第1课时 等差数列的概念 课件(共50张PPT)

(共50张PPT)
第1课时　等差数列的概念
4.2.1 等差数列的概念
1.等差数列的定义
(1)条件:①从第__项起.
②每一项与它的_______的差都等于_______常数.
(2)结论:这个数列是等差数列.
(3)相关概念:这个常数叫做等差数列的_____,常用__表示.
2
前一项
同一个
公差
d
【思考】
(1)为什么强调“从第2项起”
提示:①第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合;
②定义中包括首项这一基本量,且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.
(2)如何理解“每一项与前一项的差”
提示:它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.
2.等差中项
(1)前提:三个数a,A,b成等差数列.
(2)结论:__叫做a,b的等差中项.
(3)满足的关系式:2A=____.
A
a+b
【思考】
等式“2A=a+b”有哪些等价形式
提示:2A=a+b A-a=b-A A= .　
3.等差数列的通项公式
递推公式 通项公式
______=d(n∈N*) an= _________(n∈N*)
an+1-an
a1+(n-1)d
【思考】
等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系
提示:an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,当d≠0时,an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R),当x=n时的函数an=f(n).等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合,这些点均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上;反之一次函数f(x)=kx+b可以构成等差数列{nk+b},首项为k+b,公差为k.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数,则该数列是等差数列. (　　)
(2)常数列也是等差数列. (　　)
(3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项. (　　)
(4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列. (　　)
提示:(1)×.如数列2,7,9,1.虽然7-2=5,9-7=2,1-9=-8,每一项与前一项的差都是常数,但不是同一个常数,故不是等差数列.
(2)√.因为从第2项起每一项与前一项的差是同一个常数0.
(3)√.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项.
(4)√.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.
2.下列数列是等差数列的是 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.1,
C.1,-1,1,-1 D.0,0,0,0
【解析】选D.因为 - ≠ - ,故排除A;因为 -1≠ - ,故排除
B;因为-1-1≠1-(-1),故排除C.
3.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,则数列{an}的通项公式为
(　　)
A.an=3n-1 B.an=2n+1
C.an=2n+3 D.an=3n+2
【解析】选A.an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.
4. +1与 -1的等差中项是 (　　)
A.1 B.-1 C. D.±1
【解析】选C.设等差中项为x,由等差中项的定义知x=
类型一　等差数列的定义及应用
【典例】1.已知数列{an}满足an+1-an=2,n∈N*,且a3=3,则a1=________.
2.已知数列{an}满足a1=2,an+1= (n∈N*),bn= (n∈N*).
求证数列{bn}是等差数列,并求出首项和公差.
【思维·引】1.由an和an+1的关系判断数列{an}是等差数列及其公差,由第三项
求第一项;
2.根据要证结论,方法一:将已知等式变为 =某常数的形式,方法二:
bn+1-bn是常数.
【解析】1.因为an+1-an=2,n∈N*,
所以数列{an}是等差数列,其公差为2,
因为a3=a1+2×2=3,所以a1=-1.
答案:-1
2.方法一:因为
所以 = +3,所以 - =3,
又因为bn= (n∈N*),
所以bn+1-bn=3(n∈N*),且b1= = .
所以数列{bn}是等差数列,首项为 ,公差为3.
方法二:因为bn= ,且an+1= ,
所以bn+1= = = +3=bn+3,
所以bn+1-bn=3(n∈N*),b1= = .
所以数列{bn}是等差数列,首项为 ,公差为3.
【素养·探】
在与等差数列定义有关的问题中,经常利用核心素养中的数学抽象和逻辑推理,
通过研究一个数列中任意相邻两项an+1与an(n∈N*)的关系,判定该数列是否为
等差数列,培养学生推理、论证的能力.
将本例2的条件“a1=2,an+1= ”改为“a1= ,anan-1=an-1-an(n≥2)”,其
他条件不变,如何解答
【解析】因为anan-1=an-1-an(n≥2),
所以 =1(n≥2).又因为bn= ,
所以bn-bn-1=1(n≥2)且b1= =2.
所以数列{bn}是等差数列,其首项为2,公差为1.
【类题·通】
定义法判定数列{an}是等差数列的步骤
(1)作差an+1-an;
(2)对差式进行变形;
(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.
【习练·破】
若数列{an}的通项公式为an=10+lg2n(n∈N*),求证:数列{an}为等差数列.
【证明】因为an=10+lg2n=10+nlg2,
所以an+1=10+(n+1)lg2.
所以an+1-an=[10+(n+1)lg2]-(10+nlg2)
=lg2(n∈N*).所以数列{an}为等差数列.
【加练·固】
1.以下选项中构不成等差数列的是 (　　)
A.2,2,2,2
B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3a
C.cos 0,cos 1,cos 2,cos 3
D.a-1,a+1,a+3
【解析】选C.选项A是公差为0的等差数列;选项B是公差为a的等差数列;选项D是公差为2的等差数列.
2.判断下列数列是否为等差数列.
(1)an=3n+2.(2)an=n2+n.
【解析】(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(常数),n为任意正整数,所以此数列为等差数列.
(2)因为an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2 (不是常数),所以此数列不是等差数列.
类型二　等差中项的应用
【典例】1.已知a= ,b= ,则a,b的等差中项为 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
2.{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,则公差d=
(　　)
A.2 B. C.1 D.
3.已知 , , 成等差数列,证明 , , 成等差数列.
【思维·引】1.a,b的等差中项为 (a+b).
2.根据等差中项的定义列出两个等量关系,两式相减即可求出公差.
3.由于所求证的是三个数成等差数列,所以可用等差中项来证明.
【解析】1.选A.a,b的等差中项为 =
= .
2.选C.因为{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2,a3的等差中项为2,所以a1+a2=2,a2+a3=4,两式相减得a3-a1=2d=4-2,解得d=1.
3.因为 成等差数列,所以 ,
化简得2ac=b(a+c),
又 = =
= = = =2· ,
所以 , , 成等差数列.
【内化·悟】
三数a,b,c成等差数列的条件是什么 可用来解决什么问题
提示:条件是b= (或2b=a+c),可用来解决等差数列的判定或有关等差中项
的计算问题.
【类题·通】
1.等差中项的应用策略
(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解.
(2)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即2an=an-1+an+1;实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,即2an=an-m+an+m(m,n∈N*,m2.等差中项法判定等差数列
若数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),则可判定数列{an}是等差数列.
【习练·破】
1.一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则 等于 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选C. 所以a= ,b= x.所以 .
2.已知 成等差数列,试证:a2,b2,c2也成等差数列.
【证明】由已知 成等差数列,
可得 ,所以 ,
所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),
所以a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2也成等差数列.
【加练·固】
已知b是a,c的等差中项,且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差数列,同时a+b+c=
15,求a,b,c的值.
【解析】因为2b=a+c,a+b+c=15,所以3b=15,b=5.设等差数列a,b,c的公差为d,则a=5-d,c=5+d.由2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1)知:
2lg4=lg(6-d)+lg(4+d).
从而16=(6-d)(4+d),
即d2-2d-8=0.所以d=4或d=-2.
所以a,b,c三个数分别为1,5,9或7,5,3.
类型三　等差数列的通项公式及应用
【典例】1.有穷等差数列5,8,11,…,3n+11(n∈N*)的项数是 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.n B.3n+11
C.n+4 D.n+3
2.已知数列{an}中,a1=2,a2=1,又数列 为等差数列,则an=________.
3.等差数列{an}中,已知a3=10,a12=31.
(1)求a1,d及通项公式an;
(2)45和85是不是该数列中的项 若不是,说明原因;若是,是第几项
【思维·引】1.方法一:设此等差数列有x项,利用等差数列的通项公式推出x
与n的关系.
方法二:由3×1+11=14,3×2+11=17,…,3n+11判断该等差数列有多少项.
2.先求 ,再求an.
3.(1)由已知列关于首项与公差的方程组,求解可得首项与公差,则通项公式可
求;
(2)分别把45和85代入等差数列的通项公式,即可得到45是第18项,85不是数列
中的项.
【解析】1.选D.方法一:设此等差数列有x项,则3n+11=5+(x-1)×3,所以x =
n+3.
方法二:在3n+11中令n=1,结果为14,它是这个数列的第4项,前面还有5,8,11三
项,故这个数列的项数为n+3.
2.因为数列{an}中,a1=2,a2=1,所以 , = ,又数列 为等差
数列,所以其公差d= ,所以 = +(n-1)d
= (n-1)= ,所以an= .
答案:
3.(1)在等差数列{an}中,由a3=10,a12=31,
得 解得
所以an= + (n-1)= n+3.
(2)由an= n+3=45,解得n=18,故45是第18项;
由an= n+3=85,得n= N*,
故85不是数列中的项.
【内化·悟】
构成等差数列的基本量是什么 解答等差数列计算问题的常规方法是什么
提示:基本量是a1和d,根据已知条件列出关于a1和d的方程组,求出a1和d,进而求出通项公式an=a1+(n-1)d.
【类题·通】
等差数列通项公式的四个主要应用
(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.
(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.
(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.
(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数,则可判断数列{an}是等差数列.
【习练·破】
1.(2020·连云港高二检测)若等差数列{an}的前三项依次为x,1-x,3x,则
a2 022的值为 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.672 B.673 C.674 D.675
【解析】选C.依题意,x,1-x,3x成等差数列,
所以2(1-x)=x+3x,解得x= ,
所以数列{an}的公差d=(1-x)-x= ,
所以a2 022=a1+(2 022-1)×d= =674.
2.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是________.
【解析】由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可知-89=1+(n-1)·(-2),所以n=46.
答案:46
【加练·固】
1.2 000是等差数列4,6,8,…的 (　　)
A.第998项　　　　 B.第999项
C.第1 001项 D.第1 000项
2.在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,则首项a1=________,公差d=________.
3.已知等差数列1,-3,-7,-11,…,求它的通项公式及第20项.
【解析】1.选B. 因为此等差数列的公差d=2,
所以an=4+(n-1)×2,即2 000=2n+2,所以n=999.
2.设首项为a1,公差为d,则有
即 解得a1= -2,d=3.
答案:-2　3
3.由题意可知a1=1,a2=-3,
所以公差d=a2-a1=-4.
所以an=a1+(n-1)d=1-4(n-1)=5-4n.
所以a20=5-4×20=-75.
即该数列的通项公式为an=5-4n,第20项为-75.
1.数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列(　　)
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
【解析】选A.因为an=2n+5,所以an-1=2n+3(n≥2),
所以an-an-1=2n+5-2n-3=2(n≥2),
所以数列{an}是公差为2的等差数列,a1=2×1+5=7.
2.已知2,b的等差中项为5,则b为 (　　)
A. B.6 C.8 D.10
【解析】选C.因为2,b的等差中项为5,所以 =5,所以2+b=10,所以b=8.
3.已知等差数列2,5,8,11,…,则23是这个数列的 (　　)
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第8项
【解析】选D.等差数列2,5,8,11,…的首项为2,公差为3,所以通项公式an=2+3(n-1)=3n-1.令3n-1=23,所以n=8.
4.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0(n∈N*),则此数列的通项an=________.
【解析】因为an+1-an+1=0(n∈N*),即an+1-an=-1,
所以数列{an}是等差数列,公差为-1,又因为a1=2,
所以an=2-(n-1)=3-n.
答案:3-n
【新情境·新思维】
等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=[an],求b1+b2+…+b10,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,
[2.6]=2.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,
由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.
解得a1=1,d= .所以{an}的通项公式为an=
(2)由(1)知,bn=
当n=1,2,3时,1≤ <2,bn=1;
当n=4,5时,2≤ <3,bn=2;
当n=6,7,8时,3≤ <4,bn=3;
当n=9,10时,4≤ <5,bn=4.
所以b1+b2+…+b10=1×3+2×2+3×3+4×2=24.