，
，；
（2）
，
所以当时，取最大值，
此时 ，
.
21．中，，点在边上，平分．
(1)若，求；
(2)若，且的面积为，求．
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）由正弦定理及同角三角函数的关系，求出，的正余弦值，再由互补关系求出；
（2）由和的面积为，分别求出和，再根据余弦定理求出的值.
【详解】（1）由正弦定理得，AB＝2AC，C＞B，
又∵，∴，
∵，
∵AB＝2AC，∴C＞B，即大边对大角，，
又∵，∴，
∵，
∴
或，
（2）设AB＝2AC＝2t，∠CAD＝θ，∴AD＝AC＝t，
∵，∴，
∴，
∵为三角形的内角，，∴，∴，
∵，∴，
又∵，∴，
在△ABC中，运用余弦定理可得，
，
∴．
22．在中，．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：
(1)求角的大小；
(2)求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】
（1）根据正弦定理化简已知条件，选择条件①、条件②、条件③后，根据所选条件进行分析，由此求得正确答案.
（2）利用三角形的面积公式求得正确答案.
【详解】（1）依题意，，由正弦定理得.
选①，，则，三角形不存在，不符合题意.
选②，，则，
，则为锐角，且.
且由得，
三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.
选③，，由正弦定理得，
由于，所以，则，则为锐角，且.
由余弦定理得，即，
得，
所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.
（2）由（1）得三角形是等腰直角三角形，所以.
