湘教版初中数学导学案九年级上册第2章 一元二次方程

2.1一元二次方程
【学习目标】
1. 能够根据实际问题建立一元二次方程的模型，形成对一元二次方程的感性认识.
2. 理解一元二次方程的概念，并知道一元二次方程的一般形式.
3. 会将一元二次方程化为一般形式，并能写出二次项系数、一次项系数和常数项.
【体验学习】
一、新知探究
1.忆一忆：什么叫做方程？一元一次方程是怎么定义的？
2. 阅读教材第26、27页的内容，自主探究，回答下列问题：
（1）在教材中，动脑筋中两个问题得出的两个方程有什么共同点？未知数的个数和最高次数各是多少？
（2）类比一元一次方程的定义，试着写出一元二次方程的定义.
（3）写出一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
（4）写出教材中动脑筋的两个方程的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数？
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1. 找出下列方程中是一元二次方程的是.（只填正确的序号）
①；②；③；④；⑤；
⑥；⑦；
2. 将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数.
3. 若关于x的方程是一元一次方程，求k的值？若该方程是一元二次方程，求k的取值范围？
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
4. 把关于x的方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
5. 当为何值时，关于的方程：是一元二次方程.
【当堂检测】
1. 下列关于的方程一定是一元二次方程的有（）
（1）；（2）
（3）（4）.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2. 将方程x2－3＝－3x化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之后，a、b、c的值分别为（）
A. 0，－3，－3 B. 1，－3，－3 C. 1， 3， 3 D. 1， 3，－3
3. 若关于的一元二次方程的常数项为0，求的值？
【学后反思】
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】
关于一元二次方程的历史
在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已 ( http: / / www.21cnjy.com )出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式.但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的.埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式.希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一.公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式.
【课后精练】
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. 2x＋1＝0 B. C. D.
2. 将方程化为一般形式，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列叙述正确的是（ ）
A. 形如的方程叫一元二次方程
B. 方程不含有常数项
C. 是一元二次方程
D. 一元二次方程中，二次项系数、一次项系数与常数项均不能为0.
4. 已知关于x的方程
（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解.
（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
5. 若是一元二次方程，且满足不等式，求n的取值范围.
2.2.1 配方法（1）
【学习目标】：
1.能利用平方根的意义解一元二方程.
2.熟练用平方根的意义解形如的方程.
3.初步体会用“降次”化归的数学思想解一元二次方程.
【体验学习】：
一、新知探究
请认真阅读教材第30页“动脑筋”，回答下列问题
1.方程①中由得到的依据是什么？
2. 通过阅读第30页“动脑筋”和例1中解方程的方法，思考什么样方程适合用直接开平方法？
3.仿照第31页例2的解法完成例2下面的题目.
4.归纳总结直接开平方法解一元二次方程的步骤.
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1.一元二次方程的解是.
2.如果代数式的值是8，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
3.用直接开平方法解方程：
（1） （2）
（3） （4）
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
4.当为何值时，方程？
5.已知，求的值.
【当堂检测】：
1.用直接开平方法解下列方程.
（1） （2）
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】：“无理数”的由来
一个边长为1的正方形，你能用勾股定理求出它的对角线长吗？这个简单的问题曾经为难了很多的著名数学家.原来，在公元前500年之前，人们都认为只存在有理数（即整数和分数）.但是，在公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希勃索斯在求边长为1的正方形的对角线时，发现了与他们以前认识的所有数不同的数（即），这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒，于是希伯索斯被残忍地扔进了大海.然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”.人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把形如这样既不能表示为整数，也不能表示成分数的数取名“无理数”——这就是无理数的由来.
【课后精练】：
1.解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
2.对于形如的方程，它的解的正确表达式为：（ ）.
A.可以两边开平方得 B.当≥0时，
C.当≥0时， D.当≥0时，
3.已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两根，求等腰三角形的周长.
1.2.1 配方法（2）
【学习目标】：
1.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
2.领会配方法是一种重要的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，进一步体会化归的思想方法.
【体验学习】：
一、新知探究：
阅读教材第32、33页的内容，自主探究，回答下列问题：
1.“探究”中所列出的方程，能直接利用平方根的意义求解吗？
2.在解法中第二步为什么方程两边加上？加其他数行吗？
3.什么叫配方法？配方法的目的是什么？
4. 配方法的关键是什么？
（二）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
例1：解方程仿1：
解：
解得：
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1．用配方法解方程，则方程可化为（ ）
A. B. C. D.
2．用配方法解方程的解为（ ）
A. B.
C. D.
3．用配方法解一元二次方程：
（1） （2）
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
4．若是一个完全平方式，则的值为_______________.
5.已知为实数，且满足求的值.
6. 代数式A代数式B，试比较代数式A与B的大小.
【当堂检测】：
1.把下列各式配成完全平方式：
（1）；（2）
2.用配方法解方程的根为（ ）
A． B． C. D.
3．用配方法解方程：
（1） （2）
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】：
配方法在解题中的运用
配方法是数学中的一个重要方法，在解题中有广泛的应用.
例：分解因式：
解：配方，得
【课后精练】：
1. 把下列各式配成完全平方式：
（1）；（2）
2.用配方法解方程：
（1） （2）
5.若是△ABC的三边，且，试判断这个三角形的形状.
2.2.1配方法（3）
【学习目标】：
1.熟练掌握用配方法将二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程的形式.
2.能用配方法去解决相关的一元二次方程问题，从而体验降次的数学思想.
【体验学习】：
新知探究：
1.阅读教材34页动脑筋，解方程的第一步为什么是在方程两边同除以25，可以除以其他的数吗？
2.将一元二次方程二次项系数化为1后，接下来该如何解？
3.通过以上探究，你认为运用配方法解二次项系数不为“1”的一元二次方程的第一步是什么？
4.解方程
例1．仿做：
解：化为一般形式：
方程两边同时除以2：
移项得：
或
，
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1．若用配方法解方程时，把常数项移到右边，得______________，二次项系数化1得________________.
2.方程化成的形式是（）
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程：
（1） （2）
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
4．证明：多项式的值总大于的值
5.证明：不论取何值，代数式的值总大于0.求出当取何值时，代数式的值最小，最小值是多少？
【当堂检测】：
1.用配方法解方程时，应把它先变形为（ ）
A． B． C． D．
2.用配方法将方程配成的形式应为_________________.
3.用配方法解下列方程：
（1） （2）
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】：
配方法在解题中的运用
配方法是数学中的一个重要方法，在解题中有广泛的应用.
例：解方程是正实数）
解：原方程可化为
各自配方，得
由非负数的性质得：
【课后精练】：
1.方程配方后的结果是___________________________.
2.用配方法解方程：，配方前应先在方程的两边同时（ ）
A．减去8 B．加上8 C. 减去 D．除以
3.用配方法解下列方程：
（1） （2）
4．已知：关于的方程.求证：不论取何值，该方程都是一元二次方程.
2.2.2公式法
【学习目标】：
1．能用配方法推导出一元二次方程的求根公式.
2．熟记一元二次方程的求根公式，并会熟练应用该公式解一元二次方程.
【体验学习】：
一、新知探究：
1．用配方法解方程：
2. 认真阅读35、36页一元二次方程求根公式的推导，推导公式的主要方法是什么？
3.方程除了利用配方法，还可以用公式法解吗？
例：用公式法解方程：仿做：
解：
解：a=1，b= 2，c=－3
=16
∴1
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1．方程化成一般形式后，、、的值为（ ）
A．，， B. ，，
C. ，， D. ，，
2．在方程中，的值为（ ）
A.28 B.4 C. 19 D. 13
3. 用公式法解下列一元二次方程.
（1）
（2）
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
4.若与是同类项，则.
5.某数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题.
（1）若此方程为一元二次方程，是否存在？若存在，求出并解此方程.
（2）若此方程为一元一次方程，是否存在？若存在，求出并解此方程.
【当堂检测】：
1.方程中，
2.将方程化为一般形式，得__________________.，方程的两个根是
3.用公式法解下列一元二次方程.
(1) （2）
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】：
用公式法解方程小故事
竹竿竖比城门高3米，横比城门宽6米，沿城门两个对角线刚好，问竹竿有多长？
解：设竹竿长为米，由题意得：
因为不符题意，所以取
【课后精练】：
1.一元二次方程至少有一个根是零的条件是（）
A.且 B. C.且 D.
2.利用求根公式求的根时，的值分别是（）
A. B. C. D.
3.用公式法解下列方程：
（1）（2）
2.2.3因式分解法(1)
【学习目标】
1.通过因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的数学思想.
2.能发现可用因式分解方求解的一元二次方程的特征并掌握对应的解法步骤.
3.会根据所给一元二次方程的特征选择合适的因式分解的方法进行求解.
【体验学习】：
一、新知探究
阅读教材第38、39页，自主探究，回答下列问题：
1．回顾一下，把一个多项式进行因式分解的方法有哪些？
2．认真阅读、理解教材中例7、例8的解题过程，你体会什么是因式分解法了吗？它的基本思想是什么？
3．因式分解法解方程是把一个一元二次方程进行了怎么的转化？
4．开动脑筋总结一下，有哪3种主要类型可用因式分解法来求解，它们的特征及对应的解法步骤是什么？
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1.一元二次方程可用因式分解化为两个一次方程为__________________ 和__________________，方程的根是__________________.
2.仿照教材中例7中的（1）（2）解下列方程.
（1） （2）
（3） （4）
3. 仿照教材中例7中的(3)解下列方程
（1） (2)
4. 仿照教材中例8解下列方程
思考：能否将例8中的方法进行简化，请尝试，并总结方法，用这种方法解方程
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
5.解方程
6.已知求.
【当堂检测】：
1. 解方程，相当于解方程（ ）.
A . B.
C. 且 D.或
2. 若代数式与代数式的值相等，则_________________.
3. 用因式分解法解方程
（1） （2）
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】：
用因式分解法解一元二次方程----- 十字相乘法
对于形如“ (a，b为常数)”的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为，则或，即.
注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“ (a，b为常数)”型方程的特征.
【课后精练】：
1.方程的正确解法是（ ）.
A.化为 B.化为
C.化为 D.化为
2.已知方程的解是等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长＝ .
3.用因式分解法解方程.
（1） （2）
（3） （4）
2.2.3因式分解法(2)
【学习目标】：
1.熟练掌握一元二次方程的四种解法.
2.能概括出不同一元二次方程的特征，灵活选用合适的方法进行求解.
【体验学习】：
一、新知探究
阅读教材第40、41页的“忆一忆”及例题，自主探究，回答下列问题：
1.回顾一元二次方程的解法有哪几种？
2.每种方法所适用的一元二次方程各有怎样的特征，请你结合所学及例题进行总结.
3.在选择合适方法解一元二次方程时，应按照怎么的顺序呢？请写在下面.
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1.用指定的方法解下列方程
（1）（用直接开平方法） （2）（用因式分解法）
（3）（用配方法） （4）(用公式法)
2.灵活选择适当的方法解下列方程.
（1） （2）
（3） （4）
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
4.已知，且为实数，求的值.
5.阅读理解下列材料然后回答问题
解方程：
解：（1）当时，原方程化为
解得，
（2）当x＜0时，原方程化为
解得，
∴原方程的根是，，，
请观察上述方程的求解过程，试解方程
【当堂检测】：
1．用适当的方法解下列方程。
（1） （2）
（3） （4）
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】：
三角形鸡圈
　　 一位农夫建了一个三角形的鸡圈。鸡圈是用铁丝网绑在插入地里的桩子而围成的。
（1）沿鸡圈各边的桩子间距相等。
（2）等宽的铁丝网绑在等高的桩子上。
（3）这位农民在笔记本上作了如下的记录：
　　面对仓库那一边的铁丝网的价钱：10美元；
　　面对水池那一边的铁丝网的价钱：20美元；
　　面对住宅那一边的铁丝网的价钱：30美元；
（4）他买铁丝网时用的全是10美元面额的钞票，而且不用找零。
（5）他为鸡圈各边的铁丝网所付的10美元钞票的数目各不相同。
（6）在他记录的三个价钱中，有一个记错了。
　　这三个价钱中哪一个记错了？
【课后精练】：
1. 取何值时，多项式的值与的值互为相反数？
2.用适当的方法解下列方程.
(1) (2)
(3) (4)
2.3一元二次方程根的判别式
【学习目标】：
1. 会熟练运用求根公式解一元二次方程.
2. 了解的值与一元二次方程根的情况的关系.
【体验学习】：
一、新知探究
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
2.能用求根公式解一元二次方程的前提是什么？ 为什么？
3.阅读教材第43、44页的“议一议”内容，的值有哪几种情况？它与一元二次方程的根的情况有什么关系？
4.一个一元二次方程，你能不解就判断出它根的情况吗？
二、基础演练：
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1．已知方程，则= .
2．已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是： .
3．当 时，方程没有实数根.
4．不解方程，判断下列二元一次方程根的情况.
（1）； （2） （3）
5．已知关于的方程，问取何值时，这个方程：
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
三、综合提升：
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
6．已知：关于的方程
（1）取什么值时，方程有两个实数根；
（2）如果方程的两个实数根，满足，求的值.
7．已知、、是的三边，且方程有两个相等的实数根，判断此三角形的形状.
【当堂检测】：
1.方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D．没有实数根
2.方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________________.
3. 不解方程，判定下列方程的根的情况.
（1） （2） （3）
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】：
用公式法解题：
清清和楚楚刚学了用公式法解一元二次方程，看到一个关于 的一元二次方程， 清清说:“此方程有两个不相等的实数根”，而楚楚反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢 并说明理由.
解：第一步：计算
第二步：判断：即
所以，方程有两个不相等的实数根，清清说得对.
【课后精练】：
若方程的一个根为2，则它的另一个根是__________，=________.
2.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 .
3. 不解方程，判定下列方程的根的情况.
（1） （2）
（3） （4）
4.已知关于的方程.
（1）求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长.
2.4一元二次方程根与系数的关系
【学习目标】：
1.了解韦达定理的推导过程，并能记住韦达定理.
2.会直接运用韦达定理求特殊代数式的值.
3.能灵活运用韦达定理求解一元二次方程系数中的字母系数.
【体验学习】：
一、新知探究
阅读教材第46、47页的“做一做”、“动脑筋”，自主探究，回答下列问题：
1.完成 “做一做”，你发现一元二次方程的两个根，与系数有怎样的关系？
2.“动脑筋”中对一元二次方程根与系数的关系进行了巧妙地推导，你看懂了吗？
3.请你用求根公式对根与系数的关系进行推导，将下列过程补充完整.
解方程
解得 ，
，
4.特殊的：当二次项系数时： ，= .
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1.不解方程，求出下列方程两根的和与两根的积各是多少
（1） （2）
解：______， 解：______，
（3） （4）
解：______， 解：______，
2.已知方程的两根之和为4，两根之积为－3，则和的值为( )
A.， B.，
C.， D.，
3.已知方程的两根是，求：
　（1） （2）
（3）　 （4）
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
4.以2，－3为根的一元二次方程是 （ ）
A. B.
C. D.
5.已知方程的一个根是，求它的另一个根及的值.
6.已知关于的一元二次方程
（1）当为何值时，这个方程有两个相等的实数根；
（2）如果这个方程的两个实数根、，且满足，求的值.
【当堂检测】：
1.设是方程的两个根，求下列各式的值.
（1） (2)　 (3）
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】：
关于韦达定理
韦达，1540年出生于法国的 ( http: / / www.21cnjy.com )波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学.韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃.人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.
历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次 ( http: / / www.21cnjy.com )，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）.消息传开，数学界为之震惊.同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来.
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理.
【课后精练】：
1.已知方程的两个解分别为、，则的值为 .
2.关于的一元二次方程的两个实数根是、，且，则k的值是（ ）
A.8 B. C.6 D.5
3.设，是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A.2006 B.2007 C.2008 D.2009
4.已知关于的方程有两个实数根、.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值.
2.5一元二次方程的应用（1）
【学习目标】：
1.理解各字母所表示的意义，学会灵活应用公式解决有关平均增长率的实际问题.
2.能熟练列一元二次方程，来解决有关利润的实际问题.
【体验学习】：
一、新知探究
阅读教材第49、50页，自主探究，回答下列问题：
1.仿照教材“动脑筋”和例1中的两个等量关系，你能总结出变化率问题的一般等量关系吗？
2.教材中的例2是市场经济问题，这里常用的等量关系有哪些？
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10提高到14.4，设每年人均住房面
积增长率为．则可列方程为 .
2.某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，设这种药品平均每次降价的百分率是．则可列方程为 .
小结：若平均变化率为，变化前的数量，变化后的数量是，变化的次数是2，则可列方程为.
3．某商场将每件进价为80元的某商品， ( http: / / www.21cnjy.com )原来按每件100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现该商品单价每降低1元，其销量可增加10件.若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
分 析：在解决现实生活中的问题时，要注意背景中固定等量关系：
利润＝（售价－进价）×售出数
若设每件商品应降价元，则此时
降价前 降价后
售出数量
每件利润
总利润
解：
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
4.国家发改委公布的《商品房销售明码标价 ( http: / / www.21cnjy.com )规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；
②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？
5．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅 ( http: / / www.21cnjy.com )游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
【当堂检测】：
1.某水果批发商场有一种高档水果，如 ( http: / / www.21cnjy.com )果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
若设每千克涨价元，则可列方程为 .
2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可 ( http: / / www.21cnjy.com )售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】：
小增长，大收益
有一家牙膏厂，产品优良，包装精美，受 ( http: / / www.21cnjy.com )到顾客的喜爱，营业额连续10年递增，每年的增长率在10％～20％.可到了第11年，业绩停滞下来，以后两年也如此.公司经理召开高级会议，商讨对策.会议中，公司总裁许诺说：谁能想出解决问题的办法，让公司的业绩增长，重奖10万元.有位年轻经理站起来，递给总裁一张纸条，总裁看完后，马上签了一张10万元的支票给了这位经理.那张纸条上写着：将现在牙膏开口扩大1毫米.消费者每天早晨挤出同样长度的牙膏，开口扩大了l毫米，每个消费者就多用1毫米宽的牙膏，每天的消费量将多出多少呢!公司立即更改包装.第14年，公司的营业额增加了32％.
启示：面对生活中的变化，我们常常习惯过去的思维方法.其实只要你把心径扩大1毫米，你就会看到生活中的变化都有它积极的一面，充满了机遇和挑战.
【课后精练】：
1.某果农2011年的年收入为5万元，由于党的惠农政策的落实，2013年收入增加到7.2万元，设平均每年的增长率为，则可列方程为 .
2.某商品连续两次降价10%后为元，则该商品的原价为（ ）
A. B.1.1元 C. D.0.81元
3．2010年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为，依题意列出的方程是（ ）．
A. B.
C. D.
4.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元 若设每张贺卡降价元，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 株洲百货大楼从厂家以每件40元价 ( http: / / www.21cnjy.com )格购进一批服装，当商场按单价50元出售时，能卖500件.已知该服装每涨价1元，其销售量就会减少10件.
（1）为了能赚8000元利润，售价应定为多少？
（2）总利润能否达到10000元，为什么？
2.5一元二次方程的应用（2）
【学习目标】：
1.能根据具体问题中的等量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
2.会根据图形的面积公式列一元二次方程解决几何图形相关的面积问题.
【体验学习】
一、新知探究
阅读教材第51——52页，自主探究，回答下列问题：
1．例3中从图2-4到图2-5，道路进行了怎样的变化？为什么可以这样做？这样的变化改变原图中的绿化面积了吗？
2. 动点问题是本节的一个关键，你能说出解决动点问题的基本思路吗？
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1.如图，在宽度为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分做耕地，若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为多少？
2.如图，一块长和宽分别为60和40的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等小正方形，折成一个无盖方体水槽，使它表面积为2000，设截去的小正方形边长为 ，则可列方程为_________________________．
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
3.为响应市委市政府提出的建 ( http: / / www.21cnjy.com )设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
( http: / / www.21cnjy.com )
4.如图，在Rt△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AC、BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动。问点P、Q出发几秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？
【当堂检测】：
1.某小区准备在每两幢楼房之间，开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，设长方形绿地的宽为米，则可列方程为_____________________________．
2.如图，一块矩形草地长为80m，宽为60 ( http: / / www.21cnjy.com )m，现在中间修两条互相垂直的宽为x　m的小路，此时草坪面积为2400m2，计算路的宽度是多少m？
( http: / / www.21cnjy.com )
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动。问点P、Q同时出发，几秒后可使PQ的长为
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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【拓展链接】：
聪明的欧拉
欧拉小时候，回家后无事，他就 ( http: / / www.21cnjy.com )帮助爸爸放羊.他一面放羊，一面读书.家里羊渐渐多了，达到了100只.原来的羊圈太小了，爸爸决定建一个新的羊圈.他量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，面积正好是600平方米，平均每一头羊能占地6平方米.正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用.要想围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是(40+15)×2=110(米).欧拉的爸爸感到十分为难，若要按原计划建羊圈，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的占地面积就会小于6平方米.小欧拉却向爸爸说，不用增加材料，也不用缩小羊圈，他有办法.爸爸不相信，没有理他.但在小欧拉的坚持下，欧拉的爸爸终于同意让儿子试试看.小欧拉赶紧跑到准备动工的羊圈旁.他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米.再将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米.经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形，它的面积达到了25×25=625（平方米）.
爸爸照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，材料正好够用，面积比原来想象的还稍稍大了一些.
【课后精练】：
1. 如图，在长，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长是多少？若设所截去小正方形的边长是x cm，则下列方程正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是？
3. 如图，在Rt△ABC中∠B=90°，AB=8m，BC=6m，点M、点N同时由A、C两点出发分别沿AB、CB方向向点B匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后，△MBN的面积为Rt△ABC的面积的？
答案：
2.1一元二次方程
答案同原九上1.1建立一元二次方程模型
2.2.1配方法（1）
答案同原九上1.2.1因式分解，直接开方法（1）
2.2.1配方法（2）
答案同原九上1.2.2配方法（1）
2.2.1配方法（3）
答案同原九上1.2.2配方法（2）
2.2.2公式法
答案同原九上1.2.3公式法（1）
2.2.3因式分解法(1)
【当堂检测】：
1. D
2.6或2
3. 用因式分解法解方程
（1） （2）
【课后精练】：
1.B
2.22
3.用因式分解法解方程.
（1） （2）
（3） （4）
2.2.3因式分解法(2)
【当堂检测】：
1．用适当的方法解下列方程。
（1） （2）
（3） （4）
【课后精练】：
1.
2.用适当的方法解下列方程.
(1) (2)
(3) (4)
2.3一元二次方程根的判别式
【当堂检测】
1.D
2.k＜4且k≠0
3.（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根
【课后精练】
1.1；﹣3
2.
3.（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；
（3）有两个不相等的实数根；（4）没有实数根
4.（1）△
故无论取任何实数值，方程总有实数根
（2）解方程，得，故周长＝k+3
2.4一元二次方程根与系数的关系
【当堂检测】：
1.设是方程的两个根，求下列各式的值.
（1）原式=
(2)原式=
(3）原式=
【课后精练】：
1.3
2.D
3.C
4.已知关于的方程有两个实数根、.
（2）
2.5一元二次方程的应用（1）
【当堂检测】
（500-20x）（10+x）=6000
解：设每件降价x元，则每件利润为（40－x）元
得（40-x）（20+2x）=1200
解得或
因要减少库存，故取20
答：每件衬衫应降价20元
【课后精练】
1.
2题、3题答案同九上1.3一元二次方程的应用（1）课后精练2题、3题
4题、5题答案同九上1.3一元二次方程的应用（4）课后精练1题、3题
2.5一元二次方程的应用（2）
【当堂检测】
1．题答案同原九上1.3一元二次方程的应用（2）
增加第2、3题
2．，
3．设t秒钟后，可使PQ的长为cm，则AP=tcm，CQ=2tcm，
∵PC=AC-AP，
∴PC=（6-t）cm，
根据勾股定理得：
解得：t=2或t=
∴2秒或秒后可使PQ的长为cm．
【课后精练】
1——2题答案同原九上1.3一元二次方程的应用（2）
3题变为：设x秒后，
由题意得，即，
解之，得
∵BC=6米，
∴0≤x≤6，
∴不合题意，舍去，
答：当秒后，
思考：为什么规定？对b、c有什么要求吗？
归纳：在找一元二次方程的系数时应注意什么？
学法指导：
（1）判断一元二次方程的三个条件：
① 方程；②含有 个未知数；③未知数的 次数是2
（2）方程需先整理，再利用三个条件进行判断。
学法指导：一定要注意二次项系数不能为0.
学法指导：解这个一元二次方程的数学思想是什么？
学法指导：想一想如何解形如的一元二次方程呢？其中应满足什么要求？
学法指导：1.我们不妨整体观察要求的代数式；2.你能总结出此题的解答体现了哪些数学思想和方法吗？
学法指导：用配方法解一元二次方程的步骤：
1.将方程化为形式
2.移项，使方程左边只含和，右边为常数；
3.方程两边都加上一次项系数的的平方
4.原方程变为的形式。
5、用法解方程。
学法指导：配方法解一元二次方程的一般步骤：
1.一化：先将常数项移到方程右边，再将二次项系数化为 .
2.二配：方程左、右两边都加上 的平方.
3.三成式：将方程左边化为一个含有未知数的完全平方式.
4.四开：两边直接开平方
5.五求：求出方程的解.
学法指导：用公式法解一元二次方程的一般步骤是：
（1）把一元二次方程化成一般形式
（2）正确地确定的值。
（3）计算的值
（4）当时，再用求根公式求解。
学法指导：要注意用公式法解一元二次方程的步骤哦！
学法指导：在应用根的判别式之前，一定要先把一元二次方程化为 形式.
学法指导：我们把叫做一元二次方程的根的判别式.
（1）△＞0 方程在实数范围内 实数根.
（2）△ 方程在实数范围内 实数根.
（3）△＜0 方程在实数范围内 实数根.
学法指导：一定要把所求代数式化为：
含有 和
的形式，再利用韦达定理求值。
学法指导：想一想，如果把直接代入原方程，能否顺利解题，但这样做是否是最优方法？
思考：能用韦达定理的前提条件是什么？
蔬菜种植区域
前
侧
空
地