2023-2024学年第二学期3月月考高二级·数学（答案）
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.A
6.D
【详解】函数的定义域为，
且，
令，解得，
所以的单调递增区间为.
7.B
【详解】若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若、和在上单调递增，则有个；
综上所述：共有个.
8.B
【详解】由题意得构造函数，则对任意的恒成立，
所以在上是减函数，
对A：因为，所以，即，得，故A错误；
对B、C、D：因为，所以，即，故C错误；
因为，所以，所以，即，故D错误，故B正确.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.BCD
【详解】对于A，由，可得，无解，所以A不符合题意；
对于B，由，可得，有解，所以B符合题意；
对于C，由，可得，有解，所以C符合题意；
对于D，由，可得，有解，所以D符合题意.
10．BC
【详解】A：甲乙不相邻的不同排法有种，所以本选项不正确；
B：甲乙中间恰排一个人的不同排法有种，所以本选项正确；
C：甲乙不排在两端的不同排法有种，所以本选项正确；
D：甲在乙左侧（可以不相邻）的不同排法有种，所以本选项不正确.
11．ABC
【详解】对于A，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于B，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于C，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数，
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.180
【详解】从3名女生中选1人，5名男生选2人，再把3 人分配给3 个项目，
所以不同的安排方案有种.
13.
【详解】因为函数在区间上是单调函数，
则在上有或恒成立，
当时，即，则，
当时，即，则，
综上：实数a的取值范围是.
14．
【详解】由题意分析知：不超过20的素数有，
随机抽取两个不同的素数，基本事件总数，
取出的两个数是孪生素数包含的基本事件有：
,，,，,，,，共4个，
故两个数为孪生素数的概率是.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应马出文字说明 证明过程或璌算步骤.
15.【详解】（
（1）-------------- 5'
（2）原方程可变形为，，--------------------------- 7'
即，-------------- 9'
化简整理，得. ------------------------------ 11'
解此二次方程，得n＝9或n＝－6（不合题意，舍去），所以n＝9为所求．----------13'
16.【详解】
（1）根据题意，先将2名女教师排在一起，有种坐法， --------------------2'
将排好的女教师视为一个整体，与3名男教师进行排列，共有种坐法，----- 5'
由分步乘法计数原理，共有种坐法。 -------------------- 7'
（2）根据题意，先将3名男教师排好，有种坐法， ---------------------------- 9'
再在这3名男教师之间及两头的4个空位中插入2名女教师，有种坐法，------ 12'
由分步乘法计数原理，共有种坐法． ----------------------- 15'
17.【详解】
（1），令，得，即， ------------- 4'
所以的单调递减区间为； ---------------------------------- 7'
（2）当时，单调递增； --------------------------------- 10'
当时，单调递减， -------------------------------- 13'
所以，即的最大值为. ----------------- 15'
【详解】
（1）函数的定义域为： ----------------------1'
且 ----------------------4'
因为函数的单调增区间是，
所以的解集是. ---------------------6'
所以方程的解是，， --------------------8'
所以. -------------------9'
（2）当时，令，则或 ---------------11'
当变化时，，的变化情况如下表：
x 1
f'(x) + 0
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
--------------------- 14'
当时，有极小值；
当时，有极大值.--------------------- 17'
19.【详解】
（1）当时，， ------------------2'
当，且时，
，------------ 5'
当时，符合上式，
故，（且）. ------------------------------------7'
（2）依题意，这个汽车4S店在2023年的第个月的月利润
（且）， ------------------------------ 10'
， ------------------------------- 12'
令，得：或（舍去）， ------------------------------- 14'
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值为.--------------------- 16'
故这个汽车4S店在2023年的第5个月的月利润最大，最大月利润为31250000元. ---17'2023-2024学年第二学期3月月考高二级·数学
考试时间：120分钟，满分：150分
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（ ）
A．22种 B．33种 C．300种 D．3 600种
2．在处的导数（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ）
A．有2个极值点 B．在处取得极小值
C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减
4．已知函数在处取得极小值1，则（ ）
A． B．
C． D．
5．现有6名志愿者去5个社区去参加志愿活动，每名志愿者可自由选择其中的1个社区，不同选法的种数是（ ）
A．56 B．65 C．30 D．11
6．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ）
A．16 B．24
C．32 D．48
8．已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列函数中，其图象在某点处的切线与直线平行的是（ ）
A． B． C． D．
10．甲乙丙等人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（ ）
A．甲乙不相邻的不同排法有种 B．甲乙中间恰排一个人的不同排法有种
C．甲乙不排在两端的不同排法有种 D．甲在乙左侧（可以不相邻）的不同排法有种
11．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A． B． C． D．
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．第13届冬残奥会于2022年3月13日在北京举行，现从5名男生、3名女生中选3人分别担任残奥冰球、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且只有1名女生被选中，则不同的安排方案有 种.
13．函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是 .
14．孪生素数是指相差2的素数对，例如5和7，“孪生素数猜想”正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数.在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，则这两个数为孪生素数的概率为 .
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应马出文字说明 证明过程或璌算步骤.
（13分）（1）计算：
（2）求等式中的n值．
16．（15分）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有3名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求：
(1)2名女教师必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)2名女教师互不相邻的坐法有多少种？
17．（15分）已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)求的最大值.
18．（17分）设，函数的单调增区间是．
(1)求实数a；
(2)求函数的极值．
19．（17分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为福清人喜爱的交通工具.据预测，福清某新能源汽车4S店从2023年1月份起的前x个月，顾客对比亚迪汽车的总需量（单位：辆）与x的关系会近似地满足（其中且），该款汽车第x月的进货单价（单位：元）与x的近似关系是.
(1)由前x个月的总需量，求出第x月的需求量（单位：辆）与x的函数关系式；
(2)该款汽车每辆的售价为185000元，若不计其他费用，则这个汽车4S店在2023年的第几个月的月利润最大，最大月利润为多少元？
