湘教版初中数学导学案八年级上册第2章 三角形
文档属性
| 名称 | 湘教版初中数学导学案八年级上册第2章 三角形 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-10-05 09:54:04 | ||
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文档简介
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第2章 三 角 形
2.1 三角形(1)
1.知道三角形的定义、表示,能找到三角形的顶点、边和内角.
2.知道等腰三角形的特征,能找到等腰三角形的腰、底边、顶角和底角,知道等边三角形是特殊的等腰三角形.
3.知道三角形的三边关系,能判断任意给出的三条线段能否组成三角形;或已知三角形两边,能求第三边的取值范围.
一、 新知探究
阅读教材第42、43页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.如图是一个三角形,该如何表示 它的顶点、内角和边分别是什么
2.如果上图中AC=BC,那么这个三角形是什么三角形 请指出它的腰、底边、顶角、底角.
3.下图如果是一个等边三角形,它要满足什么条件 它和等腰三角形有什么区别和联系
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4.根据教材的“动脑筋”和“做一做”,三条线段要满足什么条件,首尾相接才能构成一个三角形
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.(1)如图,图中有几个三角形 请把它们分别表示出来.
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(2)在上图△ACD中,写出∠D的对边,边AD的对角.
2.有下列长度的三根小木棒,能构成三角形的是 ( )
A. 3 cm,5cm,10 cm
B. 5 cm,4 cm,8 cm
C. 1 cm,2 cm,3 cm
D. 2 cm,2 cm,4 cm
3.如果以4 cm长的线段为底组成一个等腰三角形,腰长x的取值范围是 ( )
A. x>4 cm B. x>2 cm
C. x≥4 cm D. x≥2 cm
4.若三角形的两边长分别为23和10,第三边与其中一边长相等,那么第三边长为 .
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
1.下列各选项中给出的三条线段,不能组成三角形的是 ( )
A. a+1,a+2,a+3(a>0)
B.三边之比为4∶6∶10
C. 12 cm,8 cm,10 cm
D. 2m,3m,5m-1(m>1)
2.如图所示,已知点P是△ABC内的任意一点,试说明:PA+PB+PC>(AB+BC+AC).
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1.有下列长度的三条线段能否组成三角形 为什么
(1)4 cm,5 cm,10 cm;
(2)5 cm,6 cm,11 cm;
2.已知三角形有两条边长分别为3 cm和8 cm,则此三角形的第三边的长可能是多少
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
拼一拼
用九根相同的火柴在桌面上摆一个三角形,要求必须全部用完,并且不许将火柴折断.能摆出三角形的个数有几个 你能用今天所学的数学知识解析吗
1.如果a,b,c代表三条线段,则下列选项中不能组成三角形的是 ( )
A. a=b=n,c=2n(n>0)
B. a=6,b=3,c=8
C. a∶b∶c=2∶3∶4
D. a=m+1,b=m+2,c=m+3(m>0)
2.各边均为整数的不等边三角形的周长等于13,这样的三角形有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.(1)若等腰三角形两边长分别为3,7,则它的周长为 .
(2)若等腰三角形两边长分别为3,4,则它的周长为 .
4.李洋要制作一个三角形铁丝架,现有两根铁丝,长度分别为2 cm和6 cm,
(1)李洋如何确定第三根铁丝的长度范围
(2)如果第三根铁丝的长度要求是整数,李洋有几种选择
2.1 三角形(2)
1.能找到一个三角形的高,知道三角形的角平分线和中线的含义,了解三角形的重心.
2.知道角平分线和三角形的角平分线的区别和联系.
3.能应用三角形的高、角平分线和中线解决相关的问题.
一、 新知探究
阅读教材第44、45页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.如图,在△ABC中,CD⊥AB,那么CD叫作什么 你能利用直角三角板,分别作出AC,BC边上的高吗
2.三角形的角平分线、中线和高是直线、射线还是线段
3.三角形的角平分线与角的角平分线有什么区别
4.三角形的角平分线、中线和高各有几条,分别相交于几点
5.由教材例2知,三角形的中线将三角形分成了两个三角形,它们的面积有什么关系
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.一定在三角形内部的线段是 ( )
A.锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
B.钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
C.任意三角形的一条中线、两条角平分线、三条高
D.任意三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
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2.如右图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=6 cm,CD是中线,CE平分∠ACB,则DB= ,∠ACE= .
3.△ABC的周长为18,BE,CF分别 ( http: / / www.21cnjy.com )为AC,AB边上的中线,BE与CF相交于点O,AO的延长线交BC于点D,且AF=4,AE=2,求BD的长.
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
1.在△ABC中,AF,BE,CD分别是三边中线,你认为面积相等的三角形有 ( )
A. 4对 B. 6对
C. 8对 D.多于8对
2.如图,AE是△ABC的角平分线,∠BAC=70°,∠ACD=35°,则AE与CD平行吗 为什么
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3.如图,已知CD是△ABC的中线,线段AC比BC短2 cm,则△BCD与△ACD周长的差是多少
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如图,在△ABC中,∠ABC=60°,BE是∠ABC的平分线,DE∥BC,求∠DEB的度数.
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本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
三角形的“四心”
今天我们学习了三角形的重心,实际上,三角形还有很多“心”,我们来了解一下吧.
(1)重心:三角形的三条中线交于一点,该点叫作三角形的重心.
(2)外心:三角形三边的垂直平分线交于一点,该点叫作三角形的外心.
(3)垂心:三角形的三条高交于一点,该点叫作三角形的垂心.
(4)内心:三角形的三内角平分线交于一点,该点叫作三角形的内心.
三角形的重心、外心、垂心、内心称为三角形的四心.它们都是三角形的重要相关点.
1.下列叙述错误的是 ( )
A.三角形的中线、角平分线、高都是线段
B.三角形的三条高线中至少有一条在三角形的内部
C.只有一条高在三角形内部的三角形一定是锐角三角形
D.三角形的三条角平分线都在三角形内部
2.能把三角形分成两个面积相等的三角形的线段是 ( )
A.三角形的角平分线 B.三角形的中线
C.三角形的高 D.不能确定
3.已知AD,AE分别是△ABC的中线、高 ( http: / / www.21cnjy.com )线,且AB=5 cm,AC=3 cm,则△ABD与△ACD的周长之差是多少 △ABD与△ACD的面积关系如何
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2.1 三角形(3)
1.知道三角形的内角和是180°,能应用此性质解决相关问题.
2.知道三角形的分类,并会用数学符号表示直角三角形.
3.会找一个三角形的外角,能应用三角形外角的性质解决相关问题.
一、 新知探究
阅读教材第46~48页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.在小学,是通过哪两种方法验证三角形内角和是180°的
2.在中学,验证三角形内角和是180°,用到了哪些几何知识
3.你会对三角形进行分类吗 你分类的依据是什么
4.任意一个三角形的一个外角,与它相邻的内角有什么关系
5.任意一个三角形的一个外角,与它不相邻的两个内角又有什么关系呢
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,分别求出∠A,∠B,∠C的度数.
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,EF∥AB,∠1=50°,则∠B的度数是多少
3.如图,已知AC∥ED,∠C=26°,∠CBE=37°,求∠BED的度数.
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
以三角形的内角和是180°为依据,探究四边形、五边形、六边形、n边形的内角和.
图形名称 分割成几个独立的三角形(可在图中画出来) 多边形内角和
四边形
五边形
六边形
n边形
在△ABC中,已知∠A+20°=∠C-∠B,求∠C的度数.
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
三角形邮票,你见过吗
世界上最早的三角形邮票在1853年9月2日由南非好望角发行.图案为一位女神,象征好望角.
三角形邮票是邮票形式的一种,其性质和用途一 ( http: / / www.21cnjy.com )般与普通邮票相同.但有的国家的三角形邮票表示“严密私信,必须递交收信人本人”的意思.也有的国家投递情书专门用三角形邮票.1865年,哥伦比亚发行一种独特的不等边三角形邮票,其底角一个为50°,一个为40°.200年后,法属非洲殖民地奥博克忽又发行两种等边三角形邮票.以后各国都起而效仿,有单独发行一枚的,有混杂于全套票中的,也有全套都是的.
1.一个三角形中最多有 个锐角,最少有 个锐角,最多有 个钝角.
2.在△ABC中,若∠C=2(∠A+∠B),则∠C的度数是多少
3.将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=30°,∠2=50°,则∠3的度数是多少
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2.2 命题与证明(1)
1.知道“定义”和“命题”,能判断给出的语句哪些是命题.
2.能把简单的命题写成“如果……,那么……”的形式,能找到命题的条件和结论.
3.知道什么是“原命题”、“逆命题”和“互逆命题”,能写出已知命题的逆命题.
一、 新知探究
阅读教材第50~52页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.结合教材第50页“三角形”和“三角形外角”的定义,说说定义一般都会含有哪些标志性词语
2.命题都是什么句式(疑问句、陈述句、判断句) 都表示对一件事情做出了判断,与判断的正确与否有关系吗
3.命题都可以写成“如果……,那么……”的形式,那什么是条件、什么是结论 请完成教材第51页的“做一做”.
4.原命题与逆命题有什么关系 是不是所有命题都有逆命题
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.下列语句中,哪些是命题,哪些不是命题
(1)奇数都是质数;
(2)明天会下雨吗
(3)若x>0,y>0,则xy<0;
(4)将△ABC绕B点旋转180°.
2.下列语句中不是定义的是 ( )
A.整数和分数统称有理数
B.大于直角的角叫作钝角
C.全等三角形的对应角相等
D.含有未知数的等式叫作方程
3.把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式.
(1)对顶角相等;
(2)同位角相等.
4.写出下列命题的逆命题.
(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;
(2)直角三角形的两个锐角互余.
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,并写出它的逆命题.
(1)偶数比奇数大1;
(2)小于直角的角是锐角;
(3)两点之间,线段最短.
把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,并写出它的逆命题.
(1)两直线平行,同位角相等;
(2)不相等的角,不是对顶角.
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
亚里士多德在《工具论》,特 ( http: / / www.21cnjy.com )别是其中的《范畴篇》中,研究了命题的不同形式及其相互关系,根据形式的不同对命题的不同类型进行了分类.亚里士多德把命题首先分为简单的和复合的两类,但他对复合命题并没有深入探讨.他进而把简单命题按质分为肯定的和否定的,按量分为全称、特称和不定的命题,例如,“愉快不是善”.他还提到个体命题,这相当于后来所谓的以专名为主项,以普遍概念为谓项的单称命题.
命题是逻辑学的研究对象,其中的复合命题,对于我们逻辑思维的训练非常有好处.
1.下列语句中,是命题的是 ( )
A.在同一平面内的两条直线不平行就相交
B.邻补角的角平分线互相垂直
C.过直线l外一点P,作直线a∥l
D.在同一平面内,若a∥b,a与c相交,则b与c也相交
2.把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,并写出它的逆命题.
(1)能被2整除的数必能被4整除;
(2)异号两数相加得零.
3.写出下列命题的逆命题.
(1)直角三角形的两个锐角互余;
(2)若a=0,则ab=0.
2.2 命题与证明(2)
1.会判断一个命题的真假,并且知道要判定一个命题是真命题需要证明;要判定一个命题是假命题,只需举反例.
2.知道基本事实、定理和逆定理的含义,以及它们之间的内在联系.
3.知道公理与定理的区别,认识公理是进行逻辑推理的基本依据.
一、 新知探究
阅读教材第53、54页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.真命题和假命题的区别是什么
2.如何判断一个命题为真命题,这个过程叫什么 如何判断一个命题为假命题,这种方法叫什么
3.推论的依据是什么
4.逆定理就是逆命题吗 为什么
学法指导:基本事实和定理的相同点:都是 命题;不同点: 是不需要证明的,而 是需要经过证明.
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.下列命题中,哪些是真命题,哪些是假命题,并给出理由.
(1)直角三角形的两锐角互余;
(2)如果a>b,那么a2>b2.
2.判断.(正确的打“√”,错误的打“ ”)
(1)定理和公理都是真命题. ( )
(2)定理是命题,命题未必是定理. ( )
(3)公理是真命题,真命题是公理. ( )
(4)“对顶角相等”与“相等的角是对顶角”是互逆定理. ( )
3.如果x=y,那么x+m=y+m,在这个命题中所涉及的公理或基本事实是 .
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
下列定理有逆定理吗 如果有,把它写出来.
(1)平行于同一条直线的两直线平行;
(2)长方形的四个角都是直角;
(3)直角三角形两锐角互余.
1.用举反例的方法说明下列命题是假命题.
(1)有一个角是锐角的三角形是锐角三角形;
(2)若x2=y2,则x=y.
2.试写出两个基本事实,要求它们是互逆定理.
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
点 秋 香
所给人物:A,B,C,D.
①A既不是秋香也不是冬香;
②B既不是冬香也不是春香;
③如果A不是冬香,那么C也不是夏香;
④D既不是夏香也不是春香;
⑤C既不是春香也不是冬香.
若上面5个命题都是真命题,请问谁是秋香
1.下列真命题能作为公理的是 ( )
A.等腰三角形的两个底角相等
B.平行四边形的对角线互相平分
C.全等三角形的对应边、对应角分别相等
D.两点确定一条直线
2.下列命题是真命题吗 若不是请举出反例.
(1)只有锐角才有余角;
(2)若x2=4,则x=2;
(3)a2+1≥1;
(4)若=-a,则a<0.
3.写出定理“垂直于同一条直线的两直线平行”的逆定理.
2.2 命题与证明(3)
1.知道证明的含义及步骤,能用规范的语言进行证明.
2.会证明文字类证明题.
3.能利用反证法进行简单的证明.
一、 新知探究
阅读教材第55~57页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.数学上证明一个命题时,常常从命题的 ( http: / / www.21cnjy.com ) 出发,通过一步步推理,最后证实这个命题的 成立,这是证明的含义.也就是说,我们在证明一个命题时,将什么作为“已知” 将什么作为“求证”
2.根据教材第56页中的“动脑筋”,请你说一说文字证明题的基本步骤.
3.什么叫反证法 其基本思路是什么
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.证明:三角形内角和为180°.
已知:
求证:
证明:
2.用反证法证明下题.
已知:在Rt△ABC中,∠C=90°.
求证:∠A+∠B=90°.
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
一个零件的形状如图,按规定∠A=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°,∠B和∠C分别是32°和21°,检验工人量得∠BDC=149°,就断定这个零件不合格,请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.
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证明:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
自相矛盾与反证法
中国成语中有一个“矛盾”的故事,有 ( http: / / www.21cnjy.com )一个人同时贩卖矛与盾,他向买家吹嘘他的矛是“无坚不摧”的,盾呢,是刀枪不入的.于是,有人马上提议他“以子之矛,攻子之盾”来验证一下他的宣传是否可靠,这人立刻哑口无言.
在数学上人们也常用这种“以子之矛,攻子之盾” ( http: / / www.21cnjy.com )的方法来证明一些问题,这种证法不是直接证法,而是反证法,许多问题用反证法证明比直接证法还容易些.
1.如图,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证:∠P=90°.
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2.证明:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角不互补,那么这两条直线必相交.
2.3 等腰三角形(1)
1.能用语言描述等腰三角形的性质,并会运用性质解决一些简单的实际问题.
2.能用等腰三角形的性质推导出等边三角形的性质.
一、 新知探究
阅读教材第61~63页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.通过教材第61页“探究”的学习,等腰三角形具有哪些特殊的性质呢
2.如图,将两个含有30°角的三角板摆放在一起形成一个等边三角形,你能借助这个图形,找到等边三角形的相关性质吗
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思考:等腰三角形和等边三角形的关系是什么
3.学习教材第63页的“议一议”,想一想:三角测平架应用了等腰三角形的哪条性质 你能借助该性质解释这一现象吗
思考:如何理解“自然下垂”
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.若等腰三角形的顶角等于80°,则它的底角的度数为 .
2.若△ABC是等边三角形,AB=7,则BC=AC= ,△ABC的周长为 .
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3.已知:如图,△ABC中,AB=AC,∠A=50°,AD是△ABC的中线,则∠BAD= .
4.下列说法中,不正确的是 ( )
A.等腰三角形的底角是锐角
B.等腰三角形的角平分线、中线和高是同一条线段
C.等腰三角形两腰上的高相等
D.等腰三角形两腰上的中线相等
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
1.若等腰三角形一个角为36°,那么这个三角形的顶角为 .
2.等腰三角形周长为20,一腰上中线分等腰三角形为两个三角形的周长差为2,腰长为 ( )
A. 6 B. 7
C. 6或7 D.不能确定
3.如图,P,Q是△ABC的BC边上的两点,并且PB=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的大小.
1.若等腰三角形一个底角为54°,那么这个三角形的顶角为 .
2.若△ABC是等边三角形,则∠A= 度,∠B+∠C= 度.
3.已知:如图,房屋的顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋椽AB=AC,求顶架上∠B,∠CAD的度数.
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
分割等边三角形
1.等边三角形分割成三个等腰三角形:
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2.等边三角形分割成四个等腰三角形:
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1.若一个等腰三角形的周长是20 cm,一边长是5 cm,则另两边的长分别是 .
2.若一个等腰三角形的两边长分别是3 cm和4 cm,则它的周长是 .
3.一个等腰三角形的周长是70 cm,一条腰与底的比是2∶3,这个等腰三角形的底是多少
4.如图,在△ABC中,已知∠ABC=46°,∠ACB=80°,延长BC至D,使CD=CA,连接AD,求∠BAD度数.
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2.3 等腰三角形(2)
1.能感知等腰三角形和等边三角形判定定理的推导过程.
2.能复述等腰三角形和等边三角形的判定定理,会用几何语言进行描述.
3.能运用判定定理解决一些实际问题.
一、 新知探究
思考:如图,在海上位于A, ( http: / / www.21cnjy.com )B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)
阅读教材第63~65页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系
由此得到等腰三角形的判定定理:
2.参照等腰三角形的判定定理,同时结合三角形内角和定理,你知道如何判定一个三角形是等边三角形吗
由此得到等边三角形的判定定理:
(1)
(2)
3.观察思考,并在箭头上填上相应的条件.
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二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.下面的三角形中,不可能是等腰三角形的是 ( )
A.有两个内角分别为70°,55°的三角形
B.有一个外角为100°,一个内角为50°的三角形
C.有两个内角分别为110°和40°的三角形
D.有一个外角为100°,一个内角为80°的三角形
2.已知:如图,∠ACD是△ABC的一个外角,CE平分∠ACD,CE∥AB.求证:△ABC是等腰三角形.
3.如图,兴趣小组在一次 ( http: / / www.21cnjy.com )测量池塘宽度AB的实践活动中测得∠APB=60°,AP=BP=200 m,他们便得出了结论:池塘宽度AB的长为200 m.他们的结论对吗 请说明理由.
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
1.已知∠A=36°,AB=AC,CD平分∠ACB.试说明图中有那些等腰三角形.
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2.将一个长方形纸片ABCD按如图那样折叠,若AE=3 cm,AB=4 cm,BE=5 cm,则重合部分的面积是 .
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1.在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,能判定△ABC是等腰三角形的是 ( )
A. ∠A=50°,∠B=70°
B. ∠A=70°,∠B=40°
C. ∠A=30°,∠B=90°
D. ∠A=80°,∠B=60°
2.在等腰三角形ABC中,AB=AC=5,有一个角为60°,则BC= .
3.如图,AB=AC,DE∥BC,求证:△ADE是等腰三角形.
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黄金三角形
所谓黄金三角形是一个等腰三角形,其腰与底的长度比为,这种三角形既美观又标准.黄金三角形只有两种:
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一种是顶角为36°,每个底角为72°;
另一种是顶角为108°,每个底角为36°.
1.有下列条件,其中不能判定△ABC是等腰三角形的是 ( )
A. a∶b∶c=2∶3∶4
B. a=3,b=4,c=3
C. ∠B=50°,∠C=80°
D. ∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
2.如图,下午2时,一艘轮船在A处观察 ( http: / / www.21cnjy.com )到导航灯C在A的北偏东35°,轮船以每小时25海里的速度向正北方向航行,3小时后到达B处,此时测得∠NBC=70°,求此时B处到导航灯C处的距离.
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3.如图,△ABC中,AB=AC=BC,DE∥BC,证明△ADE是等边三角形.
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2.4 线段的垂直平分线(1)
1.通过作图,探究、总结、归纳垂直平分线的性质.
2.识记并能用几何语言描述线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.
3.会运用垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题.
一、 新知探究
阅读教材第68、69页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.如图,已知,点A与直线l.
(1)请画出点A关于直线l的对称点B.
(2)若线段AB与直线l的交点为O,请说出线段AB与直线l的关系.
(3)说出线段AO与BO的数量关系: .
(4)反过来,设直线l是线段AB的垂直平分线,那么点A,B是否关于这条直线对称
(5)在直线l上任取一点P,连接PA,PB,则PA PB(填“<”、“>”或“=”).
(6)想一想:无论点P在直线l上如何移动,(5)给出的结论总是成立吗
归纳:线段垂直平分线的性质定理是什么
2.你能写出线段垂直平分线的性质定理的逆定理吗 它是真命题吗
学法指导:分析原命题的条件和结论后,再把逆命题写出来.
3.三角形三边的垂直平分线交于几点 有什么性质
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.如图,已知AB是线段CD的垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线,E是AB上的一点,如果EC=7 cm,那么ED= cm,如果∠ECD=60°,那么∠EDC= °.
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2.如图所示,DE是线段AB的垂直平分线,下列结论一定成立的是 ( )
A. ED=CD
B. ∠DAC=∠B
C. ∠C>2∠B
D. ∠B+∠ADE=90°
3.如图,已知AD是线段BC的垂直平分线,且BD=3 cm,△ABC的周长为20 cm,求AC的长.
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三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
1.如图,BC=20 cm,DE是线段AB的垂直平分线,与BC交于点E,AC=12 cm,求△ACE的周长.
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2.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AC的垂直平分线分别交BC,AC于点D,E.线段AB与CD相等吗 试说明理由.
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1.如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上一点,已知PA=6 cm,则PB的长度为 cm.
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2.如图,在四边形ABCD中,BD是线段AC的垂直平分线,已知△ABD的周长是30 cm,四边形ABCD周长为36 cm,求BD的长.
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本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
历史上的垂直平分线
建安二年,袁绍写信给曹操,信中带着 ( http: / / www.21cnjy.com )骄横的语气,曹操很是气愤,对荀彧,郭嘉说:“现在是不是出兵打袁绍的时候呢 ”二人都回答说:“不是.”曹操笑着说:“以你们的意见,咱们现在应该出兵哪里呢 ”荀彧说:“不如先攻打吕布,这样占领北方就容易了.”曹操很赞成他们的想法,于是,曹操下令征讨吕布.
吕布得知后大骂曰:“操贼焉敢如此 ”先使 ( http: / / www.21cnjy.com )陈宫,臧霸,接连泰山寇孙观,吴敬,尹礼,昌稀,东取山东诸郡,令高顺,张辽取沛城,功玄德,令宋宪,魏续西取汝,颖,布自总中军为三路救应,三路军马连续作战之后,要会合于一处,这时,问题出现了,到底该在哪儿汇合才能三军所走路程最短呢,吕布很是头疼,不知如何是好.
这时,大臣陈珪进谏吕布,他打开地图, ( http: / / www.21cnjy.com )将三军所在位置分别看成三个点,连接三个点,得到三条线段,任意选取其中两条线段,分别做这两条线段的垂直平分线,交于一点,这一点即为所求点.
吕布不明白怎么回事,陈珪说:“因为三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点距离相等.”吕布又问:“那为什么你刚才只做其中两条边的垂直平分线,而没有做另一条边的垂直平分线啊 ”
同学们,你能解开其中的奥秘吗
1.如图,点B,C,D在同一条 ( http: / / www.21cnjy.com )直线上,且点A在线段BC的垂直平分线上,∠BAC=120°,点D在线段AB的垂直平分线上,那么∠ADC度数为 .
2.如图,O是△ABC的两条垂直平分线的交点,∠BAC=70°,则∠BOC的度数为 ( )
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A. 120° B. 125° C. 130° D. 140°
3.如图,△ABC中,AD⊥BC,点F在线段AC的垂直平分线上,且BD=DE.
(1)如果∠BAE=40°,那么∠C= °,∠B= °;
(2)如果△ABC周长为13 cm,AC=6 cm,那么△ABE周长= cm;
(3)你发现AB与BD的和等于图中哪条线段的长,并证明你的结论.
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2.4 线段的垂直平分线(2)
1.知道尺规作图法及其具体要求.
2.会用尺规作线段的垂直平分线以及会写其作法,理解作图的原理.
3.会用尺规作直线的垂线以及会写其作法,理解作图的原理.
一、 新知探究
阅读教材第70、71页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.尺规作图法:限用直尺和圆规来完成的作图方法,叫作尺规作图法.习惯上使用没有刻度的直尺和圆规.
2.你能说说作线段的垂直平分线的原理吗
3.根据教材上的作法作线段AB的垂直平分线.
思考:为什么在作图时要以大于AB的一半为半径画弧
4.在作直线l的垂线时,当P点在直线l上,教材的作法中写到“截取PA,PB,使得PA=PB”,这是为什么呢
5.当点P在直线l外时,是如何得到PA=PB的 这又是为什么呢
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.下列作图属于尺规作图的是 ( )
A.画线段MN=3 cm
B.用量角器画出∠AOB的平分线
C.用三角尺作过点A垂直于直线l的直线
D.已知∠α,用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB,使∠AOB=2∠α
2.右图中的尺规作图是作 ( )
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A.线段的垂直平分线
B.一条线段等于已知线段
C.一个角等于已知角
D.角的平分线
3.过点P作直线l的垂线.
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三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
1.直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的 ( )
A.三角形内 B.三角形外
C.斜边上 D.不能确定
2.小刚、小雪、和小影三人一起为小明过 ( http: / / www.21cnjy.com )生日,他们准备了一块三角形的蛋糕(如图),怎样才能把蛋糕平均分成四块.你能帮忙分一分吗 (不写作法,作出分割线,保留作图痕迹即可)
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1.尺规作图所用的作图工具是指 ( )
A.刻度尺和圆规
B.不带刻度的直尺和圆规
C.刻度尺和量角器
D.量角器和圆规
2. △ABC的边AB的垂直平分线经过点C,则有 ( )
A. AB=AC B. AB=BC
C. AC=BC D. ∠B=∠C
3.作出△ABC的BC边上的高.
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本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
尺规作图法相关简介
尺规作图的五种基本作图:①作一条线段等于已 ( http: / / www.21cnjy.com )知线段;②作一个角等于已知角;③作已知线段的垂直平分线;④作已知角的角平分线;⑤过一点作已知直线的垂线.
尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题.其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题:
(1)三等分角问题:三等分一个任意角;
(2)倍立方问题:作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍;
(3)化圆为方问题:作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积.
以上三个问题在2 400年前 ( http: / / www.21cnjy.com )的古希腊已提出,但在欧几里得几何学的限制下,以上三个问题都不可能解决.直至1837年,法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题.而后在1882年,德国数学家林德曼证明π是超越数后,“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题.
1.下列命题中正确的命题有 ( )
①线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等;
②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等;
③经过线段中点的直线只有一条;
④点P在线段AB外且PA=PB,过点P作直线MN,则MN是线段AB的垂直平分线;
⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
2.如图,在△ABC中,AB=AC,利 ( http: / / www.21cnjy.com )用尺规作AB边上的垂直平分线MN与BC边上的高线AD交于点P.(保留作图痕迹,不写作法)你发现PA,PB,PC有何数量关系: ,并请简单证明.
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3.作图题:
(1)如图,有一个三角形形状的水池,现要在水池内安装一个喷水头,且喷水头到池边的距离都要相等,请用尺规找出喷水头的位置点P.
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(2)先用圆规画一个圆,然后在圆弧上确定三个点A,B,C,作线段AB,BC的垂直平分线,你能发现什么结论
2.5 全等三角形(1)
1.知道什么是全等图形、全等三角形及全等三角形的对应元素.
2.知道全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等.
3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边.
一、 新知探究
阅读教材第74、75页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.教材“做一做”中给出的两组图形能完全重合吗
2.根据上述图形的特点,写出全等图形的概念.
思考:全等图形有哪些特征
3.全等三角形是全等图形的一种情况,你能写出全等三角形的概念吗
4.如图,若三角形ABC全等于三角形DEF,你能用符号语言来表示这两个三角形全等吗 请你找出全等三角形的对应顶点、对应边、对应角.
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归纳:
1.用符号语言描述三角形全等时,要注意什么
2.在找对应顶点、对应边、对应角时,有什么方法吗
3.全等三角形有哪些性质
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.下列说法中正确的是 ( )
A.形状相同的两个三角形是全等三角形
B.面积相等的两个三角形是全等三角形
C.两个三角形全等,则它们的周长相等
D.某个同学的两张照片是全等图形
2.(1)如图1,△ABC△DBC,点A和点D是对应点,AB=4,CD=3,则AC= ,BD= .
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(2)如图2,△ABD△ACE,点B和点C是对应点,∠B=25°,∠A=70°,则∠AEC= .
(3)如图3,△AMC△BMD,点A和点B是对应点,△AMC的周长为15,AM=5,MC=4,则DB= .
3.如图,△ABD△EBF,AB=3 cm,BF=5 cm,求DE的长.
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三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
1.如图,在△ABC中,D,E分别是边AC,BC上的点,如果△ACE△ADE△BDE,求∠B的度数.
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2.如图所示,△ABC△EDF,DF=BC,AB=ED,AE=17,FC=5,求AF的长.
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1.如图,△ACB△A1CB1,∠BCB1=40°,则∠ACA1的度数为 .
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2.已知△ACF△DBE,AD=9 cm,BC=5 cm,求AB的长.
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本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
巧分全等图形
如图,你能把这个正六边形分成6个全等的三角形吗 能分成6个全等的四边形吗
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分析:把正六边形分成六部分,图(1)是 ( http: / / www.21cnjy.com )常见的方法,在此启发下,也可以把正六边形分成三个全等的平行四边形,再等分每个平行四边形,就得到图(2)了,符合题意.
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图(1) 图(2)
1.如图,△ABC△ADE,则,AB= ,∠E=∠ .若∠BAE=120°,∠BAD=40°,则∠BAC= °.
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第1题图
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第2题图
2.如图,已知△DEF△ABC,且AC>BC>AB,则在△DEF中,三边的大小为: < < .
3.如图,已知△ABC△DEF,∠A=30°,∠B=50°,BF=2,求∠DFE的度数和EC的长.
2.5 全等三角形(2)
1.体会从图形的平移、轴反射、旋转变换出发,得出三角形全等的判定定理——边角边定理.
2.能应用边角边定理证明两个三角形全等.
3.学会综合应用边角边定理以及几何的相关知识,进行简单的推理论证.
一、 新知探究
阅读教材第76~78页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.教材中描述的四种情况,分别是用哪种变换来验证两个三角形全等
2.如何理解“边角边”中的三个条件.
3.请结合图形,写出“边角边”的数学描述.
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.如图,AD与BC相交于点O,OA=OB,CO=DO,求证:△ACO△BDO.
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证明:在△ACO和△BDO中,
∵
∴△ACO△BDO( )
学法指导:
1.图中隐含了条件: .
2.请你归纳证三角形全等的步骤.
2.如图,已知AB=AD,AC平分∠BAD,求证:△ABC△ADC.
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学法指导:图中隐含了条件: .
3.已知,BE=DE,BE⊥DE,AE=DC,且DC⊥AC,求证:△ABE△CED.
( http: / / www.21cnjy.com / )
学法指导:
1.判断两个三角形全等的关键是要找到三个条件,找条件的方法是:
(1)从已知中找.
(2)从图形中看,如:公共边、公共角、对顶角、邻补角、外角、平角、互余、互补等.
2.再看三个条件是否满足“SAS”,按格式要求写出解题过程.
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
如图,已知AB=AC,其中E,F分别是AC,AB的中点.求证:∠AEB=∠AFC.
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1.如图,AB,CD相交于点O,OA=OB,要使△AOC△BOD,还需补充的条件是 .
第1题图
( http: / / www.21cnjy.com / )
第2题图
2.如图,AB平分∠CAD,E为AB边上的一点,若AC=AD,则下列结论中错误的是 ( )
A. BC=BD
B.图中只有两对全等三角形
C. CE=DE
D. BA平分∠CBD
3.如图,已知AB=AD,AC=AE,∠1=∠2,求证:△ABC△ADE.
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本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
全等三角形的运用
1.性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等.而全等的判定却刚好相反.
2.利用性质和判定,学会准确地找出两个全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形中的对应边与对应角是关键.在写两个三角形全等时,一定把对应的顶点、角、边的顺序写一致,为找对应边、对应角提供方便.
3.当图中出现两个以上等边三角形时,应首先考虑用SAS找全等三角形.
4.在实际应用中,我们一般用全等三角形测相等的距离以及相等的角,可以用于工业和军事.
5.三角形具有一定的稳定性,所以我们用这个原理来做脚手架及其他支撑物件.
1.如图,E,F是△ABC的边BC上的点,且BE=CF,∠1=∠2,求证:AB=AC.
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2.如图,E是BC的中点,∠1=∠2,AE=DE.求证:AB=DC.
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3.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=DC,请问图中有哪几对全等三角形 并任选其中一对给予证明.
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2.5 全等三角形(3)
1.从图形的平移、轴反射、旋转变换出发,探究三角形全等的判定定理——角边角定理.
2.会应用角边角定理证明两个三角形全等.
3.学会综合应用边角边定理、角边角定理以及相关的几何知识,解决较复杂的几何问题.
一、 新知探究
阅读教材第79、80页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.在教材的“探究”中,通过平移、旋转和轴反射得到△ABC的像和△ABC重合,你能说出具体的变换过程吗
2.如何理解“角边角”中的三个条件.
3.请结合图形,写出“角边角”的数学描述.
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.如图,已知AB平分∠CAD,要证明△CAB△DAB,
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如果要用“SAS”定理判定全等,还需添加一个条件 ;
如果要用“ASA”定理判定全等,还需添加一个条件 .
2.观察下面的三角形,小强说:“图中有两个三角形全等.”你认为小强的判断对吗 请说明理由.
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3.如图,已知点E,C在线段BF上,BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.求证:△ABC△DEF.
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三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
1.如图,已知D是△ABC的边AB上的一点,DF交AC于点E,ED=EF,FC∥AB.
求证:AE=CE.
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学法指导:要证AE=CE,则看这两条线段在哪两个可能全等的三角形中,转证这两个三角形全等即可.
2.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点,∠1=∠2,∠3=∠4.
求证:BO=DO.
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学法指导:
1.要证BO,DO所在的三角形全等,还缺什么条件
2.设法证出所缺条件.
1.如图,已知AB∥DE,DF=BC,要使△ABC△EDF,还需要补充的条件是 .
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2.如图,已知AB=AC,∠B=∠C,请问△ABE△ACD吗 为什么
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3.如图,已知点E,C在线段BF上,BE=CF,AB∥DE,AC∥DF.
求证:AB=DE.
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全等三角形指两个全等的三角形,且该两个三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的三条边及三个角都对应相等.全等三角形是几何中全等的一种图形.根据全等转换,两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称,或重叠等.当两个三角形的对应边及角都完全相等时,这两个三角形就是全等三角形.通常来说,验证两个三角形是否全等时,都以三个相等条件来验证,最后便能得出结果.
1.如图,已知AC,BD交于E,∠ADC=∠BCD,∠1=∠2.求证:AE=BE.
2.如图,在△ABC中,MN⊥AC,垂足为N,且MN平分∠AMC,△ABM的周长为9 cm,AN=2 cm.求△ABC的周长.
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3.如图,已知AD与BC交于点O,且PC=PD,OA=OB,∠A=∠B.
求证:OP平分∠APB.
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2.5 全等三角形(4)
1.会从全等三角形的角边角判定定理推导出角角边定理;并能区别角边角定理与角角边定理.
2.会应用角角边定理证明两个三角形全等.
3.会综合应用边角边、角边角、角角边定理以及相关的几何知识,解决较复杂的几何问题.
一、 新知探究
阅读教材第81、82页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.在教材中,推导角角边判定三角形全等的过程中,主要用到了三角形的什么知识
2.“角角边”中的三个条件与“角边角”中的三个条件有什么异同
3.请结合图形,写出“角角边”的数学描述.
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.如图,∠A=∠C,AE=CF,要证明△DAF△BCE,
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如果要用“SAS”定理判定全等,还需添加一个条件 ;
如果要用“ASA”定理判定全等,还需添加一个条件 ;
如果要用“AAS”定理判定全等,还需添加一个条件 .
2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=CB,CE⊥BD于点E.
求证:AD=EB.
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三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
1.如图,在△ABC和△DBC中,∠ACB=∠DBC=90°,E是BC的中点,EF⊥AB,垂足为F,且AB=DE.
(1)求证:BD=BC.
(2)若BD=8 cm,求AC的长.
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2.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,连接EF,交AD于G,AD与EF垂直吗 证明你的结论.
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1.如图,已知△ABC的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是 ( )
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A.甲、乙 B.甲、丙
C.乙、丙 D.丙
2.如图,已知AB=AC,∠BDC=∠CEB,请问BE=CD吗 为什么
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3.如图,已知AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别是B,D,∠1=∠2,AB与AD相等吗 试说明理由.
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本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
全等三角形的变换规律
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1.如图,在△ABC中,AD为∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC的面积是28 cm2,AB=20 cm,AC=8 cm,求DE的长.
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2.如图,Rt△ABC中,∠BAC=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°,AB=AC,分别过点B,C,作过点A的直线的垂线BD,CE,垂足为D,E,若BD=3,CE=2,求DE的长.
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3.如图,已知△ABC中,AB=AC,CE=BD.求证:GE=GD.
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2.5 全等三角形(5)
1.理解边边边定理的推导过程,并联系生活说出三角形的稳定性在生产和生活中的应用.
2.会应用边边边定理证明两个三角形全等.
3.学会综合应用边角边、角边角、角角边和边边边定理以及相关的几何知识,解决较复杂的几何问题.
一、 新知探究
阅读教材第82页的“探究”和第83、84页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.在教材的“探究”中,是用全等三角形的哪种判定方法证明边边边判定方法的 你还有其他的证明方法吗 请写出证明过程.
2.如何理解“边边边”中的三个条件.
3.请结合图形,写出“边边边”的数学描述.
4.怎样理解三角形的稳定性 你能举出生活中利用三角形稳定性的例子吗
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.下列生产和生活现象中,属于三角形稳定性的应用的有 ( )
①用人字架来建筑房屋顶;
②自行车的三角支架;
③在栅栏门上斜着钉根木条;
④推拉式活动防盗门.
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ②③④
2.如图,已知AD=BE,AE=BD,AE与BD相交于点O,那么OA与OB相等吗
3.如图,B,E,C,F四点在同一直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:
(1)△ABC△DEF;
(2)AB∥DE,AC∥DF.
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
如图,要判定△ABC△ADE,除去公共角∠A外,在下列横线上写出还需要的两个条件,并在括号内写出由这些条件直接判定两个三角形全等的依据.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)∠B=∠D,AB=AD( );
(2) , ( );
(3) , ( );
(4) , ( );
(5) , ( );
(6) , ( );
(7) , ( ).
1.如图,AB=CD,AD=CB,AC,BD交于O,图中共有全等三角形 ( )
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
第1题图
第2题图
2.如图,若AB=CD,DE=AF,CF=BE,∠AFB=80°,∠D=60°,则∠B的度数是 ( )
A. 80° B. 60° C. 40° D. 20°
3.如图,已知AB=AD,BC=DC,那么∠B=∠D吗
( http: / / www.21cnjy.com / )
学法指导:利用全等三角形的性质证明,尝试作辅助线构造全等的三角形.
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
三角形全等的解题技巧
一般来说,要证明线段和角相等,可以转化为 ( http: / / www.21cnjy.com )证明三角形全等,因此我们可以采取逆向思维的方式分析:想要证全等,则题中已知什么条件,还需要什么条件.
要证某某边(或角)等于某某边(或角 ( http: / / www.21cnjy.com )),那么首先要证明含有这两条边(或角)的三角形全等,然后把所得的等式运用AAS、ASA、SAS、SSS证明三角形全等.
有时还需要画辅助线帮助解题.常用的辅助线有:倍长中线,截长补短等.
分析完毕以后要注意书写格式,在全等三角形中,如果格式不写好,那么就容易出现看漏的现象.
1.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC=DB,已知∠ABC=60°,求∠ADC的度数.
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.如图,∠AOB是一个任意角,在边 ( http: / / www.21cnjy.com )OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合,过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线,为什么
( http: / / www.21cnjy.com / )
3.如图,BC=BD,AC=AD.
求证:∠C=∠D.
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2.5 全等三角形(6)
1.回顾证明两个三角形全等的四种判定方法,理解判定三角形全等的条件.
2.学会根据题目条件灵活运用SAS,ASA,AAS,SSS解决问题.
3.综合应用全等三角形的性质及判定,解决较为复杂的问题.
一、 新知探究
阅读教材第85、86页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.在教材中,请你根据“议一议”提供的条件,在下面空白处画图,你能画出几种情形,由此你能得出什么结论
2.判定三角形全等的方法有哪几种 满足怎样的三个条件不能判定三角形全等
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.如图,AD=BE,下列不能判定△ABC△DEF的条件是 ( )
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A. AC=DF,BC=EF
B. BC∥EF,BC=EF
C. AC=DF,∠C=∠F
D. BC∥EF,∠C=∠F
2.如图,在等边△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,且AD=CE,则∠BCD+∠CBE= °.
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第2题图
( http: / / www.21cnjy.com / )
第3题图
3.如图,△ABC中,AB=AC,D,E两点在BC上,且AD=AE,若∠BAD=30°,∠DAE=50°,则∠BAC= .
4.如图,点E在AB上,AC=AD,请你添加一个条件,使图中存在全等三角形,并证明.所添的条件为 ,你得到的一对全等三角形是△ △ .
证明:
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图,△DAC,△EBC均是等边三角形,点A,C,B在同一条直线上,AE,BD分别与CD,CE交于点M,N.求证:
(1)AE=BD;
(2)CM=CN;
(3)△CMN为等边三角形;
(4)MN∥BC.
1.如图,△ABC中,AB=AC,AD ( http: / / www.21cnjy.com )平分∠CAB,则下列结论中:①AD⊥BC;②AD=BC;③∠B=∠C;④BD=CD.正确的有 ( )
A. ①②③ B. ②③④
C. ①②④ D. ①③④
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第1题图
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第2题图
2.如图,AB=AC,AD=AE,BE,CD交于点O,则图中全等三角形共有 ( )
A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对
3.如图,已知AB=CD,AD=CB.求证:∠A=∠C.
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本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
要验证两个三角形全等,不需验证所有边及所有角都对应相等.以下判定,是由三个对应的部分组成,即全等三角形可通过以下方法来判定:
SSS(边、边、边):三角形的三条边的长度都对应相等的话,这两个三角形就是全等三角形.
SAS(边、角、边):三角形的其中两条边的长度都对应相等,且这两条边夹着的角也对应相等的话,这两个三角形就是全等三角形.
ASA(角、边、角):三角形的其中两个角都对应相等,且两个角夹着的边也对应相等的话,这两个三角形就是全等三角形.
AAS(角、角、边):三角形的其中两个角都对应相等,且对应相等的角所对应的边也对应相等的话,这两个三角形就是全等三角形.
1.如图,△ABC的三边AB ( http: / / www.21cnjy.com ),BC,CA的长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于 ( )
A. 1∶1∶1 B. 1∶2∶3
C. 2∶3∶4 D. 3∶4∶5
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第1题图
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第2题图
2.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,过点D作DE⊥AB于E,测得BC=9,BE=3,则△BDE的周长是 ( )
A. 15 B. 12 C. 9 D. 6
3.如图,已知AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD.
求证:BE⊥AC.
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2.6 用尺规作三角形(1)
1.会利用尺规作以下三角形:①已知三边作三角形;②已知底边和底边上的高作等腰三角形.
2.会作已知角的角平分线.
3.会写作法并能对尺规作图给出合理的解释.
一、 新知探究
阅读教材第89、90页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.阅读教材上的作法,根据作法以及教材给的条件作出三角形.
(1)已知三边作三角形.
(2)已知底边及底边上的高作等腰三角形.
(3)你对作图过程有哪些心得 你觉得要注意什么呢
(4)根据教材第90页的内容,作已知角的平分线.请你运用所学知识证明,为什么你所作的射线就是∠AOB的平分线
( http: / / www.21cnjy.com / )
学法指导:比较你所作的图和教材上的图,看看是否全等.
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.利用尺规进行作图,根据下列条件作三角形,画出的三角形不唯一的是 ( )
A.已知三条边 B.已知三个角
C.已知两角和夹边 D.已知两边和夹角
2.用尺规作图“已知底边和 ( http: / / www.21cnjy.com )底边上的高线,作等腰三角形”,有下列作法:①作线段BC=a;②作线段BC的垂直平分线m,交BC于点D;③在直线m上截取DA=h,连接AB,AC.这样作法的根据是 ( )
A.等腰三角形三线合一
B.等腰三角形两底角相等
C.等腰三角形两腰相等
D.等腰三角形的轴对称性
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
如图,已知线段m的长度为a,
(1)以线段m为底,以2a为腰作等腰三角形;
(2)以线段m为底,以线段m的一半为高作等腰三角形.
1.如图是用尺规作一个角的平分线的示意图,其根据是构造两个三角形全等.由作法知,能判定△MOC△NOC的依据是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. SAS B. AAS C. ASA D.SSS
2.用尺规作图,已知三边作三角形,用到的基本作图是 ( )
A.平分已知角
B.作已知直线的垂线
C.作一条线段等于已知线段
D.作已知直线的平行线
3.已知线段a作等边三角形,写出作法.
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
尺规法作正五边形
已知边长作正五边形的近似画法如下:
(1)作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,长l为半径画弧,与AB的中垂线交于K.
(2)以K为圆心,取AB的长度为半径向外侧取C点,使CK=AB.
(3)以C为圆心,已知边长AB为半径画弧,分别与前两弧相交于M,N.
(4)顺次连接A,B,M,C,N各点即近似作得所要求的正五边形.
1.用尺规作一个直角三角形,使其两直角边分别等于已知线段,则作图的依据是 .
2.如图所示,已知∠AOB,求作∠AOB的补角的平分线.
( http: / / www.21cnjy.com / )
3.如图所示,已知两边m,n,求作等腰三角形ABC.(思考下有几种情况)
2.6 用尺规作三角形(2)
1.会作一个角等于已知角.
2.会用尺规作以下三角形:①已知两边及其夹角作三角形;②已知两角及其夹边作三角形.
3.经历尺规作图的复习与巩固,感受尺规作图的几何意义,规范作图.
一、 新知探究
阅读教材第91、92页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.根据教材第91页中的“作一个角等于已知角”的作法,作∠A'O'B'=∠AOB.
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.比较一下你与同桌所作的角,运用你所学过的知识,想一想,为什么这样作出的角会与∠AOB相等呢
3.阅读教材第92页的两个三角形的作法,你能说出作法中的每个步骤的目的是什么吗 你能用我们学过的几何定理来解释吗
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.已知两角及其夹边作三角形,所用的基本作图方法是 ( )
A.平分已知角
B.作已知直线的垂线
C.作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段
D.作已知直线的平行线
2.八年级(1)班的篮球啦啦队为了在第二天 ( http: / / www.21cnjy.com )的比赛中给同学加油助威,每个人都提前制作了一面同一规格的彩旗.小明放学回家后,发现自己的彩旗破损了一角,他想用彩纸重新制一面彩旗(如图所示).于是小明挑选了其中的一块,准备用直尺与圆规在彩纸上画一个与破损前完全一样的彩旗,你认为他的根据是 (填“SSS”、“SAS”、“AAS”或“ASA”)
3.如图,已知一个三角形的两边为a,b,这两边的夹角为α,请用直尺和圆规作出这个三角形.
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
已知△ABC,求作一个三角形,使它与△ABC是全等三角形.(用圆规和直尺作图,保留作图痕迹,不必写画法和证明)
( http: / / www.21cnjy.com / )
学法指导:你有几种作图的方法呢
求作一个三角形,使它的两边分别为a,2a,其夹角为∠α.(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
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本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
历史上的尺规作图
俗话说:“不以规矩,不成方圆”,究竟什么是“规”,什么是“矩”
“规”就是圆规,是用来画圆的工具,在我国古代 ( http: / / www.21cnjy.com )甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺,由长短两尺相交成直角而成,两者间用木杠连接以使其牢固,其中短尺叫勾,长尺叫股.
矩的使用是我国古代的一个发明,山东历城武梁祠 ( http: / / www.21cnjy.com )石室造像中就有“伏羲氏手执矩,女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角,加上刻度可以测量,还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字,这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.
《史记》卷二记载大禹治水时“ ( http: / / www.21cnjy.com )左准绳,右规矩”,赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水,……望山川之形,定高下之势,……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水,要先测量地势的高低,就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.
春秋时代也有不少著作涉及规矩的论 ( http: / / www.21cnjy.com )述,《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩,以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明,公输子(即鲁班,传说木匠的祖师)之巧,不以规矩,不能成方圆.”可见,在春秋战国时期,规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度,因此使用范围较广,具有较大的实用性.
1.下列语句正确的是 ( )
A.延长直线AB到C,使AB=BC
B.延长射线AB
C.过点A作AB∥CD∥EF
D.作∠AOB的平分线OC
2.利用基本作图不能确定等腰三角形是 ( )
A.已知底边及底边上的高
B.已知底边及顶角
C.已知底边上的高及腰
D.已知两底角
3.已知∠α,∠β和线段a,求作一个三角形,使它的两个角分别等于∠α,∠β,并且两角的夹边等于a.
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第2章 三 角 形
2.1 三角形(1)
1.知道三角形的定义、表示,能找到三角形的顶点、边和内角.
2.知道等腰三角形的特征,能找到等腰三角形的腰、底边、顶角和底角,知道等边三角形是特殊的等腰三角形.
3.知道三角形的三边关系,能判断任意给出的三条线段能否组成三角形;或已知三角形两边,能求第三边的取值范围.
一、 新知探究
阅读教材第42、43页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.如图是一个三角形,该如何表示 它的顶点、内角和边分别是什么
2.如果上图中AC=BC,那么这个三角形是什么三角形 请指出它的腰、底边、顶角、底角.
3.下图如果是一个等边三角形,它要满足什么条件 它和等腰三角形有什么区别和联系
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4.根据教材的“动脑筋”和“做一做”,三条线段要满足什么条件,首尾相接才能构成一个三角形
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.(1)如图,图中有几个三角形 请把它们分别表示出来.
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(2)在上图△ACD中,写出∠D的对边,边AD的对角.
2.有下列长度的三根小木棒,能构成三角形的是 ( )
A. 3 cm,5cm,10 cm
B. 5 cm,4 cm,8 cm
C. 1 cm,2 cm,3 cm
D. 2 cm,2 cm,4 cm
3.如果以4 cm长的线段为底组成一个等腰三角形,腰长x的取值范围是 ( )
A. x>4 cm B. x>2 cm
C. x≥4 cm D. x≥2 cm
4.若三角形的两边长分别为23和10,第三边与其中一边长相等,那么第三边长为 .
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
1.下列各选项中给出的三条线段,不能组成三角形的是 ( )
A. a+1,a+2,a+3(a>0)
B.三边之比为4∶6∶10
C. 12 cm,8 cm,10 cm
D. 2m,3m,5m-1(m>1)
2.如图所示,已知点P是△ABC内的任意一点,试说明:PA+PB+PC>(AB+BC+AC).
( http: / / www.21cnjy.com / )
1.有下列长度的三条线段能否组成三角形 为什么
(1)4 cm,5 cm,10 cm;
(2)5 cm,6 cm,11 cm;
2.已知三角形有两条边长分别为3 cm和8 cm,则此三角形的第三边的长可能是多少
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
拼一拼
用九根相同的火柴在桌面上摆一个三角形,要求必须全部用完,并且不许将火柴折断.能摆出三角形的个数有几个 你能用今天所学的数学知识解析吗
1.如果a,b,c代表三条线段,则下列选项中不能组成三角形的是 ( )
A. a=b=n,c=2n(n>0)
B. a=6,b=3,c=8
C. a∶b∶c=2∶3∶4
D. a=m+1,b=m+2,c=m+3(m>0)
2.各边均为整数的不等边三角形的周长等于13,这样的三角形有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.(1)若等腰三角形两边长分别为3,7,则它的周长为 .
(2)若等腰三角形两边长分别为3,4,则它的周长为 .
4.李洋要制作一个三角形铁丝架,现有两根铁丝,长度分别为2 cm和6 cm,
(1)李洋如何确定第三根铁丝的长度范围
(2)如果第三根铁丝的长度要求是整数,李洋有几种选择
2.1 三角形(2)
1.能找到一个三角形的高,知道三角形的角平分线和中线的含义,了解三角形的重心.
2.知道角平分线和三角形的角平分线的区别和联系.
3.能应用三角形的高、角平分线和中线解决相关的问题.
一、 新知探究
阅读教材第44、45页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.如图,在△ABC中,CD⊥AB,那么CD叫作什么 你能利用直角三角板,分别作出AC,BC边上的高吗
2.三角形的角平分线、中线和高是直线、射线还是线段
3.三角形的角平分线与角的角平分线有什么区别
4.三角形的角平分线、中线和高各有几条,分别相交于几点
5.由教材例2知,三角形的中线将三角形分成了两个三角形,它们的面积有什么关系
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.一定在三角形内部的线段是 ( )
A.锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
B.钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
C.任意三角形的一条中线、两条角平分线、三条高
D.任意三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
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2.如右图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=6 cm,CD是中线,CE平分∠ACB,则DB= ,∠ACE= .
3.△ABC的周长为18,BE,CF分别 ( http: / / www.21cnjy.com )为AC,AB边上的中线,BE与CF相交于点O,AO的延长线交BC于点D,且AF=4,AE=2,求BD的长.
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
1.在△ABC中,AF,BE,CD分别是三边中线,你认为面积相等的三角形有 ( )
A. 4对 B. 6对
C. 8对 D.多于8对
2.如图,AE是△ABC的角平分线,∠BAC=70°,∠ACD=35°,则AE与CD平行吗 为什么
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3.如图,已知CD是△ABC的中线,线段AC比BC短2 cm,则△BCD与△ACD周长的差是多少
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如图,在△ABC中,∠ABC=60°,BE是∠ABC的平分线,DE∥BC,求∠DEB的度数.
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本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
三角形的“四心”
今天我们学习了三角形的重心,实际上,三角形还有很多“心”,我们来了解一下吧.
(1)重心:三角形的三条中线交于一点,该点叫作三角形的重心.
(2)外心:三角形三边的垂直平分线交于一点,该点叫作三角形的外心.
(3)垂心:三角形的三条高交于一点,该点叫作三角形的垂心.
(4)内心:三角形的三内角平分线交于一点,该点叫作三角形的内心.
三角形的重心、外心、垂心、内心称为三角形的四心.它们都是三角形的重要相关点.
1.下列叙述错误的是 ( )
A.三角形的中线、角平分线、高都是线段
B.三角形的三条高线中至少有一条在三角形的内部
C.只有一条高在三角形内部的三角形一定是锐角三角形
D.三角形的三条角平分线都在三角形内部
2.能把三角形分成两个面积相等的三角形的线段是 ( )
A.三角形的角平分线 B.三角形的中线
C.三角形的高 D.不能确定
3.已知AD,AE分别是△ABC的中线、高 ( http: / / www.21cnjy.com )线,且AB=5 cm,AC=3 cm,则△ABD与△ACD的周长之差是多少 △ABD与△ACD的面积关系如何
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2.1 三角形(3)
1.知道三角形的内角和是180°,能应用此性质解决相关问题.
2.知道三角形的分类,并会用数学符号表示直角三角形.
3.会找一个三角形的外角,能应用三角形外角的性质解决相关问题.
一、 新知探究
阅读教材第46~48页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.在小学,是通过哪两种方法验证三角形内角和是180°的
2.在中学,验证三角形内角和是180°,用到了哪些几何知识
3.你会对三角形进行分类吗 你分类的依据是什么
4.任意一个三角形的一个外角,与它相邻的内角有什么关系
5.任意一个三角形的一个外角,与它不相邻的两个内角又有什么关系呢
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,分别求出∠A,∠B,∠C的度数.
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,EF∥AB,∠1=50°,则∠B的度数是多少
3.如图,已知AC∥ED,∠C=26°,∠CBE=37°,求∠BED的度数.
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
以三角形的内角和是180°为依据,探究四边形、五边形、六边形、n边形的内角和.
图形名称 分割成几个独立的三角形(可在图中画出来) 多边形内角和
四边形
五边形
六边形
n边形
在△ABC中,已知∠A+20°=∠C-∠B,求∠C的度数.
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
三角形邮票,你见过吗
世界上最早的三角形邮票在1853年9月2日由南非好望角发行.图案为一位女神,象征好望角.
三角形邮票是邮票形式的一种,其性质和用途一 ( http: / / www.21cnjy.com )般与普通邮票相同.但有的国家的三角形邮票表示“严密私信,必须递交收信人本人”的意思.也有的国家投递情书专门用三角形邮票.1865年,哥伦比亚发行一种独特的不等边三角形邮票,其底角一个为50°,一个为40°.200年后,法属非洲殖民地奥博克忽又发行两种等边三角形邮票.以后各国都起而效仿,有单独发行一枚的,有混杂于全套票中的,也有全套都是的.
1.一个三角形中最多有 个锐角,最少有 个锐角,最多有 个钝角.
2.在△ABC中,若∠C=2(∠A+∠B),则∠C的度数是多少
3.将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=30°,∠2=50°,则∠3的度数是多少
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.2 命题与证明(1)
1.知道“定义”和“命题”,能判断给出的语句哪些是命题.
2.能把简单的命题写成“如果……,那么……”的形式,能找到命题的条件和结论.
3.知道什么是“原命题”、“逆命题”和“互逆命题”,能写出已知命题的逆命题.
一、 新知探究
阅读教材第50~52页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.结合教材第50页“三角形”和“三角形外角”的定义,说说定义一般都会含有哪些标志性词语
2.命题都是什么句式(疑问句、陈述句、判断句) 都表示对一件事情做出了判断,与判断的正确与否有关系吗
3.命题都可以写成“如果……,那么……”的形式,那什么是条件、什么是结论 请完成教材第51页的“做一做”.
4.原命题与逆命题有什么关系 是不是所有命题都有逆命题
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.下列语句中,哪些是命题,哪些不是命题
(1)奇数都是质数;
(2)明天会下雨吗
(3)若x>0,y>0,则xy<0;
(4)将△ABC绕B点旋转180°.
2.下列语句中不是定义的是 ( )
A.整数和分数统称有理数
B.大于直角的角叫作钝角
C.全等三角形的对应角相等
D.含有未知数的等式叫作方程
3.把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式.
(1)对顶角相等;
(2)同位角相等.
4.写出下列命题的逆命题.
(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;
(2)直角三角形的两个锐角互余.
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,并写出它的逆命题.
(1)偶数比奇数大1;
(2)小于直角的角是锐角;
(3)两点之间,线段最短.
把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,并写出它的逆命题.
(1)两直线平行,同位角相等;
(2)不相等的角,不是对顶角.
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
亚里士多德在《工具论》,特 ( http: / / www.21cnjy.com )别是其中的《范畴篇》中,研究了命题的不同形式及其相互关系,根据形式的不同对命题的不同类型进行了分类.亚里士多德把命题首先分为简单的和复合的两类,但他对复合命题并没有深入探讨.他进而把简单命题按质分为肯定的和否定的,按量分为全称、特称和不定的命题,例如,“愉快不是善”.他还提到个体命题,这相当于后来所谓的以专名为主项,以普遍概念为谓项的单称命题.
命题是逻辑学的研究对象,其中的复合命题,对于我们逻辑思维的训练非常有好处.
1.下列语句中,是命题的是 ( )
A.在同一平面内的两条直线不平行就相交
B.邻补角的角平分线互相垂直
C.过直线l外一点P,作直线a∥l
D.在同一平面内,若a∥b,a与c相交,则b与c也相交
2.把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,并写出它的逆命题.
(1)能被2整除的数必能被4整除;
(2)异号两数相加得零.
3.写出下列命题的逆命题.
(1)直角三角形的两个锐角互余;
(2)若a=0,则ab=0.
2.2 命题与证明(2)
1.会判断一个命题的真假,并且知道要判定一个命题是真命题需要证明;要判定一个命题是假命题,只需举反例.
2.知道基本事实、定理和逆定理的含义,以及它们之间的内在联系.
3.知道公理与定理的区别,认识公理是进行逻辑推理的基本依据.
一、 新知探究
阅读教材第53、54页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.真命题和假命题的区别是什么
2.如何判断一个命题为真命题,这个过程叫什么 如何判断一个命题为假命题,这种方法叫什么
3.推论的依据是什么
4.逆定理就是逆命题吗 为什么
学法指导:基本事实和定理的相同点:都是 命题;不同点: 是不需要证明的,而 是需要经过证明.
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.下列命题中,哪些是真命题,哪些是假命题,并给出理由.
(1)直角三角形的两锐角互余;
(2)如果a>b,那么a2>b2.
2.判断.(正确的打“√”,错误的打“ ”)
(1)定理和公理都是真命题. ( )
(2)定理是命题,命题未必是定理. ( )
(3)公理是真命题,真命题是公理. ( )
(4)“对顶角相等”与“相等的角是对顶角”是互逆定理. ( )
3.如果x=y,那么x+m=y+m,在这个命题中所涉及的公理或基本事实是 .
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
下列定理有逆定理吗 如果有,把它写出来.
(1)平行于同一条直线的两直线平行;
(2)长方形的四个角都是直角;
(3)直角三角形两锐角互余.
1.用举反例的方法说明下列命题是假命题.
(1)有一个角是锐角的三角形是锐角三角形;
(2)若x2=y2,则x=y.
2.试写出两个基本事实,要求它们是互逆定理.
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
点 秋 香
所给人物:A,B,C,D.
①A既不是秋香也不是冬香;
②B既不是冬香也不是春香;
③如果A不是冬香,那么C也不是夏香;
④D既不是夏香也不是春香;
⑤C既不是春香也不是冬香.
若上面5个命题都是真命题,请问谁是秋香
1.下列真命题能作为公理的是 ( )
A.等腰三角形的两个底角相等
B.平行四边形的对角线互相平分
C.全等三角形的对应边、对应角分别相等
D.两点确定一条直线
2.下列命题是真命题吗 若不是请举出反例.
(1)只有锐角才有余角;
(2)若x2=4,则x=2;
(3)a2+1≥1;
(4)若=-a,则a<0.
3.写出定理“垂直于同一条直线的两直线平行”的逆定理.
2.2 命题与证明(3)
1.知道证明的含义及步骤,能用规范的语言进行证明.
2.会证明文字类证明题.
3.能利用反证法进行简单的证明.
一、 新知探究
阅读教材第55~57页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.数学上证明一个命题时,常常从命题的 ( http: / / www.21cnjy.com ) 出发,通过一步步推理,最后证实这个命题的 成立,这是证明的含义.也就是说,我们在证明一个命题时,将什么作为“已知” 将什么作为“求证”
2.根据教材第56页中的“动脑筋”,请你说一说文字证明题的基本步骤.
3.什么叫反证法 其基本思路是什么
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.证明:三角形内角和为180°.
已知:
求证:
证明:
2.用反证法证明下题.
已知:在Rt△ABC中,∠C=90°.
求证:∠A+∠B=90°.
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
一个零件的形状如图,按规定∠A=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°,∠B和∠C分别是32°和21°,检验工人量得∠BDC=149°,就断定这个零件不合格,请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.
( http: / / www.21cnjy.com / )
证明:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
自相矛盾与反证法
中国成语中有一个“矛盾”的故事,有 ( http: / / www.21cnjy.com )一个人同时贩卖矛与盾,他向买家吹嘘他的矛是“无坚不摧”的,盾呢,是刀枪不入的.于是,有人马上提议他“以子之矛,攻子之盾”来验证一下他的宣传是否可靠,这人立刻哑口无言.
在数学上人们也常用这种“以子之矛,攻子之盾” ( http: / / www.21cnjy.com )的方法来证明一些问题,这种证法不是直接证法,而是反证法,许多问题用反证法证明比直接证法还容易些.
1.如图,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证:∠P=90°.
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.证明:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角不互补,那么这两条直线必相交.
2.3 等腰三角形(1)
1.能用语言描述等腰三角形的性质,并会运用性质解决一些简单的实际问题.
2.能用等腰三角形的性质推导出等边三角形的性质.
一、 新知探究
阅读教材第61~63页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.通过教材第61页“探究”的学习,等腰三角形具有哪些特殊的性质呢
2.如图,将两个含有30°角的三角板摆放在一起形成一个等边三角形,你能借助这个图形,找到等边三角形的相关性质吗
( http: / / www.21cnjy.com / )
思考:等腰三角形和等边三角形的关系是什么
3.学习教材第63页的“议一议”,想一想:三角测平架应用了等腰三角形的哪条性质 你能借助该性质解释这一现象吗
思考:如何理解“自然下垂”
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.若等腰三角形的顶角等于80°,则它的底角的度数为 .
2.若△ABC是等边三角形,AB=7,则BC=AC= ,△ABC的周长为 .
( http: / / www.21cnjy.com / )
3.已知:如图,△ABC中,AB=AC,∠A=50°,AD是△ABC的中线,则∠BAD= .
4.下列说法中,不正确的是 ( )
A.等腰三角形的底角是锐角
B.等腰三角形的角平分线、中线和高是同一条线段
C.等腰三角形两腰上的高相等
D.等腰三角形两腰上的中线相等
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
1.若等腰三角形一个角为36°,那么这个三角形的顶角为 .
2.等腰三角形周长为20,一腰上中线分等腰三角形为两个三角形的周长差为2,腰长为 ( )
A. 6 B. 7
C. 6或7 D.不能确定
3.如图,P,Q是△ABC的BC边上的两点,并且PB=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的大小.
1.若等腰三角形一个底角为54°,那么这个三角形的顶角为 .
2.若△ABC是等边三角形,则∠A= 度,∠B+∠C= 度.
3.已知:如图,房屋的顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋椽AB=AC,求顶架上∠B,∠CAD的度数.
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
分割等边三角形
1.等边三角形分割成三个等腰三角形:
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.等边三角形分割成四个等腰三角形:
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
1.若一个等腰三角形的周长是20 cm,一边长是5 cm,则另两边的长分别是 .
2.若一个等腰三角形的两边长分别是3 cm和4 cm,则它的周长是 .
3.一个等腰三角形的周长是70 cm,一条腰与底的比是2∶3,这个等腰三角形的底是多少
4.如图,在△ABC中,已知∠ABC=46°,∠ACB=80°,延长BC至D,使CD=CA,连接AD,求∠BAD度数.
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.3 等腰三角形(2)
1.能感知等腰三角形和等边三角形判定定理的推导过程.
2.能复述等腰三角形和等边三角形的判定定理,会用几何语言进行描述.
3.能运用判定定理解决一些实际问题.
一、 新知探究
思考:如图,在海上位于A, ( http: / / www.21cnjy.com )B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)
阅读教材第63~65页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系
由此得到等腰三角形的判定定理:
2.参照等腰三角形的判定定理,同时结合三角形内角和定理,你知道如何判定一个三角形是等边三角形吗
由此得到等边三角形的判定定理:
(1)
(2)
3.观察思考,并在箭头上填上相应的条件.
( http: / / www.21cnjy.com / )
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.下面的三角形中,不可能是等腰三角形的是 ( )
A.有两个内角分别为70°,55°的三角形
B.有一个外角为100°,一个内角为50°的三角形
C.有两个内角分别为110°和40°的三角形
D.有一个外角为100°,一个内角为80°的三角形
2.已知:如图,∠ACD是△ABC的一个外角,CE平分∠ACD,CE∥AB.求证:△ABC是等腰三角形.
3.如图,兴趣小组在一次 ( http: / / www.21cnjy.com )测量池塘宽度AB的实践活动中测得∠APB=60°,AP=BP=200 m,他们便得出了结论:池塘宽度AB的长为200 m.他们的结论对吗 请说明理由.
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
1.已知∠A=36°,AB=AC,CD平分∠ACB.试说明图中有那些等腰三角形.
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.将一个长方形纸片ABCD按如图那样折叠,若AE=3 cm,AB=4 cm,BE=5 cm,则重合部分的面积是 .
( http: / / www.21cnjy.com / )
1.在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,能判定△ABC是等腰三角形的是 ( )
A. ∠A=50°,∠B=70°
B. ∠A=70°,∠B=40°
C. ∠A=30°,∠B=90°
D. ∠A=80°,∠B=60°
2.在等腰三角形ABC中,AB=AC=5,有一个角为60°,则BC= .
3.如图,AB=AC,DE∥BC,求证:△ADE是等腰三角形.
( http: / / www.21cnjy.com / )
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
黄金三角形
所谓黄金三角形是一个等腰三角形,其腰与底的长度比为,这种三角形既美观又标准.黄金三角形只有两种:
( http: / / www.21cnjy.com / )
一种是顶角为36°,每个底角为72°;
另一种是顶角为108°,每个底角为36°.
1.有下列条件,其中不能判定△ABC是等腰三角形的是 ( )
A. a∶b∶c=2∶3∶4
B. a=3,b=4,c=3
C. ∠B=50°,∠C=80°
D. ∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
2.如图,下午2时,一艘轮船在A处观察 ( http: / / www.21cnjy.com )到导航灯C在A的北偏东35°,轮船以每小时25海里的速度向正北方向航行,3小时后到达B处,此时测得∠NBC=70°,求此时B处到导航灯C处的距离.
( http: / / www.21cnjy.com / )
3.如图,△ABC中,AB=AC=BC,DE∥BC,证明△ADE是等边三角形.
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.4 线段的垂直平分线(1)
1.通过作图,探究、总结、归纳垂直平分线的性质.
2.识记并能用几何语言描述线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.
3.会运用垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题.
一、 新知探究
阅读教材第68、69页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.如图,已知,点A与直线l.
(1)请画出点A关于直线l的对称点B.
(2)若线段AB与直线l的交点为O,请说出线段AB与直线l的关系.
(3)说出线段AO与BO的数量关系: .
(4)反过来,设直线l是线段AB的垂直平分线,那么点A,B是否关于这条直线对称
(5)在直线l上任取一点P,连接PA,PB,则PA PB(填“<”、“>”或“=”).
(6)想一想:无论点P在直线l上如何移动,(5)给出的结论总是成立吗
归纳:线段垂直平分线的性质定理是什么
2.你能写出线段垂直平分线的性质定理的逆定理吗 它是真命题吗
学法指导:分析原命题的条件和结论后,再把逆命题写出来.
3.三角形三边的垂直平分线交于几点 有什么性质
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.如图,已知AB是线段CD的垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线,E是AB上的一点,如果EC=7 cm,那么ED= cm,如果∠ECD=60°,那么∠EDC= °.
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.如图所示,DE是线段AB的垂直平分线,下列结论一定成立的是 ( )
A. ED=CD
B. ∠DAC=∠B
C. ∠C>2∠B
D. ∠B+∠ADE=90°
3.如图,已知AD是线段BC的垂直平分线,且BD=3 cm,△ABC的周长为20 cm,求AC的长.
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
1.如图,BC=20 cm,DE是线段AB的垂直平分线,与BC交于点E,AC=12 cm,求△ACE的周长.
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AC的垂直平分线分别交BC,AC于点D,E.线段AB与CD相等吗 试说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com / )
1.如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上一点,已知PA=6 cm,则PB的长度为 cm.
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.如图,在四边形ABCD中,BD是线段AC的垂直平分线,已知△ABD的周长是30 cm,四边形ABCD周长为36 cm,求BD的长.
( http: / / www.21cnjy.com / )
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
历史上的垂直平分线
建安二年,袁绍写信给曹操,信中带着 ( http: / / www.21cnjy.com )骄横的语气,曹操很是气愤,对荀彧,郭嘉说:“现在是不是出兵打袁绍的时候呢 ”二人都回答说:“不是.”曹操笑着说:“以你们的意见,咱们现在应该出兵哪里呢 ”荀彧说:“不如先攻打吕布,这样占领北方就容易了.”曹操很赞成他们的想法,于是,曹操下令征讨吕布.
吕布得知后大骂曰:“操贼焉敢如此 ”先使 ( http: / / www.21cnjy.com )陈宫,臧霸,接连泰山寇孙观,吴敬,尹礼,昌稀,东取山东诸郡,令高顺,张辽取沛城,功玄德,令宋宪,魏续西取汝,颖,布自总中军为三路救应,三路军马连续作战之后,要会合于一处,这时,问题出现了,到底该在哪儿汇合才能三军所走路程最短呢,吕布很是头疼,不知如何是好.
这时,大臣陈珪进谏吕布,他打开地图, ( http: / / www.21cnjy.com )将三军所在位置分别看成三个点,连接三个点,得到三条线段,任意选取其中两条线段,分别做这两条线段的垂直平分线,交于一点,这一点即为所求点.
吕布不明白怎么回事,陈珪说:“因为三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点距离相等.”吕布又问:“那为什么你刚才只做其中两条边的垂直平分线,而没有做另一条边的垂直平分线啊 ”
同学们,你能解开其中的奥秘吗
1.如图,点B,C,D在同一条 ( http: / / www.21cnjy.com )直线上,且点A在线段BC的垂直平分线上,∠BAC=120°,点D在线段AB的垂直平分线上,那么∠ADC度数为 .
2.如图,O是△ABC的两条垂直平分线的交点,∠BAC=70°,则∠BOC的度数为 ( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. 120° B. 125° C. 130° D. 140°
3.如图,△ABC中,AD⊥BC,点F在线段AC的垂直平分线上,且BD=DE.
(1)如果∠BAE=40°,那么∠C= °,∠B= °;
(2)如果△ABC周长为13 cm,AC=6 cm,那么△ABE周长= cm;
(3)你发现AB与BD的和等于图中哪条线段的长,并证明你的结论.
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.4 线段的垂直平分线(2)
1.知道尺规作图法及其具体要求.
2.会用尺规作线段的垂直平分线以及会写其作法,理解作图的原理.
3.会用尺规作直线的垂线以及会写其作法,理解作图的原理.
一、 新知探究
阅读教材第70、71页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.尺规作图法:限用直尺和圆规来完成的作图方法,叫作尺规作图法.习惯上使用没有刻度的直尺和圆规.
2.你能说说作线段的垂直平分线的原理吗
3.根据教材上的作法作线段AB的垂直平分线.
思考:为什么在作图时要以大于AB的一半为半径画弧
4.在作直线l的垂线时,当P点在直线l上,教材的作法中写到“截取PA,PB,使得PA=PB”,这是为什么呢
5.当点P在直线l外时,是如何得到PA=PB的 这又是为什么呢
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.下列作图属于尺规作图的是 ( )
A.画线段MN=3 cm
B.用量角器画出∠AOB的平分线
C.用三角尺作过点A垂直于直线l的直线
D.已知∠α,用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB,使∠AOB=2∠α
2.右图中的尺规作图是作 ( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.线段的垂直平分线
B.一条线段等于已知线段
C.一个角等于已知角
D.角的平分线
3.过点P作直线l的垂线.
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
1.直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的 ( )
A.三角形内 B.三角形外
C.斜边上 D.不能确定
2.小刚、小雪、和小影三人一起为小明过 ( http: / / www.21cnjy.com )生日,他们准备了一块三角形的蛋糕(如图),怎样才能把蛋糕平均分成四块.你能帮忙分一分吗 (不写作法,作出分割线,保留作图痕迹即可)
( http: / / www.21cnjy.com / )
1.尺规作图所用的作图工具是指 ( )
A.刻度尺和圆规
B.不带刻度的直尺和圆规
C.刻度尺和量角器
D.量角器和圆规
2. △ABC的边AB的垂直平分线经过点C,则有 ( )
A. AB=AC B. AB=BC
C. AC=BC D. ∠B=∠C
3.作出△ABC的BC边上的高.
( http: / / www.21cnjy.com / )
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
尺规作图法相关简介
尺规作图的五种基本作图:①作一条线段等于已 ( http: / / www.21cnjy.com )知线段;②作一个角等于已知角;③作已知线段的垂直平分线;④作已知角的角平分线;⑤过一点作已知直线的垂线.
尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题.其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题:
(1)三等分角问题:三等分一个任意角;
(2)倍立方问题:作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍;
(3)化圆为方问题:作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积.
以上三个问题在2 400年前 ( http: / / www.21cnjy.com )的古希腊已提出,但在欧几里得几何学的限制下,以上三个问题都不可能解决.直至1837年,法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题.而后在1882年,德国数学家林德曼证明π是超越数后,“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题.
1.下列命题中正确的命题有 ( )
①线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等;
②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等;
③经过线段中点的直线只有一条;
④点P在线段AB外且PA=PB,过点P作直线MN,则MN是线段AB的垂直平分线;
⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
2.如图,在△ABC中,AB=AC,利 ( http: / / www.21cnjy.com )用尺规作AB边上的垂直平分线MN与BC边上的高线AD交于点P.(保留作图痕迹,不写作法)你发现PA,PB,PC有何数量关系: ,并请简单证明.
( http: / / www.21cnjy.com / )
3.作图题:
(1)如图,有一个三角形形状的水池,现要在水池内安装一个喷水头,且喷水头到池边的距离都要相等,请用尺规找出喷水头的位置点P.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)先用圆规画一个圆,然后在圆弧上确定三个点A,B,C,作线段AB,BC的垂直平分线,你能发现什么结论
2.5 全等三角形(1)
1.知道什么是全等图形、全等三角形及全等三角形的对应元素.
2.知道全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等.
3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边.
一、 新知探究
阅读教材第74、75页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.教材“做一做”中给出的两组图形能完全重合吗
2.根据上述图形的特点,写出全等图形的概念.
思考:全等图形有哪些特征
3.全等三角形是全等图形的一种情况,你能写出全等三角形的概念吗
4.如图,若三角形ABC全等于三角形DEF,你能用符号语言来表示这两个三角形全等吗 请你找出全等三角形的对应顶点、对应边、对应角.
( http: / / www.21cnjy.com / )
归纳:
1.用符号语言描述三角形全等时,要注意什么
2.在找对应顶点、对应边、对应角时,有什么方法吗
3.全等三角形有哪些性质
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.下列说法中正确的是 ( )
A.形状相同的两个三角形是全等三角形
B.面积相等的两个三角形是全等三角形
C.两个三角形全等,则它们的周长相等
D.某个同学的两张照片是全等图形
2.(1)如图1,△ABC△DBC,点A和点D是对应点,AB=4,CD=3,则AC= ,BD= .
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(2)如图2,△ABD△ACE,点B和点C是对应点,∠B=25°,∠A=70°,则∠AEC= .
(3)如图3,△AMC△BMD,点A和点B是对应点,△AMC的周长为15,AM=5,MC=4,则DB= .
3.如图,△ABD△EBF,AB=3 cm,BF=5 cm,求DE的长.
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三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
1.如图,在△ABC中,D,E分别是边AC,BC上的点,如果△ACE△ADE△BDE,求∠B的度数.
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2.如图所示,△ABC△EDF,DF=BC,AB=ED,AE=17,FC=5,求AF的长.
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1.如图,△ACB△A1CB1,∠BCB1=40°,则∠ACA1的度数为 .
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2.已知△ACF△DBE,AD=9 cm,BC=5 cm,求AB的长.
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本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
巧分全等图形
如图,你能把这个正六边形分成6个全等的三角形吗 能分成6个全等的四边形吗
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分析:把正六边形分成六部分,图(1)是 ( http: / / www.21cnjy.com )常见的方法,在此启发下,也可以把正六边形分成三个全等的平行四边形,再等分每个平行四边形,就得到图(2)了,符合题意.
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图(1) 图(2)
1.如图,△ABC△ADE,则,AB= ,∠E=∠ .若∠BAE=120°,∠BAD=40°,则∠BAC= °.
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第1题图
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第2题图
2.如图,已知△DEF△ABC,且AC>BC>AB,则在△DEF中,三边的大小为: < < .
3.如图,已知△ABC△DEF,∠A=30°,∠B=50°,BF=2,求∠DFE的度数和EC的长.
2.5 全等三角形(2)
1.体会从图形的平移、轴反射、旋转变换出发,得出三角形全等的判定定理——边角边定理.
2.能应用边角边定理证明两个三角形全等.
3.学会综合应用边角边定理以及几何的相关知识,进行简单的推理论证.
一、 新知探究
阅读教材第76~78页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.教材中描述的四种情况,分别是用哪种变换来验证两个三角形全等
2.如何理解“边角边”中的三个条件.
3.请结合图形,写出“边角边”的数学描述.
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.如图,AD与BC相交于点O,OA=OB,CO=DO,求证:△ACO△BDO.
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证明:在△ACO和△BDO中,
∵
∴△ACO△BDO( )
学法指导:
1.图中隐含了条件: .
2.请你归纳证三角形全等的步骤.
2.如图,已知AB=AD,AC平分∠BAD,求证:△ABC△ADC.
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学法指导:图中隐含了条件: .
3.已知,BE=DE,BE⊥DE,AE=DC,且DC⊥AC,求证:△ABE△CED.
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学法指导:
1.判断两个三角形全等的关键是要找到三个条件,找条件的方法是:
(1)从已知中找.
(2)从图形中看,如:公共边、公共角、对顶角、邻补角、外角、平角、互余、互补等.
2.再看三个条件是否满足“SAS”,按格式要求写出解题过程.
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
如图,已知AB=AC,其中E,F分别是AC,AB的中点.求证:∠AEB=∠AFC.
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1.如图,AB,CD相交于点O,OA=OB,要使△AOC△BOD,还需补充的条件是 .
第1题图
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第2题图
2.如图,AB平分∠CAD,E为AB边上的一点,若AC=AD,则下列结论中错误的是 ( )
A. BC=BD
B.图中只有两对全等三角形
C. CE=DE
D. BA平分∠CBD
3.如图,已知AB=AD,AC=AE,∠1=∠2,求证:△ABC△ADE.
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本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
全等三角形的运用
1.性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等.而全等的判定却刚好相反.
2.利用性质和判定,学会准确地找出两个全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形中的对应边与对应角是关键.在写两个三角形全等时,一定把对应的顶点、角、边的顺序写一致,为找对应边、对应角提供方便.
3.当图中出现两个以上等边三角形时,应首先考虑用SAS找全等三角形.
4.在实际应用中,我们一般用全等三角形测相等的距离以及相等的角,可以用于工业和军事.
5.三角形具有一定的稳定性,所以我们用这个原理来做脚手架及其他支撑物件.
1.如图,E,F是△ABC的边BC上的点,且BE=CF,∠1=∠2,求证:AB=AC.
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2.如图,E是BC的中点,∠1=∠2,AE=DE.求证:AB=DC.
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3.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=DC,请问图中有哪几对全等三角形 并任选其中一对给予证明.
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2.5 全等三角形(3)
1.从图形的平移、轴反射、旋转变换出发,探究三角形全等的判定定理——角边角定理.
2.会应用角边角定理证明两个三角形全等.
3.学会综合应用边角边定理、角边角定理以及相关的几何知识,解决较复杂的几何问题.
一、 新知探究
阅读教材第79、80页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.在教材的“探究”中,通过平移、旋转和轴反射得到△ABC的像和△ABC重合,你能说出具体的变换过程吗
2.如何理解“角边角”中的三个条件.
3.请结合图形,写出“角边角”的数学描述.
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.如图,已知AB平分∠CAD,要证明△CAB△DAB,
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如果要用“SAS”定理判定全等,还需添加一个条件 ;
如果要用“ASA”定理判定全等,还需添加一个条件 .
2.观察下面的三角形,小强说:“图中有两个三角形全等.”你认为小强的判断对吗 请说明理由.
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3.如图,已知点E,C在线段BF上,BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.求证:△ABC△DEF.
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三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
1.如图,已知D是△ABC的边AB上的一点,DF交AC于点E,ED=EF,FC∥AB.
求证:AE=CE.
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学法指导:要证AE=CE,则看这两条线段在哪两个可能全等的三角形中,转证这两个三角形全等即可.
2.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点,∠1=∠2,∠3=∠4.
求证:BO=DO.
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学法指导:
1.要证BO,DO所在的三角形全等,还缺什么条件
2.设法证出所缺条件.
1.如图,已知AB∥DE,DF=BC,要使△ABC△EDF,还需要补充的条件是 .
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2.如图,已知AB=AC,∠B=∠C,请问△ABE△ACD吗 为什么
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3.如图,已知点E,C在线段BF上,BE=CF,AB∥DE,AC∥DF.
求证:AB=DE.
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本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
全等三角形指两个全等的三角形,且该两个三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的三条边及三个角都对应相等.全等三角形是几何中全等的一种图形.根据全等转换,两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称,或重叠等.当两个三角形的对应边及角都完全相等时,这两个三角形就是全等三角形.通常来说,验证两个三角形是否全等时,都以三个相等条件来验证,最后便能得出结果.
1.如图,已知AC,BD交于E,∠ADC=∠BCD,∠1=∠2.求证:AE=BE.
2.如图,在△ABC中,MN⊥AC,垂足为N,且MN平分∠AMC,△ABM的周长为9 cm,AN=2 cm.求△ABC的周长.
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3.如图,已知AD与BC交于点O,且PC=PD,OA=OB,∠A=∠B.
求证:OP平分∠APB.
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2.5 全等三角形(4)
1.会从全等三角形的角边角判定定理推导出角角边定理;并能区别角边角定理与角角边定理.
2.会应用角角边定理证明两个三角形全等.
3.会综合应用边角边、角边角、角角边定理以及相关的几何知识,解决较复杂的几何问题.
一、 新知探究
阅读教材第81、82页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.在教材中,推导角角边判定三角形全等的过程中,主要用到了三角形的什么知识
2.“角角边”中的三个条件与“角边角”中的三个条件有什么异同
3.请结合图形,写出“角角边”的数学描述.
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.如图,∠A=∠C,AE=CF,要证明△DAF△BCE,
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如果要用“SAS”定理判定全等,还需添加一个条件 ;
如果要用“ASA”定理判定全等,还需添加一个条件 ;
如果要用“AAS”定理判定全等,还需添加一个条件 .
2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=CB,CE⊥BD于点E.
求证:AD=EB.
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三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
1.如图,在△ABC和△DBC中,∠ACB=∠DBC=90°,E是BC的中点,EF⊥AB,垂足为F,且AB=DE.
(1)求证:BD=BC.
(2)若BD=8 cm,求AC的长.
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2.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,连接EF,交AD于G,AD与EF垂直吗 证明你的结论.
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1.如图,已知△ABC的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是 ( )
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A.甲、乙 B.甲、丙
C.乙、丙 D.丙
2.如图,已知AB=AC,∠BDC=∠CEB,请问BE=CD吗 为什么
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3.如图,已知AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别是B,D,∠1=∠2,AB与AD相等吗 试说明理由.
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本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
全等三角形的变换规律
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1.如图,在△ABC中,AD为∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC的面积是28 cm2,AB=20 cm,AC=8 cm,求DE的长.
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2.如图,Rt△ABC中,∠BAC=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°,AB=AC,分别过点B,C,作过点A的直线的垂线BD,CE,垂足为D,E,若BD=3,CE=2,求DE的长.
( http: / / www.21cnjy.com / )
3.如图,已知△ABC中,AB=AC,CE=BD.求证:GE=GD.
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.5 全等三角形(5)
1.理解边边边定理的推导过程,并联系生活说出三角形的稳定性在生产和生活中的应用.
2.会应用边边边定理证明两个三角形全等.
3.学会综合应用边角边、角边角、角角边和边边边定理以及相关的几何知识,解决较复杂的几何问题.
一、 新知探究
阅读教材第82页的“探究”和第83、84页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.在教材的“探究”中,是用全等三角形的哪种判定方法证明边边边判定方法的 你还有其他的证明方法吗 请写出证明过程.
2.如何理解“边边边”中的三个条件.
3.请结合图形,写出“边边边”的数学描述.
4.怎样理解三角形的稳定性 你能举出生活中利用三角形稳定性的例子吗
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.下列生产和生活现象中,属于三角形稳定性的应用的有 ( )
①用人字架来建筑房屋顶;
②自行车的三角支架;
③在栅栏门上斜着钉根木条;
④推拉式活动防盗门.
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ②③④
2.如图,已知AD=BE,AE=BD,AE与BD相交于点O,那么OA与OB相等吗
3.如图,B,E,C,F四点在同一直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:
(1)△ABC△DEF;
(2)AB∥DE,AC∥DF.
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
如图,要判定△ABC△ADE,除去公共角∠A外,在下列横线上写出还需要的两个条件,并在括号内写出由这些条件直接判定两个三角形全等的依据.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)∠B=∠D,AB=AD( );
(2) , ( );
(3) , ( );
(4) , ( );
(5) , ( );
(6) , ( );
(7) , ( ).
1.如图,AB=CD,AD=CB,AC,BD交于O,图中共有全等三角形 ( )
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
第1题图
第2题图
2.如图,若AB=CD,DE=AF,CF=BE,∠AFB=80°,∠D=60°,则∠B的度数是 ( )
A. 80° B. 60° C. 40° D. 20°
3.如图,已知AB=AD,BC=DC,那么∠B=∠D吗
( http: / / www.21cnjy.com / )
学法指导:利用全等三角形的性质证明,尝试作辅助线构造全等的三角形.
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
三角形全等的解题技巧
一般来说,要证明线段和角相等,可以转化为 ( http: / / www.21cnjy.com )证明三角形全等,因此我们可以采取逆向思维的方式分析:想要证全等,则题中已知什么条件,还需要什么条件.
要证某某边(或角)等于某某边(或角 ( http: / / www.21cnjy.com )),那么首先要证明含有这两条边(或角)的三角形全等,然后把所得的等式运用AAS、ASA、SAS、SSS证明三角形全等.
有时还需要画辅助线帮助解题.常用的辅助线有:倍长中线,截长补短等.
分析完毕以后要注意书写格式,在全等三角形中,如果格式不写好,那么就容易出现看漏的现象.
1.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC=DB,已知∠ABC=60°,求∠ADC的度数.
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.如图,∠AOB是一个任意角,在边 ( http: / / www.21cnjy.com )OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合,过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线,为什么
( http: / / www.21cnjy.com / )
3.如图,BC=BD,AC=AD.
求证:∠C=∠D.
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.5 全等三角形(6)
1.回顾证明两个三角形全等的四种判定方法,理解判定三角形全等的条件.
2.学会根据题目条件灵活运用SAS,ASA,AAS,SSS解决问题.
3.综合应用全等三角形的性质及判定,解决较为复杂的问题.
一、 新知探究
阅读教材第85、86页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.在教材中,请你根据“议一议”提供的条件,在下面空白处画图,你能画出几种情形,由此你能得出什么结论
2.判定三角形全等的方法有哪几种 满足怎样的三个条件不能判定三角形全等
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.如图,AD=BE,下列不能判定△ABC△DEF的条件是 ( )
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A. AC=DF,BC=EF
B. BC∥EF,BC=EF
C. AC=DF,∠C=∠F
D. BC∥EF,∠C=∠F
2.如图,在等边△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,且AD=CE,则∠BCD+∠CBE= °.
( http: / / www.21cnjy.com / )
第2题图
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第3题图
3.如图,△ABC中,AB=AC,D,E两点在BC上,且AD=AE,若∠BAD=30°,∠DAE=50°,则∠BAC= .
4.如图,点E在AB上,AC=AD,请你添加一个条件,使图中存在全等三角形,并证明.所添的条件为 ,你得到的一对全等三角形是△ △ .
证明:
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
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如图,△DAC,△EBC均是等边三角形,点A,C,B在同一条直线上,AE,BD分别与CD,CE交于点M,N.求证:
(1)AE=BD;
(2)CM=CN;
(3)△CMN为等边三角形;
(4)MN∥BC.
1.如图,△ABC中,AB=AC,AD ( http: / / www.21cnjy.com )平分∠CAB,则下列结论中:①AD⊥BC;②AD=BC;③∠B=∠C;④BD=CD.正确的有 ( )
A. ①②③ B. ②③④
C. ①②④ D. ①③④
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第1题图
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第2题图
2.如图,AB=AC,AD=AE,BE,CD交于点O,则图中全等三角形共有 ( )
A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对
3.如图,已知AB=CD,AD=CB.求证:∠A=∠C.
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本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
要验证两个三角形全等,不需验证所有边及所有角都对应相等.以下判定,是由三个对应的部分组成,即全等三角形可通过以下方法来判定:
SSS(边、边、边):三角形的三条边的长度都对应相等的话,这两个三角形就是全等三角形.
SAS(边、角、边):三角形的其中两条边的长度都对应相等,且这两条边夹着的角也对应相等的话,这两个三角形就是全等三角形.
ASA(角、边、角):三角形的其中两个角都对应相等,且两个角夹着的边也对应相等的话,这两个三角形就是全等三角形.
AAS(角、角、边):三角形的其中两个角都对应相等,且对应相等的角所对应的边也对应相等的话,这两个三角形就是全等三角形.
1.如图,△ABC的三边AB ( http: / / www.21cnjy.com ),BC,CA的长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于 ( )
A. 1∶1∶1 B. 1∶2∶3
C. 2∶3∶4 D. 3∶4∶5
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第1题图
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第2题图
2.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,过点D作DE⊥AB于E,测得BC=9,BE=3,则△BDE的周长是 ( )
A. 15 B. 12 C. 9 D. 6
3.如图,已知AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD.
求证:BE⊥AC.
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2.6 用尺规作三角形(1)
1.会利用尺规作以下三角形:①已知三边作三角形;②已知底边和底边上的高作等腰三角形.
2.会作已知角的角平分线.
3.会写作法并能对尺规作图给出合理的解释.
一、 新知探究
阅读教材第89、90页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.阅读教材上的作法,根据作法以及教材给的条件作出三角形.
(1)已知三边作三角形.
(2)已知底边及底边上的高作等腰三角形.
(3)你对作图过程有哪些心得 你觉得要注意什么呢
(4)根据教材第90页的内容,作已知角的平分线.请你运用所学知识证明,为什么你所作的射线就是∠AOB的平分线
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学法指导:比较你所作的图和教材上的图,看看是否全等.
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.利用尺规进行作图,根据下列条件作三角形,画出的三角形不唯一的是 ( )
A.已知三条边 B.已知三个角
C.已知两角和夹边 D.已知两边和夹角
2.用尺规作图“已知底边和 ( http: / / www.21cnjy.com )底边上的高线,作等腰三角形”,有下列作法:①作线段BC=a;②作线段BC的垂直平分线m,交BC于点D;③在直线m上截取DA=h,连接AB,AC.这样作法的根据是 ( )
A.等腰三角形三线合一
B.等腰三角形两底角相等
C.等腰三角形两腰相等
D.等腰三角形的轴对称性
三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
如图,已知线段m的长度为a,
(1)以线段m为底,以2a为腰作等腰三角形;
(2)以线段m为底,以线段m的一半为高作等腰三角形.
1.如图是用尺规作一个角的平分线的示意图,其根据是构造两个三角形全等.由作法知,能判定△MOC△NOC的依据是 ( )
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A. SAS B. AAS C. ASA D.SSS
2.用尺规作图,已知三边作三角形,用到的基本作图是 ( )
A.平分已知角
B.作已知直线的垂线
C.作一条线段等于已知线段
D.作已知直线的平行线
3.已知线段a作等边三角形,写出作法.
本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
尺规法作正五边形
已知边长作正五边形的近似画法如下:
(1)作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,长l为半径画弧,与AB的中垂线交于K.
(2)以K为圆心,取AB的长度为半径向外侧取C点,使CK=AB.
(3)以C为圆心,已知边长AB为半径画弧,分别与前两弧相交于M,N.
(4)顺次连接A,B,M,C,N各点即近似作得所要求的正五边形.
1.用尺规作一个直角三角形,使其两直角边分别等于已知线段,则作图的依据是 .
2.如图所示,已知∠AOB,求作∠AOB的补角的平分线.
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3.如图所示,已知两边m,n,求作等腰三角形ABC.(思考下有几种情况)
2.6 用尺规作三角形(2)
1.会作一个角等于已知角.
2.会用尺规作以下三角形:①已知两边及其夹角作三角形;②已知两角及其夹边作三角形.
3.经历尺规作图的复习与巩固,感受尺规作图的几何意义,规范作图.
一、 新知探究
阅读教材第91、92页的内容,自主探究,回答下列问题:
1.根据教材第91页中的“作一个角等于已知角”的作法,作∠A'O'B'=∠AOB.
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2.比较一下你与同桌所作的角,运用你所学过的知识,想一想,为什么这样作出的角会与∠AOB相等呢
3.阅读教材第92页的两个三角形的作法,你能说出作法中的每个步骤的目的是什么吗 你能用我们学过的几何定理来解释吗
二、 基础演练
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
1.已知两角及其夹边作三角形,所用的基本作图方法是 ( )
A.平分已知角
B.作已知直线的垂线
C.作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段
D.作已知直线的平行线
2.八年级(1)班的篮球啦啦队为了在第二天 ( http: / / www.21cnjy.com )的比赛中给同学加油助威,每个人都提前制作了一面同一规格的彩旗.小明放学回家后,发现自己的彩旗破损了一角,他想用彩纸重新制一面彩旗(如图所示).于是小明挑选了其中的一块,准备用直尺与圆规在彩纸上画一个与破损前完全一样的彩旗,你认为他的根据是 (填“SSS”、“SAS”、“AAS”或“ASA”)
3.如图,已知一个三角形的两边为a,b,这两边的夹角为α,请用直尺和圆规作出这个三角形.
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三、 综合提升
先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:
已知△ABC,求作一个三角形,使它与△ABC是全等三角形.(用圆规和直尺作图,保留作图痕迹,不必写画法和证明)
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学法指导:你有几种作图的方法呢
求作一个三角形,使它的两边分别为a,2a,其夹角为∠α.(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
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本课时主要学习了哪些知识与方法 有何收获和感悟 还有哪些疑惑
历史上的尺规作图
俗话说:“不以规矩,不成方圆”,究竟什么是“规”,什么是“矩”
“规”就是圆规,是用来画圆的工具,在我国古代 ( http: / / www.21cnjy.com )甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺,由长短两尺相交成直角而成,两者间用木杠连接以使其牢固,其中短尺叫勾,长尺叫股.
矩的使用是我国古代的一个发明,山东历城武梁祠 ( http: / / www.21cnjy.com )石室造像中就有“伏羲氏手执矩,女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角,加上刻度可以测量,还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字,这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.
《史记》卷二记载大禹治水时“ ( http: / / www.21cnjy.com )左准绳,右规矩”,赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水,……望山川之形,定高下之势,……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水,要先测量地势的高低,就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.
春秋时代也有不少著作涉及规矩的论 ( http: / / www.21cnjy.com )述,《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩,以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明,公输子(即鲁班,传说木匠的祖师)之巧,不以规矩,不能成方圆.”可见,在春秋战国时期,规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度,因此使用范围较广,具有较大的实用性.
1.下列语句正确的是 ( )
A.延长直线AB到C,使AB=BC
B.延长射线AB
C.过点A作AB∥CD∥EF
D.作∠AOB的平分线OC
2.利用基本作图不能确定等腰三角形是 ( )
A.已知底边及底边上的高
B.已知底边及顶角
C.已知底边上的高及腰
D.已知两底角
3.已知∠α,∠β和线段a,求作一个三角形,使它的两个角分别等于∠α,∠β,并且两角的夹边等于a.
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