2023-2024学年第二学期3月月考高一级·数学
考试时间：120分钟，满分：150分
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.）
1．已知集合，则B=( ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则Z的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．i
3．已知向量=(2,3)，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列命题正确的有（ ）
A．若，，则．
B．向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上
C．
D．满足的四边形ABCD是正方形
5．在中，，，则角A的大小为（ ）
A． B．或 C． D．或
6．在平行四边形中，，设，，则向量（ ）
A． B． C． D．
7．在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．6或
8．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛，若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（ ）
A．北偏东 B．北偏东
C．北偏东 D．北偏东
二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分.）
9．若是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
10. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若△ABC是锐角三角形，则不等式恒成立
C. 若，则△ABC必是等边三角形
D. 若，，则△ABC是等边三角形
11．下列说法正确的是（ ）
A．对于任意两个向量，，若且与同向，则
B．已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为
C．设，为非零向量，则“”是“存在负数，使得”的必要不充分条件
D．，则与的夹角是锐角
12．已知锐角三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c =2．则下列结论正确的是（ ）
A．的面积最大值为2 B．的取值范围为
C． D．的取值范围为
三、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）
13．在中，，则角C= ___
14．已知向量，.若，则 ．
15. 在中，角所对的边分别为，，，，且面积为，若，则______．
16.如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共6个大题，共70分）
17.(10分）．设复数，其中.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.
18．(12分）已知，，，试求：
（1）；
（2）与的夹角.
19．(12分）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.
(1)设，，用，表示，；
(2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.
20(12分）北京年冬奥会于年月日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保、舒适、温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，，且，，．
求氢能源环保电动步道的长；
若选_____；求花卉种植区域总面积．
从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
21.(12分）已知函数+.
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）在中，、、分别是角、、的对边长，若，，的面积为，求的值.
22．(12分）已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c.若
且
（1）求角A的大小；
(2)若，求的周长的取值范围.2023-2024学年第二学期3月月考高一级·数学参考答案
本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟。
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.）
1．已知集合，则B= (D ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则的虚部为（ C ）
A． B． C．1 D．i
3．已知向量，，则“”是“”的（ B ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列命题正确的有（ C ）
A．若，，则．
B．向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上
C．
D．满足的四边形ABCD是正方形
5．在中，，，则角A的大小为（ D ）
A． B．或 C． D．或
6．在平行四边形中，，设，，则向量（ A ）
A． B． C． D．
7．在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（ C ）.
A．4 B．5 C．6 D．6或
8．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛，若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（ C ）
A．北偏东 B．北偏东
C．北偏东 D．北偏东
【答案】C
【解析】作出示意图如图所示，根据题意，，
根据余弦定理，
因为，
所以，
因为，所以
，
因为为锐角，所以，
所以从海岛出发沿直线到达海岛，航行的方向是北偏东，
航行的距离是海里，故选:C.
二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分.）
9．若是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是（ ABC ）
A． B．
C． D．
10. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（ AD）
A. 若，则
B. 若△ABC是锐角三角形，则不等式恒成立
C. 若，则△ABC必是等边三角形
D. 若，，则△ABC是等边三角形
11．下列说法正确的是（ BC ）
A．对于任意两个向量，，若且与同向，则
B．已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为
C．设，为非零向量，则“”是“存在负数，使得”的必要不充分条件
D．，则与的夹角是锐角
【答案】BC
【分析】由数量积公式结合特殊值逐一判断即可.
【详解】向量不能比较大小，故A错误；
在上的投影向量为，故B正确；
当时，，但是不存在负数，使得，当存在负数，使得时，，则“”是“存在负数，使得”的必要不充分条件，故C正确；
当与同向时，，故D错误.
故选：BC
12．已知锐角三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c =2．则下列结论正确的是（BCD ）
A．的面积最大值为2 B．的取值范围为
C． D．的取值范围为
【答案】BCD
【解析】A选项，由余弦定理得，即，所以，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
此时为锐角三角形，满足要求，故，解得，
故，A错误；
B选项，由正弦定理得，所以，
，
因为为锐角三角形，所以，，解得，
则，，，B正确；
C选项，，由正弦定理得，C正确；
D选项，，
由C选项可知，所以，
故，D正确.故选：BCD
三、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）
13．在中，，则C=
14．已知向量，.若，则 ．
15. 在中，角所对的边分别为，，，，且面积为，若，则____3__．
16.如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 .
根据已知条件求出，再表示出，进而求其最小值.
【详解】由题菱形边长为2，
则，，所以，
又因为，
所以，
所以，
令，
则，
所以，
则当时，取最小值为.
故答案为：
四、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(10分）．设复数，其中.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的定义可得到解方程即可；
（2）根据复数对应的点在复平面的第四象限内可以得到，解不等式即可.
【详解】（1）是纯虚数，只需，解得 …….(5分)
（2）由题意知，
解得，
故当时，所对应的点在复平面的第四象限内. …….(10分)
18．(12分）已知，，，试求：
（1）；
（2）与的夹角.
【答案】（1）2；（2）
【解析】（1）由，可得，则，
即，又，，则，
则 …….(6分)
（2），
又，则，故与的夹角为. …….(12分)
19．(12分）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.
(1)设，，用，表示，；
(2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.
【答案】(1)，
(2)，证明见解析
【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可；
（2）用基底表示两个向量，利用数量积的运算证明即可.
【详解】（1），
； …….(6分)
（2），证明如下：
由（1）知，，
所以，
设，则，
所以，所以，得证. …….(12分)
20(12分）北京年冬奥会于年月日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保、舒适、温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，，且，，．
求氢能源环保电动步道的长；
若选_____；求花卉种植区域总面积．
从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
20.【答案】解：．，
，
，，
由余弦定理得，
， …….(6分)
选：
，在中，由正弦定理得，．
，由知代入上式可得，
解得，
，
，
，，
故，
故花卉种植区域总面积为 …….(12分)
选：
，在中，由余弦定理得，
解得或舍去，
．
，
，
，
，
，
故花卉种植区域总面积为（.12分)
21.(12分）已知函数+
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）在中，、、分别是角、、的对边长，若，，的面积为，求的值.
21.解： (1)+
即.故最小正周期为.…….(3分)
单调递增区间：.
故,递增区间为,.…….(6分)
(2)由得,因为.
故,故.
又,故.
故,故…….(12分)
22．(12分）已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c.若
且 且
（1）求角A的大小；
(2)若，求的周长的取值范围.
【详解】（1）解：因为
所以，a
由正弦定理得，
又因为，可得，所以，可，
因为，所以. …….(6分)
（2）由正弦定理得，即，
则，
，
因为，解得，得，
所以，得．…….(12分)
