华东师范大学第二附属中学
海南分校2023-2024第二学期质量监测高一数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．化简等于（ ）
A． B． C． D．
2．将函数的图象向左平移 个单位长度．所得图象的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
5．已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（ ）
A．－16 B．16 C． D．
6．将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数的图象，且的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，对于函数有以下几个结论：
（1）； （2）它的图象关于直线对称；
（3）它的图象关于点对称； （4）若，则；
则上述结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下，则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间（单位：分钟）之间的关系为．某时刻（单位：分钟）时，盛水筒在过点（为筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5米，则再经过分钟后，盛水筒（ ）
A．在水面下 B．在水面上
C．恰好开始入水 D．恰好开始出水
8．已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．向量，则下列说法正确的是（ ）
A． B．向量方向相反 C． D．
10．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．向量，能作为平面内所有向量的一组基底
B．若点G是的重心，则
C．若，则或
D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为
11．已知函数，，则（ ）
A．将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
B．将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
C．函数与的图象关于直线对称
D．函数与的图象关于点对称
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．将函数的横坐标伸长为原来的两倍所得到图像的解析式为 ．
13．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则 ．
14．已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，定义为向量与的向量积，是一个向量，它的模.若，则
(1)当时，θ= ．
(2)若向量与为单位向量，当时，在上的投影向量(与同向的单位向量为)为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题13分）已知点是线段的中点.
（1）求点和的坐标；
（2）若是轴上一点，且满足，求点的坐标.
16．（本小题15分）已知向量、的夹角为．
(1)求·的值
(2)当时，对于任意的，证明：和垂直．
17．（本小题15分）已知函数的部分图象，如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
18．（本小题17分）如图，在一块扇形木板中，半径，圆心角，是扇形木板圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记.
(1)将矩形的面积表示成关于的函数的形式；
(2)求的最大值及此时的角.
19．（本小题17分）如图，分别是矩形的边和上的动点，且.
（1）若都是中点，求.
（2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值.
（3）若，求的最小值.华东师范大学第二附属中学
海南分校2023-2024第二学期质量监测高一数学试卷答案
1．D .
2．C将函数的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：．
3．C ，
4．C对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误；
对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误；
对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确；
对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误.
5．A由题意得，，
因为B，C，D三点共线，所以，则，得.
6．C解：由题意得：
，向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数.
对于选项A：由的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，最小正周期，即，解得，故，所以（1）错误；
当时，代入可知，故图像的一条对称轴是，故（2）正确；
当时，代入可知，故图像的一个对称点是，故（3）正确；
若，则，所以
因此在上的取值范围是，故（4）正确；
由上可知（2）（3）（4）正确，正确的个数为个.
7．B由题意，，可得，或（舍去）．
所以，
所以再经过分钟，可得，所以盛水筒在水面上．
8．D因为，所以，当且仅当时，取等号，
设的夹角为，由题意得，
因为向量非零且不垂直，所以且，
所以，所以夹角的余弦值的最小值为.
9．ABD因为 ，所以，故D正确；由向量共线定理知，A正确；－3<0，与方向相反，故B正确；由上可知，故C错误．
10．BD因为向量，，则，即，则不能作为平面内的基底，故A错误；
如图所示，连接并延长交于点，点为中点，延长到点，使得，则，，所以，故B正确；
因为，若，则或或，故C错误；
因为向量，，则向量在向量上的投影向量为，故D正确；
11．ACD因为，
将函数的图象右移个单位可得到，
将函数的图象右移个单位可得到，
故A正确，B错误；
由A选项可知，，所以函数与的图象关于直线对称，故C正确；
若函数与的图象关于点对称，则在上取点关于的对称点必在上，所以，所以，故D正确.
12．【详解】的横坐标伸长为原来的两倍，则变为原来的，
13．.
，
所以，，.
14．/
由，得，即，又，所以.
由，得，即，
当时， ，则 ， 所以===，
由于与的夹角为，故在上的投影向量为.
15．（本小题13分）解：（1）是线段的中点，……….3分
…….…6分
（2）设，则，…….…9分
∵∥，∴，解得，点的坐标是. …..…13分
16．（本小题15分）
（1）．………6分
（2）当时，， 则，与实数的值无关，即当时，对于任意的，和都垂直．………15分
17．（本小题15分）
（1）解：根据函数的部分图象
可得，，所以. …..…4分
再根据五点法作图可得，所以，. ………7分
（2）将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. ………9分
由，可得又函数在上单调递增，在单调递减…..…12分
，，……..…14分
函数在的值域. …….…15分
18．（本小题17分）
（1）在中，，，，，
，，（）；. ...…7分
（2），. …….…12分
因为，，当，即时，取得最大值. . …….…17分
19．（本小题17分）
（1）以点A为原点建系，得,,，∴. . ………4分
（2）由（1）知，设，
∴，，
∴
当时，最大值. . ….……10分
（3）设，则，
∴，
当且仅当时，等号成立，故最小值是. . ………17分
答案第6页，共6页
