湘教版初中数学导学案九年级上册第3章 相似图形

3.1.1 比例的基本性质
【学习目标】：
理解比例的基本性质，并会进行简单变形.
3. 通过现实情境，培养应用意识，了解数学、自然、社会的密切联系.
【体验学习】：
一、新知探究
请认真阅读教材第62-63页的内容，回答下列问题
1. 比例的基本性质是什么？
2．通过研究教材62-63页，试探究：如何由，得到和＝？
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1.若成比例，则这个比例式为（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则 ， ， .
3. 当比例式为，则__________.
4. 已知四个数成比例，
若求；
若求.
5. 已知 ，则 ， .
6. 若，则 ；若，则 .
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
若，求的值.
2. 已知
【当堂检测】：
1. 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳 ( http: / / www.21cnjy.com )光下的影长为0.8米，一颗大树的影长为4.8米，则树的高度为 .
2. 解比例：若，则=________.
3．已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】：
什么是黄金三角形
所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值；对应的还有：黄金矩形之类，正是因为其腰与边的比约为0.618而获得了此名称.
黄金三角形分为两种：
　　①是等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°；这种三角形既美观又标准.这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：.
　　②是等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：.
【课后精练】：
1. 与能组成比例的是（ ）
A. B. C. D.
2. 解比例：
（1）； （2）
已知，则︰＝ ，
若，则 ；若，则 .
5. 已知，求代数式的值.
3.1.2成比例线段
【学习目标】：
结合现实情境了解线段比与成比例线段的概念，并利用其解决一些简单的问题.
理解黄金分割的定义，并学会将黄金分割比例的美运用到生活中.
经历探索成比例线段的过程，培养应用意识，了解数学、自然、社会的密切联系.
【体验学习】：
一、新知探究
请认真阅读教材第64-66页的内容，回答下列问题
1. 什么叫作线段的比？若线段线段，则与的长度比为 ，记作 ；若线段线段，则线段 .
2．什么是成比例线段？
3. 线段a，b，c，d成比例线段与线段a，c，d，b成比例线段是否一样？
6. 仔细阅读教材65-66页，分析什么是黄金分割？ 并体会如何用方程的思想求出黄金分割比的.
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1. 等腰三角形两腰的比是________；等腰直角三角形的腰与底边的比是_______.
2. 在比例尺为∶地图上，量得甲、乙两地的距离为厘米，甲、 乙两地的实际距离为 米.
3.已知点在线段上，且∶∶，则∶_______，∶_ ___.
4. 判断下列各组线段是否成比例.
(1) (2) (3)
5. 已知，点和是的两个黄金分割点，则＝ .
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
6.如图，在中，，并且.
（1）求的长.
（2）等式成立吗？请说明理由.
7. 从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金分割比时，可以给人一种协调的美感，某女老师上身长约为，下身长约，她要穿多高的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果？（精确到）
【当堂检测】：
1.如图所示求线段比、、、、；
2.指出上题中成比例的线段.
3. 已知线段，点为的黄金分割点（），求的长及 .
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】：
黄金分割
黄金分割律，由公元前六世纪古希腊数 ( http: / / www.21cnjy.com )学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割.黄金分割在未发现之前，在客观世界中就存在，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识.当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现，在自然界的许多优美的事物中度都能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星……许多动物、昆虫的身体结构中，特别是人体中更是有着丰富的黄金比关系.
【课后精练】：
1. 直角三角形斜边上的中线与斜边的比是________.
2.延长线段到，使，那么∶__ _____.
3. 下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．4cm，2cm，1cm，3cm B．1cm，2cm，3cm，4cm
C．1cm，2cm，20cm，40cm D．5cm，10cm，15cm，20cm
4.如图，已知 ，求AC的长.
5. 已知一个等腰三角形，其底和腰的比为黄金比值时，这样的三角形就是黄金三角形.如图，是黄金三角形，，，作的角平分线交于点，证明：是黄金三角形.
3.2平行线分线段成比例
【学习目标】：
1. 理解平行线分线段成比例定理及推论.
2. 学会灵活运用平行线分线段成比例定理及推论，从而求解几何图形中的线段.
【体验学习】：
一、新知探究
请认真阅读教材第68-71页的内容，回答下列问题
1. 平行线分线段成比例定理及推论是什么？
通过阅读教材68-70页的“观察”，用形象的语言简述“定理”.
通过阅读教材70页的“动脑筋”，用形象的语言简述“推论”.
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
如图1，已知直线，直线、与分别交于点、C、E、B、D、F，，，，则等于（ ）
A. 4 B. 4.5 C. 8 D. 8.5
2. 如图2，已知，那么下列结论正确的是（ ）
B.
C. D.
如图3，在中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3；4，AE=6，则AC等于_________.
如图4，已知BD∥CE，则下列等式不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
5. 如图5，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长交AD的延长线于点E，求证.
如下图，已知AD是的中线.
如图1，若E为AD的中点，射线CE交AB于点F，求.
如图2，若E为AD上一点，且，射线CE交AB于点F，求.
图1 图2
【当堂检测】：
1. 如图，，，，
，则等于__________.
2.如图，在中，点D，E分别在AB，AC边
上，DE∥BC，已知，则等于______.
如图，AB∥MN，BC∥NG，求证：.
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】：
造梯子
王大伯要做一张如图所示的梯子，梯子共用7级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等.已知梯子最上面一级踏板的长度=0.5m，最下面一级踏板的长=0.8m.则
第踏板的长度为多少？
【课后精练】：
1.如图，点D、E、F分别在的边AB、AC、BC
上，且DE∥BC，EF∥AB，求证.
2.如图，在中，D为边BC上的一点，且
BD：DC=5：3，E为AD的中点，连接BE并延
长交AC于点F，求BE：EF.
3.3相似的图形
【学习目标】：
通过测量、计算感受相似形的特征.
学会利用相似形的简单性质求角的大小与线段的长度.
【体验学习】：
一、新知探究
请认真阅读教材第73-75页内容，回答下列问题
1. 全等的两个图形其形状、大小有什么关系？
2. 用你含有60°角的直角三角板与同桌的含60°的直角三角板进行对比，对应边是否成比例？对应角是否相等？两个三角板是否相似？
3. 下列各组图形中的两个正多边形是否相似？
4. 两个相似图形，它们的对应边___________，对应角___________.
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1. 下面图形中，相似的一组是（　　）
A. B. C. D.
2. 你认为下列属性，哪个才是相似图形的本质属性（　　）
A．大小不同 B．大小相同 C．形状相同 D．形状不同
3. 下列图形是相似多边形的是（ ）
A．所有的平行四边形 B．所有的矩形 C．所有的菱形 D．所有的正方形
如图，，，
AB=6，，AC=4，则____，
____.
5. 已知，且BC=3cm，EF=6cm.与的相似比=_______，与的相似比=___________.
6. 如图，已知两个四边形相似，则=_______，_________.
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
1. 在矩形ABCD中，AB=1，若剪去一个正方形ABFE，剩余的矩形EFCD和原矩形ABCD相似，求AD的长．
2. 在一矩形的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等.花坛
米，米，试问小路的宽与的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形
能与矩形相似？请说明理由.
【当堂检测】：
1. 下图中，各组图形相似的是（　　）
A．①③ B．③④ C．①② D．①④
2. 已知，且相似比为3：2，若AB=15，则DE=________.
3. 两个相似多边形的相似比为5：3，已知其中一个多边形的最小边为15，则另一个多边形的最小边为 .
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】：
相似形
①形状相同的两个图形叫做相似形.
②相似形的条件:两个边数相等的多边形满足下列两条件时，则它们必为相似形:对应角相等、对应边成比例.
③相似形性质：对应角相等，对应边成比例.
④如果两个图形形状相等，但大小不一定相等，那么这两个图形相似
注意:全等是特殊的相似
【课后精练】：
1. 下列图形中不相似的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
2. 以下五个命题：①所有的正方形都相 ( http: / / www.21cnjy.com )似；②所有的矩形都相似；③所有的三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似；⑤所有的正五边形都相似，其中正确的命题有 .
3. 已知六边形F∽六边形，且，则它们的相似比等于_______.
4. 如图，AB∥EF∥CD，若梯形CDEF与梯形FEAB相似，求EF的长？
3.4.1相似三角形判定(1)
【学习目标】
1．能推倒“平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似”，并能利用此定理证明三角形相似.
2．能利用此定理解决相关实际问题
【体验学习】
一、新知探究
阅读教材77页“动脑筋”回答下列问题：
1.从相似三角形的定义出发，满足什么条件的两个三角形相似？
2.仔细阅读“动脑筋”的证明过程
（1）如图DE∥BC，则有哪些角相等，哪些线段成比例？
DE∥BC是否可以判定？为什么？
试用几何语言表达.
∵
∴△ABC∽
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
如左下图，在中，DE∥BC，若AD=1，AB=3，DE=2，则BC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2. 如右上图，在中，DE∥BC，若，DE=3cm，则BC的长为（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．12cm
如左下图AB∥CD，AD与BC相交于点O，那么在下列比例式中，正确的是（ ）
B．
C． D．
4. 如右上图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有________对.
5. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连
接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，
CD=3cm，则AF的长为__________.
三、综合提升
1. 如图，点D为的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使DE=EF，求证.
2. 如图AD∥EG∥BC，EG分别交AB、DB、AC于点E、F、G，已知AD=6，BC=10，AE=3，AB=5，求EG、FG的长.
【当堂检测】：
如左下图，在，D、E是边AB、AC上的点，要使得，还需要添加一个条件为_______________.
2. 如右上图，在中，DE∥BC，AD=3，BD=4，则与的相似比为_______.
3. 如右图，D、E、F分别是的边AB、AC、BC边上的点，且DE∥BC，EF∥AB，求证.
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】：
相似梯形
善于学习的小敏查资料知道：对应角相等 ( http: / / www.21cnjy.com )，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？
问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？
问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？
【课后精练】：
1. 如左下图，DE∥FG∥BC，则图中相似三角形共有_______对.
2. 如右上图所示，DE∥BC，AE=10，EB=5，DE=6，则BC=______.
如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F.（1）求证：；（2）若AD=CB=5，AB=8，CF=2，求CE的长.
3.4.1相似三角形的判定（2）
【学习目标】
1．探究相似三角形的判定定理1，并能运用其证明两三角形相似.
2. 培养观察、发现、比较、归纳能力， ( http: / / www.21cnjy.com )感受两个三角形相似的判定定理与全等三角形判定方法（AAS、ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.
【体验学习】
一、新知探究
1．阅读教材79～80页，完成94页的“动脑筋”
判定定理1：如果一个三角形的两 ( http: / / www.21cnjy.com )个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.------简称为：两角对应相等的两个三角形相似.
用几何语言表示为：
在与中
∴∽
2．想一想，为什么判断两个三角形全等需 ( http: / / www.21cnjy.com )要“AAS”或“ASA”，而判断两个三角形相似只需要“两角对应相等”？角决定三角形的什么？边决定三角形的什么？
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1.在与中，，，，，则 ∽.
2．如图为中边上一点，，
求证：⑴
⑵
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
4.如图，，.
求证：
5．如图，中，，，则：
（1）与是否相似？为什么？
（2）已知，，，
则、分别为多少？
【当堂检测】
1.如图，于，于，交于，
则图中相似三角形有 对.
2.如图，已知、在、的延长线上，.求证:∽
【学后反思】
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】
如何测量金字塔的高度
泰勒斯(古希腊数学家、天文学家)来到埃 ( http: / / www.21cnjy.com )及，人们想试探一下他的能力，就问他是否能测量金字塔高度.泰勒斯说可以，但有一个条件——法老必须在场.第二天，法老如约而至，金字塔周围也聚集了不少围观的老百姓.秦勒斯来到金字塔前，阳光把他的影子投在地面上.每过一会儿，他就让人测量他影子的长度，当测量值与他身高完全吻合时，他立刻在大金字塔在地面上的投影处作一记号，然后再丈量金字塔底到投影尖顶的距离.这样，他就报出了金字塔确切的高度.在法老的请求下，他向大家讲解了如何从“影长等于身长”推到“塔影等于塔高”的原理.也就是今天所说的相似三角形定理.
【课后精练】
1.如图所示，在梯形中，∥，对角线相交于点，
若，则 的值为（ ）
. . . .
2.如图，矩形中，为上，于，若，，，求的长.
3．如图，点 分别是线段的中点.
求证：∽
3.4.1相似三角形的判定（3）
【学习目标】
熟悉相似三角形的判定定理3的推导过程，并牢记其内容。
能灵活运用相似三角形的判定定理3证明两三角形相似.
【体验学习】
一、新知探究
阅读教材81～82页，完成下列探究活动和问题.
1.画， 其中，
画，其中，，.
思考：与相似吗？为什么？
判定定理三：如果一个三角形的两条边和另 ( http: / / www.21cnjy.com )外一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.------简称为：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
用几何语言表示为：
在与中
∴∽
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1．在与中，，，，则与中 .（填“相似”或“不相似”）
2.如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知 ，又因为 ∠AOB=∠DOC ，可证明∽．
2．能判定与相似的条件是（ ）
A. B. ，且
C. ，且 D. 且
3．如图，中，、别在、上，且，，求.
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
4.已知在与中，，，，，.求证：∽
5．如图，已知，求证：∽
【当堂检测】
如图，与是否相似？请证明你的结论.
【学后反思】
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】
奇妙的母子相似
常言道：“一母生两子，两子皆似母”.此话谈的是人类在发展过程中的变化情况.无独有偶，在相似三角形中也有类似的情况，这不得不引起我们的反思.
母子相似——容易证明！
如图：，
∽
同理可证：∽
通常把这种∽、∽
称之为“母子相似”.由母子相似带来的∽，称为“姊妹相似”.
【课后精练】
1．已知：如图，在中，为上一点，在（1）；（2）；
（3）；（4）；这些条件中，能判断和相似的是（ ）
A.（1）,（3）,（4） B.（1）,（2）,（4）
C.（1）,（2）,（3） D.（2）,（3）,（4）
2．如图，，且.求证：∽.
3．已知：如图，在等边三角形中，、分别在、上，且，.求证：∽.
3.4.1相似三角形的判定（4）
【学习目标】
熟悉相似三角形的判定定理4的推导过程，并牢记其内容.
能灵活运用相似三角形的判定定理4证明两三角形相似.
【体验学习】
一、新知探究
阅读教材83～84页回答下列问题：
任意画出两个三角形和 ，使,,，则的大小相等吗？和 相似吗？
2．如果把第1题中的2倍改成倍，那么和 还相似吗？
判定定理四：如果一个三角形的三条边和 ( http: / / www.21cnjy.com )另外一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.------简称为：三边对应成比例的两个三角形相似.
用几何语言表示为：
在与中
∴∽
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1.如图，两个三角形的关系是 （填“相似”或“不相似”），
理由是
2.已知：在与中，；.求证：∽.
3．如图，每个小正方形边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（ ）
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
4．已知的三边长分别为、、2，的两边长分别是1和，如果 与相似，那么的第三边长应该是____________.
5.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙 ( http: / / www.21cnjy.com )、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲乙丙丁四点中的 丙．
6.如图所示，三个正方形拼成一个矩形，
（1）∽ ，理由是 。
（2）求的度数.
【当堂检测】
证明：如图正方形网格中，与的
相似比为 .
2．已知如图，在中，分别是的中点.
求证：∽.
3.如图，在中，∥，∥，
求证：∽.
【学后反思】
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】
非平凡的镜像相似性（一）
欧几里德平面几何中，三角形的全等必然包含平移全等、旋转全等及镜像反射全等三类.
由此，我们也可将三角形的相似分为平移相似、旋转相似和镜像反射相似.
平移相似是一种平凡的相似性，旋转相似 ( http: / / www.21cnjy.com )是一种较平凡的相似性，而反射相似是一种非平凡的相似性.因为许多重要的定理与反射相似三角形相关，找到反射相似三角形，可以使这类命题快速得证.
【课后精练】
1．下列图形一定相似的是（ ）
A．有一个锐角相等的两个直角三角形 B.有一个角相等的两个等腰三角形
C．有两边成比例的两个直角三角形 D.有两边成比例的两个等腰三角形
2.已知中，点、分别在边、上.下列条件中，不能推断与
相似的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图所示，在四边形中，，如果要使，那么还要补充的一个条件是 （只要求写出一个条件即可）．
4．如图，点 分别是线段的中点.
求证：∽
3.4.2相似三角形的性质1
【学习目标】:
探究相似三角形的对应高、对应角平分线、对应中线的比与相似比的关系.
能运用相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的性质解决实际问题.
【体验学习】:
一、新知探究
请认真阅读教材第85~87页的内容，回答下列问题
1．若∽，那么与对应角平分线、对应中线、对应高的比与相似比相等吗？请根据下列图形口头说说你的推理过程.
小结：相似三角形的对应角平分线、对应中线、对应高比等于 .
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1.若两个相似三角形的相似比是，则它们的对应高的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 .
2.△ABC∽，，AB=4，=12，则它们对应边上的高的比是 ，若BC边上的中线为1.5，则上的中线=___ __ __
3.如图，在中，于点，则与的对应角的角平分线之比为（ ）
A. B.
C. D.
4.在20倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的边长，角，三条角平分线，三条高线，三条中线分别发生怎样的变化？
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
5.如图是两个相似的三角形，求∠C，∠D，x的值．
6．如图，已知∽，，分别是与的中线，分别是与的角平分线，
7.如图，△ABC是一张锐角三角形的硬 ( http: / / www.21cnjy.com )纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.
试说明：
求这个矩形EFGH的周长.
【当堂检测】:
1．若两个相似三角形的相似比 ( http: / / www.21cnjy.com )是2：5，则它们的对应高线的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 .
2.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且，B′D′=4，则BD的长为 .
3.两个相似三角形的相似比为1:3，其中大三角形的最小边上的高为15，则小三角形的最小边上的高为_ __ __.
【学后反思】:
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】:
用相似三角形知识推算地球的周长
古希腊的埃拉托色尼(约公元前275—前194)，博学多才，不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )学家、语言学家、哲学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长.
细心的埃拉托色尼发现 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子.但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子.他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成.从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角.按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，便能测出地球的圆周长.埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几.他还算出太阳 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近.这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank ).
【课后精练】：
1.如果两个相似三角形的相似比为1：4，则这 ( http: / / www.21cnjy.com )两个三角形的对应的高的比为_______，对应角分线的比为 _ ,对应中线的比为 .
2.已知⊿ABC∽⊿DEF，相似比为3，且BC边上的中线为18，则DE边上的中线为_________.
3.已知△ABC∽△A′B′C′,AD和A′ ( http: / / www.21cnjy.com )D′是它们的对应角平分线，且AD=8 cm, A′D′=3 cm.，则△ABC与△A′B′C′对应高的比为 .
4.如图，△ABC是一块锐角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的余料，边长 BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点在AB、AC上，这个正方形的零件的边长为多少？
3.4.2相似三角形的性质2
【学习目标】:
1.探究相似三角形的面积比与相似比之间的关系.
2.能熟练运用相似三角形面积比与相似比之间的关系解决实际问题.
【体验学习】:
一、新知探究
请认真阅读教材第87~88页的内容，回答下列问题
1.若∽，那么与面积比与相似比有什么关系？请根据下列图形写出你的推理过程.
小结：相似三角形面积比等于 .
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1.如图所示，中，∥，分别交边、于、两点，若∶，则与的面积比为 .
2.如果两个相似三角形的周长比为9∶4，则它们的面积比为 .
3.若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为 （　 　）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16
4.一张比例尺为1：4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm，面积是250cm2，则这个地区的实际周长 m，面积是 ．
5.如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=5，DB=3，BC=10.
求：（1）DE的长；
（2）求△ADE与四边形DBCE的面积之比.
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
6.如图，在中，∥∥，且，则分成三部份的面积比为（ ）
A. 1：1：1 B. ∶∶ C. 1：4：9 D. 1：4：9
7.两个相似三角形面积之差为9cm2，对应的中线的比是，则两个三角形的面积分别是多少.
8.如图，在□中，点在边上，∶∶，连接交于点，.
（1）求证：∽
（2）求
【当堂检测】：
1. 如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为（　　）
A．4:5 B．16：25 C．196：225 D．256：625
2.已知与相似，且面积比为4∶25，则与的相似比为 ．
3.已知与相似，且，则 ．
4.在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6，则这个地块的实际周长为 ，实际面积为 .
【学后反思】:
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】:
奇妙的母子相似
常言道：“一母生两子，两子皆似母”.此话谈的是人类在发展过程中的变化情况.无独有偶，在相似三角形中也有类似的情况，这不得不引起我们的反思.
母子相似——容易证明！
如图：，
∽
同理可证：∽
通常把这种∽、∽
称之为“母子相似”.由母子相似带来的∽，称为“姊妹相似”.
【课后精练】:
1.如图，△ABC中，BC = 2，DE是它的中位线，下面三个结论：
⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1 : 4．
其中正确的有 （ ）
A . 0 个 B.1个 C . 2 个 D. 3个
2.在比例尺为1：400的地图上，测得一个四边形地块ABCD的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长和实际面积．
3.如图，在△ABC中，DE//BC，若，试求△DOE与△BOC的周长比与面积比．
4.如图，D、E分别是AC，AB上的点，, AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F.若AD＝3，AB＝5，求：
（1）；
（2）的周长之比；
（3）的面积之比.
3.5相似三角形的应用
【学习目标】：
1.熟练地运用相似三角形的判断与性质，并解决实际问题.
2.提升自己将实际问题转化为数学模型的能力.
【体验学习】：
一、新知探究
请认真阅读教材第91-93页内容，回答下列问题
1. 认真阅读91“动脑筋”与“做一做”，如何去确定D、E点的位置，才能使
在我们生活中，相似三角形的性质主要运用在哪些方面？
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1.如下图，某校数学兴趣小组为测量学校 ( http: / / www.21cnjy.com )旗杆的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆的影子BC的长度为6米，那么旗杆的高度为 .
如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40mm，焦距是60mm，所拍摄的2m外的景物的宽CD为 .
3.如下图，测量小玻璃管口径的量具 ( http: / / www.21cnjy.com )ABC，AB的长为10cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处，且DE∥AB，那么小玻璃管口径DE等于 .
4.如图，路灯距地面8cm，身高 ( http: / / www.21cnjy.com )1.6m的小明从距离路灯的底部（点O）20m的点A处，沿AO所在直线行走14m到达B点时，他的影长有多大变化？

三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
1. 如图，已知零件的外径为30mm， ( http: / / www.21cnjy.com )现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）测量零件的内孔直径AB，若OC：OA=1：2，且量得CD=12mm，则零件的厚度x为多少？
2.某数学课外活动小组，想利用树影 ( http: / / www.21cnjy.com )测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影长为1.35米，因大树靠近一幢建筑物，树影一部分落在建筑物上（如图所示），他们测得地面部分的影长3.6米，建筑物上的影长1.8米，则树的高度为多少？
【当堂检测】：
1.如下图，夏季的一天，身高为1.6 ( http: / / www.21cnjy.com )m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，于是得出树的高度为 .
2.如上图，铁道口栏杆的短臂长为1.6m，长臂长为10m，当短臂端点下降0.8m时，求长臂端点升高的高度．
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】：
胡夫金字塔是埃及现存规模做 ( http: / / www.21cnjy.com )大的金字塔，被喻为“世界古代八大奇迹之一”，塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230米.据考证，为建成大金字塔，一共用了20年时间，每年用工10万人.原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风吹饰，所以高度有所降低.
在古希腊，有一位 ( http: / / www.21cnjy.com )伟大的科学家叫泰勒斯.一天，西拉国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，原因是很难爬到塔顶的，你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度吗？
【课后精练】：
1.如图，路灯点O到地面的垂直距离 ( http: / / www.21cnjy.com )为线段OP的长．小明站在路灯下点A处，AP=4米，他的身高AB为1.6米，同学们测得他在该路灯下的影长AC为2米，则路灯到地面的距离为 .
2. 如上图，网球的网高CD=0 ( http: / / www.21cnjy.com ).8米，小明在打网球时，球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，且BD=10米则球拍击球的高度AB= .
3.如上图，是用杠杆撬石头的示意图 ( http: / / www.21cnjy.com )，C是支点，当用力压杠杆的端点A时，杠杆绕C点转动，另一端点B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压 cm．
3.6 位似（1）
【学习目标】
1．理解并记住位似、位似图形与位似比的概念和性质.
2．会运用位似将一个图形放大或缩小.
【体验学习】
一、新知探究
阅读教材95～97页，回答下列问题.
1.举例说明什么叫“位似”，“位似中心”？.写出“位似图形”的三条性质.
2.请你说说“位似”与“相似”的异同？
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1. 找出下图中各组位似图形的位似中心.
2. 如图已知四边形，以点为位似中心，位似比为，
画出四边形在这个位似变换下的像.
3.下列图形中不是位似图形的是( ）
4.两个位似多边形的面积之比为：，则相似比为_________，如果它们对应边的延长线会交于一点，两个图形是否位似，如果位似则位似比是 .
三、综合提升
1.如图若，则下列说法中正确的有（ ）
①与是相似图形；
②与的周长之比是；
③与是位似图形；
④与的面积之比是∶.
⑤AB∥DE，AC∥DF，CB∥EF
.个 .个 .个 .个
2. 一般在室外放映的电影胶片的每一个图形的规格为，放映的荧屏的规格为，若影机的光源距胶片时，问荧屏应在离镜头多远的地方，放映的图像刚好布满整个荧屏？
【当堂检测】
如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的一半.
【学后反思】
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】
位似中心不同，位似图形不同
【课后精练】
1．若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（ ）
A.每对对应点所在的直线相交于同一点 B.两个图形上的对应线段的比等于位似比
C.两个图形上对应线段平行 D.两个图形的面积比等于位似比平方
2.如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
( http: / / www.21cnjy.com )
3.如图所示，已知△ABC与△是位似图形，O为位似中心，且OA=5，=3.
求与的面积之比.
3.6 位似（2）
【学习目标】
1．理解位似变换中对应点的坐标的变化规律.
2．会运用位似变换将坐标系内一个图形放大或缩小k倍.
【体验学习】
一、新知探究
阅读教材97～98页，回答下列问题.
1.观察教材97面《动脑筋》，对应点之间坐标的变化，你有什么发现？请再举例自我验证发现的规律.
2. “在平面直角坐标系中，如果位似变 ( http: / / www.21cnjy.com )换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.”，为什么像的坐标的比会有k或-k.两种情况？
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1．如图，将图中的△ABC以A为位似中心，放大到1.5倍，请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．
2.△ABO的定点坐标分别为A(-1 ( http: / / www.21cnjy.com ),4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相似比为2.5∶1，求点E和点F的坐标．
三、综合提升
如图，在方格纸中:
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，并求出点坐标；
（2）以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内将放大，画出放大后的图形；
（3）计算的面积．
【当堂检测】
1.如果四边形ABCD的 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标分别为A（-6，6），B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),写出以原点为位似中心相似比为1:2的一个图形的对应点的坐标。
2.如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．
【学后反思】
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【课后精练】
1、　在直角坐标系内描出点O（0，0），A（3，2），B（2，—1），连结O，A，B。
（1）写出以原点为位似中心，相似比为1:2的一个图形的对应点的坐标.
（2）两三角形的面积比是多少？
2.把图中的正五边形放大为原来图形的2倍.
答案：
3.1.1
【当堂检测】：
1. 9.6米
2. 2.4
3. C
【课后作业】：
1. C
2. (1)1 (2) 1.8 (3)
3. 5：2
4.
5.
3.1.2
【当堂检测】：
1.
2.=或=
3. =， ， =
【课后作业】：
1. 1：2
2. 3：1
C
AC=5.6
找相似三角形，利用相似成比例求解.
3.2
【当堂检测】：
略
【课后作业】：
略
13：5（过点D作AC的平行线）
3.3
【当堂检测】：
C
10
9
【课后作业】：
D
①⑤
2：3
6
3.4.1（1）
【当堂检测】：
DE∥BC
3：7
略
【课后作业】：
1. 3
2. 9
略
3.4.1（2）
【当堂检测】：
1.3
2.略
【课后作业】：
1.B
2.
3.略
3.4.1相似三角形的判定（3）
【当堂检测】
答：相似，证明略
【课后精练】
1． C
2．证明略
3．证明略
3.4.1相似三角形和判定（4）
【当堂检测】
1.
2．证明略
3. 证明略
【课后精练】
1．A
2．C
3．
4．证明略
3.4.2相似三角形的性质1
【当堂检测】:
1.、、
2.6
3.5
【课后精练】：
1. 1：4、1：4、1：4
2.6
3.8：3
4.48
3.4.2相似三角形的性质2
【当堂检测】：
1.D
2.2：5
3. ．
4.6000cm,1500000
【课后精练】:
1.D
2. 4800cm， 960000cm2
3.1:3、1：9
4.（1）3:5
（2）3:5
(3) 9:25
3.5
【当堂检测】：
1. 8米
2. 5米
【课后作业】：
1. 4.8米
2.4米
50厘米
3.6（1）
【当堂检测】
略
【课后精炼】
1、C
2. (1)A (2)P (4)O
3. 25/64
3.6（2）
1. （1）.有两种情况，点A（x,y）的对应点A′的坐标为（2x，2y），
点A的对应点A′′的坐标为（-2x，-2y）
（2）. 相似比为2：1，面积比为4：1
【课后精炼】
1.（1） （0，0），（6，4），（4，-2）
（2）1：4
2. 多种情况，作图略
学法指导：成比例是有顺序的哦！
学法指导：设，则a,b,c都可以用k来表示.然后再把他们代入代数式中.
学法指导：若线段满足，则线段成比例线段，反之也成立.若线段则为的比例中项。
学法指导：成比例线段是有顺序的哦！
学法指导：一条线段有两个黄金分割点.可否利用黄金分割比来求线段的长度？
学法指导：女老师穿上鞋后，上、下身长有什么变化吗？
学法指导：可以从形状、大小来发现.全等形是特殊的相似形.
学法指导：定义是三角形相似的一种判定方法.
学法指导：
1．先画出图形可以帮我们更好地分析题意；
2. 你可以用两种不同的方法证明结论吗？
3. 你可以出个变式考考大家吗？
学法指导：在找两个三角形边的比时，应该注意什么吗？有何技巧？
A
B
C
D
A
B
C
A
D
C
B
高
角平分线
中线
G
H
F
E
A
C
B
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
D
B
C
E
F
G
学法指导：当没有三角形时，需要构造三角形！
学法指导：
1.想一想，位似中心不同，画出的位似图形是一样的吗？
2.位似中心可以在哪些不同的位置？
B
C
A
D
A′
D′
O
正方形与梯形


B′
C′
A′
A
B
C
O
△ABC相似于△A′B′C′
A
B
B′
A′
O
AB∥A′B′
A
D
C
F
E
B
O