湘教版初中数学导学案九年级上册第1章 反比例函数

1.1建立反比例函数模型
【学习目标】：
1.能说出反比例函数的概念并能写出实际问题中的成反比例关系的函数表达式.
2.会判断哪些函数是反比例函数，并能够运用反比例函数的定义求函数的表达式及函数值.
3.综合正比例函数和反比例函数的概念，加深对待定系数法的认识.
【体验学习】：
一、新知探究
阅读教材第2、3页的内容，自主探究，回答下列问题：
1.回忆一次函数和正比例函数的概念？画出它们的图象，并结合图象写出它们的性质？
2.类比一次函数和正比例函数的定义写出反比例函数的定义，并写出它的意义？
3.书上给出的反比例函数的表达形式是（为常数，），请你通过变形写出反比例函数其他的表达形式.
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1.当路程m，所花时间与速度的函数关系为_________.
2.学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边长为（米），则另一边的长（米）与的函数关系是__________________.
3.下列关系式中，表示是的反比例函数的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥.
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
4.关于、的函数是反比例函数，则___________.
5.在函数中，当时，，则此函数的表达式为 ，当时，=_______.
6.当为何值时，函数是反比例函数，并求出其函数表达式．
7.已知反比例函数和一次函数都经过点，求反比例函数的表达式.
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
1.已知，与成反比例，与成正比例，并且当时，；当 时，.求与之间的函数关系式.
2.已知变量，满足，问，是否成反比例关系？请说明理由.
【当堂检测】：
1.下列函数关系式中，是反比例函数关系式是（ ）
A. B. C. D.
2.已知反比例函数，当时，________；当时，________.
3.某中学学生会的女同学承担了为学校运动会制作250个小花环的任务，则完成任务所用的时间（天）与她们每天能制作的小花环的数量（个）之间的函数表达式是________.
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
【拓展链接】：
反比例的实质
两种相关联的量，一种量随另一种量变化而变化 ( http: / / www.21cnjy.com )，但这两种量的积一定是个常数，这时，这两种量是成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.通常用x的变化规来律表示y的变化规律.
反比例关系在应用题中属于归 ( http: / / www.21cnjy.com )总问题.反映在除法中，当被除数一定，除数和商成反比例关系.在分数中，当分数的分子一定，分母与分数值成反比例关系.在比例中，比的前项一定，比的后项与比值成反比例关系.如果再把总数与份数关系具体化为：在购物问题中，总价一定，单价和数量成反比例关系.在行程问题中，路程一定，速度和时间成反比例关系.
【课后精练】：
1.下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，是的反比例函数的有_______________（填序号）.
2.函数是反比例函数，则的值是____________.
3.若函数是反比例函数，则的值为（ ）
A. B. C. 或1 D. 或
4.已知变量与成反比例，并且当时，.
（1）求与之间的函数关系式；
（2）求当时的值.
.
1.2反比例函数的图象与性质（1）
【学习目标】：
1.类比用描点法作一次函数图象的方法，作出反比例函数的图象，并归纳作图步骤.
2.观察反比例函数的图象，并能根据图象说出反比例函数图象的性质.
3.能根据反比例函数的表达式画出反比例函数的大致图象.
【体验学习】：
一、新知探究
阅读教材第5、6页的内容，自主探究，回答下列问题：
1.忆一忆：一次函数的作图步骤.
2.你能类比一次函数的作图步骤，作出反比例函数的图象吗？
第一步：列表
… …
… …
第二步：描点
第三步：连线（用光滑的曲线的连接）
3.观察你所作的反比例函数图象，写出反比例函数的性质.
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1. 在右图中画出反比例函数的大致图象.
2. 反比例函数的图象过点A（2，________）和点B（_________，）.
3. 反比例函数的图象经过第 象限，当时，随的增大而 ；当时，随的增大而 .
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
1.反比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是 .
2.已知一次函数，随的增大而增大，那么反比例函数（ ）.
A. 在每一象限内，随的增大而增大 B. 当时，
C. 图象在第一、三象限 D. 图象在第二、四象限
3.如果两点和在反比例函数的图象上，那么__________.（填”＞”、”＜”或”＝”）.
【当堂检测】：
作出反比例函数的图象.
（并写出它图象有几支，位置，对称性，增减性.）
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
【拓展链接】：
正反联系
正比例和反比例相同与联系：
相同之处：
1.事物关系中都有两个变量，一个常量.
2.在两个变量中，当一个变量发生变化时，则另一个变量也随之发生变化.
3.相对应的两个变量的积或商都是一定的.
相互转化：
当正比例中的x值（自变量的值）转化 ( http: / / www.21cnjy.com )为它的倒数时，由正比例转化为反比例；当反比例中的x值（自变量的值）也转化为它的倒数时，由反比例转化为正比例.
【课后精练】：
1.反比例函数的图象在（ ）
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
2.已知反比例函数的图象如图所示，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3.若，则函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）．
A B C D
1.2反比例函数的图象与性质（2）
【学习目标】：
1.类比反比例函数图象的作法，作出反比例函数的图象.
2.观察反比例函数的图象，并能根据图象说出反比例函数图象的性质.
3. 理解的正负性与反比例函数图象在坐标系中分布情况的关系.
【体验学习】：
一、新知探究
阅读教材第7、8、9页的内容，自主探究，回答下列问题：
1.回忆反比例函数图象的作法，画出反比例函数的图象.
解：函数自变量的取值范围是____________，
列表描点并连线：
2. 观察你所作的反比例函数的图象，你发现反比例函数的图象有哪些性质呢？
3.如果我们把已经画好的反比例函数和的图象进行比较，你发现了什么？我们可以在函数的图象已作出来的情况下，怎么得到函数的图象？
4.反比例函数的图象与坐标轴是否存在交点？为什么？
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1.已知反比例函数的图象经过点，则该函数的表达式为 ，两支曲线分别位于__________象限内，在每一个象限内，随的增大而 .
2.下列四个点中，在反比例函数的图象上的是（　　）.
A. B. C. D.
3.若点、在双曲线上，则和的大小关系为 .
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
1.下列函数中，在每个象限内，随的增大而减小的有 （填序号）
①；②；③；④ ；⑤ .
2.已知在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，求的取值范围.如果点是该图象上的两点，试比较函数值的大小.
【当堂检测】：
作出反比例函数的图象.
（并写出它图象有几支，位置，对称性，增减性.
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
【拓展链接】：
冷却塔为什么是双曲线型的？
火电厂、核电站的循环水自然通风冷却的一种构筑物.
建在水源不十分充足的地区的电厂，为了节约用水，需设置冷
却构筑物，以使从冷却器排出的热水在其中冷却后可重复使用.
大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔.
英国最早使用这种冷却塔. ( http: / / www.21cnjy.com )20世纪30年代以来在各国广泛应用，40年代在中国东北抚顺电厂、阜新电厂先后建成双曲线型冷却塔群.冷却塔由集水池、支柱、塔身和淋水装置组成.集水池多为在地面下约2米深的圆形水池.塔身为有利于自然通风的双曲线形无肋无梁柱的薄壁空间结构，多用钢筋混凝土制造，塔高一般为75～110米，底边直径65～100米.塔内上部为风筒，标高10米以下为配水槽和淋水装置.淋水装置是使水蒸发散热的主要设备.运行时，水从配水槽向下流淋滴溅，空气从塔底侧面进入，与水充分接触后带着热量向上排出.冷却过程以蒸发散热为主，一小部分为对流散热.双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它又比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高.
了解了上述原理后，就知道大型中央空调和火电厂的冷却塔常用的外形之一就是旋转单叶双曲面，它的优点是对流快，散热效果好.
【课后精练】：
1.反比例函数的图象在（ ）
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
2. 已知A，B两点在双曲线上，且 ，则m的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
3. 已知点在反比例函数的图象上.
（1）求这个函数的表达式；
（2）判断点是否在这个函数的图象上；
（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值随自变量的增大如何变化？
1.2反比例函数的图象与性质（3）
【学习目标】：
1.会通过函数图象对称性，深入探究函数与的图象之间的关系.
2.归纳总结的正负性与反比例函数图象增减性（图象的变化）之间的关系.
3.能将函数图象和图形面积结合运用，理解反比例函数中表示的几何意义.
【体验学习】：
一、新知探究
阅读教材第10、11页的内容，自主探究，回答下列问题：
1.点A(1,-2)与点B(2,1)在反比例函数图象上的是_____________.
2. 当时，函数的图象在（　　）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
3.通过学习，我们已经知道，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，得到矩形OBAC，求.
【变式】：若连结AO，那么△ABO的面积又是多少呢？
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1. 若反比例函数的图象上有两点P1（2，y1）和P2（3，y2），那么（　　）
A．y1＜y2＜0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y2＞y1＞0
2. 如图，点在反比例函数的图象上，垂直于轴，
若，那么这个反比例函数的.表达式为 .
3.函数与的交点个数是 个，分别是 .
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
1.如图，过反比例函数的图象上任意两点分别作轴的垂线，垂足分别为，连接，设和的面积分别为 ，比较它们的大小可得（ ）
A. B.
C. D. 大小关系无法确定
2.在函数的图象上有三点， ，，已知
，则下列各式中，正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
3.函数与在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A B C D
【当堂检测】：
1.反比例函数的图象经过点（-2，3），则k的值为（　　）
A. 6 B. C. D.
2.若点A（1，y1）、B（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1、y2的大小关系为（　　）
A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
3.如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数的图象过点A，则k的值是（　　）
A．2 B．-2
C．4 D．-4
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
【拓展链接】：
导航的双曲线
　　我们小时侯都曾梦想，长大以后要当上船 ( http: / / www.21cnjy.com )长就好了. 在茫茫的大海上，惊涛骇浪，你能顺利地指挥着船队驶向前方吗？好，让我们的双曲线来帮助你吧.它是大海的导航员.
先来看一看原理.假如你站在广场上，广场的东西两侧
各装有一只喇叭，并且放着欢快的音乐：
北京的京山上光芒照四方，毛主席就是那金色的太阳，
多么温暖……
我站在广场上，听见第一只喇叭把”金色的太阳”传到耳
朵后的半秒钟，又听到了第二声”金色的太阳”.由于两个喇叭
离耳朵的远近不同，所以产生了听觉上的时间差.再换一个地
方，是否还有这样歌声相差半秒的情形呢 实际上，只要人站
的位置与两只喇叭的距离差与第一次一样就可以了.因此可以
找到很多这样的点.这些点就构成了双曲线的一支.
轮船航行在海上时，它就处于人的位置. ( http: / / www.21cnjy.com )岸上有两个无线电发射台，用电波代替了喇叭里传出的音乐.轮船行驶在某一位置时，就可以从接收的电波的相位差，测出轮船与电台的距离差，由此确定了一条以两个电台为焦点的双曲线.若再和另一对电台联系，可以确定出另一条双曲线，两条双曲线有一个交点，船就处于这一点上.这一切都是在一瞬间完成的，因为有很多现代化的工具来帮助我们，你明白了吗？船长们就是这样来导航的.
【课后精练】：
1.反比例函数的图象如图所示，以下结论：
①常数；
②在每个象限内，y随x的增大而增大；
③若A（-1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；
④若P（x，y）在图象上，则也在图象上．
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
2.若双曲线与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为，则k的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
3.下列选项中，阴影部分面积最小的是（　　）
A B C D
4. 在同一坐标系中，函数和的图象大致是（ ）
1.3反比例函数的应用
【学习目标】：
1.能根据题意，建立反比例函数模型，进而解决实际问题.
2.能初步分析实际问题中变量之间的关系，体会数学与现实生活的紧密联系.
3.熟练应用待定系数法确定反比例函数表达式，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具.
【体验学习】：
一、新知探究
阅读教材第14、15页的内容，自主探究，回答下列问题：
1.你能举例说明生活中存在哪些变量具有反比例关系？并试着建立反比例函数模型.
2.你能否根据反比例关系，解释铺木板过烂泥湿地的原理？
二、基础演练
根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：
1.在某一电路中保持电压不变，电流（）与电阻（）将如何变化？已知当电阻时，电流.
（1）求与之间的关系式.
（2）电阻是时，电流是多少？
（3）如果要求电流的最大值为，那么电阻的最小值是多少？
（4）如果电路中的电阻是滑动变阻器，怎样调整电阻R，就可以使电路中的电流I减少？
2.码头工人以每天吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了天时间.
（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度(单位：吨／天)与卸货时间(单位：天)之间有怎样的函数关系
（2）由于遇到紧急情况，船上货物必须在不超过日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物
三、综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：
1.某商场出售一批进价为元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价（元）与日销售量（个）之间有如下关系：
（元）
（个）
（1）根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(，)的对应点；
（2）猜测并确定与之间的函数关系式，并画出图象；
（3）设经营此贺卡的销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过元／个，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大日销售利润
2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图）.观测得药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为毫克，请根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时和药物燃烧后，分别求出关于的函数关系式及自变量的取值范围.
（2）研究表明，当空气中的每立方米含药量低于毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室.
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于毫克且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【当堂检测】：
工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻 ( http: / / www.21cnjy.com )造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32℃．
（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；
（2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？
【学后反思】：
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
【拓展链接】：
生活中的反比例
1.百米赛跑，路程100米不变，速度 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )和时间 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )成反比例（即路程 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )一定，速度和时间成反比例）；
2.排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数成反比例；
3.做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数成反比例；
4.买东西，总价一定，它的单价和数量是反比例；
5.长方形的面积 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )一定，长和宽是反比例（提示：但是长方形的周长与长宽不成比例【既不成正比例也不成反比例】）；
6.长方体的体积一定，底面积和高是反比例；
7.等分一块蛋糕，每人分到的蛋糕与人数成反比例；
8.工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例；
9.分子一定，分母和分率成反比例.
【课后精练】：
1.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ（单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）满足函数关系式ρ=（k为常数，k≠0），其图象如图所示，则k的值为（　　）
A．9 B．
C．4 D．
2.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )得到一个”E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是（　　）
A B C D
3.我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？
答案：
1.1建立反比例函数模型
【当堂检测】：
1. B
2.；
3.
【课后精练】：
1. ②⑤
2.
3. A
4.（1）；（2）
1.2反比例函数的图象与性质（1）
【当堂检测】：
图略
【课后精练】：
1. B
2. A
3. D
1.2反比例函数的图象与性质（2）
【当堂检测】：
图略
【课后精练】：
1. D
2. D
3. （1）
（2）A在，B不在
（3）二、四象限；在每个象限内，随增大而增大
1.2反比例函数的图象与性质（3）
【当堂检测】：
1. C
2. C
3. D
【课后精练】：
1. C
2. B
3. C
4. A
1.3实际生活中反比例函数
【当堂检测】：
（1）停止加热时，设，
由题意得，解得k=4800，
当y=800时，，解得x=6，
∴点B的坐标为（6，800）
材料加热时，设y=ax+32（a≠0），
由题意得800=6a+32，
解得a=128，
∴材料加热时，y与x的函数关系式为y=128x+32（0≤x≤6）．
∴停止加热进行操作时y与x的函数关系式为；
（2）把y=480代入，得x=10，
10-6=4（分），
答：锻造的操作时间4分钟．
【课后精练】：
1. A
2. A
3.（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2=10小时.
（2）∵点B（12，18）在双曲线上，
∴，∴解得：k=216.
（3）由（2），
当x=16时，，
∴当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃.
学法指导：用待定系数法分别设正、反比例函数的常数为再求出.
思考：自变量的取值要注意什么？自变量怎样取值最好？
学法指导：将你作的图象与本组同学的图象进行对比后交流.
学法指导：从图象的位置、增减性、对称性等方面进行归纳.
知识小结：根据你计算后发现的规律，小结出面积与K值之间的关系
.
A
B
O
C
D
y
x
A
B
C
D