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2024年数学中考三轮冲刺必考解答题20个专题专练（全国通用）
专题11 概率问题
1. （2023福建）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
【答案】（1） （2）应往袋中加入黄球，见解析
【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据列表法求分别求得加入黄球和红球概率即可求解．
【详解】（1）顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种，
所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为．
（2）他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
第二球第一球 红 黄① 黄② 黄③ 新
红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新
黄① 黄①，红 黄①，黄② 黄①，黄③ 黄①，新
黄② 黄②，红 黄②，黄① 黄②，黄③ 黄②，新
黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，黄② 黄③，新
新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③
共有种等可能结果．
（）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
（）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
因为，所以，所作他应往袋中加入黄球．
【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念，熟练掌握概率公式是解题的关键．
2. （2023湖北宜昌）“阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
书籍类别 学生人数
A文学类 24
B科幻类 m
C漫画类 16
D数理类 8
（1）本次抽查的学生人数是_________，统计表中的_________；
（2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是_________；
（3）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；
（4）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．
【答案】（1）80，32 （2） （3） （4）
【解析】【分析】（1）利用A文学类的人数除以对应的百分比即可得到本次抽查的学生人数，用抽查总人数乘以B科幻类的百分比即可得到m的值；
（2）用乘以“C漫画类”对应的百分比即可得到“C漫画类”对应的圆心角的度数；
（3）用该校共有学生数乘以抽查学生中选择“D数理类”书籍的学生的百分比即可得到该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；
（4）画出树状图，找到等可能情况总数和小文、小明选择同一社团的情况数，利用概率公式求解即可．
【详解】（1）由题意得，本次抽查的学生人数是（人），
统计表中的，
故答案为：80，32
（2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是：
，
故答案为：
（3）由题意得，（人），
即估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生为人；
（4）树状图如下：
从树状图可看出共有16种等可能的情况，小文、小明选择同一社团的情况数共有4种，
∴P（小文、小明选择同一社团）．
【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率、样本估计总体、扇形统计图等相关知识，读懂题意，熟练掌握树状图或列表法求概率和准确计算是解题的关键．
3. （2023吉林省）2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
【答案】
【解析】分别使用树状图法或列表法将甲乙两位选手抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也各有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出两次卡片相同的抽取结果，即可算出概率．
【详解】解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：
由树状图可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，
所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：
A B C
A AA BA CA
B AB BB CB
C AC BC CC
由表格可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，
所以甲、乙两位选手演讲主题人物是同一位航天员的概率．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将第一次、第二次抽取所可能发生的情况一一列出，避免遗漏．
4. （2023长春）班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．
【答案】
【解析】依题意画出树状图，运用概率公式求解即可．
画树状图如下：
共有种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有种，
则某同学获一等奖的概率为：，
答：某同学获一等奖的概率为．
【点睛】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键．
5. （2023江苏扬州）扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览．
（1）甲选择景点的概率为________；
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）利用概率计算公式求解即可；
（2）利用树状图或列表的方法，分析甲、乙至少一人选择的基本事件的个数，除以总的基本事件个数即可．
【详解】
（1）共有个景点可供选择，且选择每种景点是随机的，
甲选择景点的概率为．
（2）根据题意，列表如下：
由表格可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙至少有一人选择景点共有种等可能的结果，
甲、乙至少有一人选择景点的概率为．
【点睛】考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟练掌握相关计算方法是解题的关键．
6. （2023江苏苏州）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的结果数，进而求出概率．
【详解】（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为；
（2）如图，画树状图如下：
所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个，
∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为：．
【点睛】本题考查简单随机事件的概率计算，利用列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
7. （2023辽宁本溪）6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中）；（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图．
（1）本次抽样调查的学生共有___________名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
（4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）60 （2）见解析
（3）估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
（4）所选2人恰好是一男一女的概率为．
【解析】【分析】（1）根据A组人数以及百分比计算即可解决问题；
（2）求出C组人数，画出条形图即可解决问题；
（3）利用样本估计总体即可；
（4）先画出树状图，继而根据概率公式可求出两位参赛选手恰好是一男一女的概率．
【详解】
（1）解：（名）
答：本次抽样调查的学生共有60名；
故答案为：60；
（2）解：C组人数为：（名），
补全条形图如图所示：
；
（3）解：估计本次竞赛获得B等级的学生有：（名），
答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
（4）解：画树状图如下：
机会均等的可能有12种，其中一男一女的有8种，
故被选中的两人恰好是一男一女的概率是：
【点睛】此题考查条形统计图和扇形统计图相关联，由样本估计总体，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
8. （2023四川凉山）2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海沪山风景区（以下分别用表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若某游客随机选择四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择的概率．
【答案】（1）600人 （2）见解析 （3）
【解析】（1）用选择B景区的人数除以其人数占比即可求出参与调查的游客人数；
（2）先求出选则C景区的人数和选择A景区的人数占比，再求出选择C景区的人数占比，最后补全统计图即可；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，然后找到他第一个景区恰好选择的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）人，
∴本次参加抽样调查的游客有600人；
（2）由题意得，选择C景区的人数为人，选择A景区的人数占比为，
∴选择C景区的人数占比为
补全统计图如下：
（3）画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中他第一个景区恰好选择的结果数有3种，
∴他第一个景区恰好选择的概率为．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图和画出树状图是解题的关键．
9. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查学生共有___人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为___人．
（2）请将以上两个统计图补充完整．
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．
【答案】（1）60，300
（2）见解析 （3）
【解析】【分析】（1）根据喜欢绘画的条形统计图和扇形统计图信息即可得本次抽取调查学生的总人数，再利用3000乘以喜欢跆拳道的学生所占百分比即可得；
（2）先求出喜欢书法的学生人数，据此补全条形统计图，再求出喜欢舞蹈和跆拳道的学生所占百分比，据此补全扇形统计图即可得；
（3）先画出树状图，从而可得甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果，再找出两人恰好选择同一类的结果，然后利用概率公式计算即可得．
【小问1详解】
解：本次抽取调查学生总人数为（人），
估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为（人），
故答案为：60，300．
【小问2详解】
解：喜欢书法的学生人数人（人），
喜欢舞蹈的学生所占百分比为，
喜欢跆拳道的学生所占百分比为．
则补全两个统计图如下：
【小问3详解】
解：由题意，画树状图如下：
由图可知，甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种，
则两人恰好选择同一类概率为，
答：两人恰好选择同一类的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键．
10.（2023湖北鄂州） 为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）九（1）班共有________名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为________；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
【答案】（1）50；（2）见解析；（3）108°；（4）
【解析】【分析】（1）用B组频数除以所占百分比即可求解；
（2）用50减去A、B、C组频数，求出D组频数，即可补全折线统计图；
（3）用360°乘以D组所占百分比即可求解；
（4）列表得出所有等可能结果，根据概率公式即可求解．
【详解】（1）20÷40%=50（人），
故答案为：50；
（2）50-10-20-5=15（人），
补全折线统计图如图：
；
（3），
故答案为：；
（4）列表如下：
小明小丽 A B C D
A
B
C
D
由列表可知，一共有16种等可能的结果，他们选择相同主题的结果有4种，
所以P（相同主题）．
【点睛】本题考查了折线统计图与扇形统计图，求概率等知识，理解两幅统计图提供的公共信息是解题第（1）（2）（3）步关键，列表得出所有等可能的结果是解题第（4）步关键．
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专题11 概率问题
1. （2023福建）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
2. （2023湖北宜昌）“阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
书籍类别 学生人数
A文学类 24
B科幻类 m
C漫画类 16
D数理类 8
（1）本次抽查的学生人数是_________，统计表中的_________；
（2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是_________；
（3）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；
（4）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．
3. （2023吉林省）2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
4. （2023长春）班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．
5. （2023江苏扬州）扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览．
（1）甲选择景点的概率为________；
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率．
6. （2023江苏苏州）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
7. （2023辽宁本溪）6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中）；（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图．
（1）本次抽样调查的学生共有___________名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
（4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
8. （2023四川凉山）2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海沪山风景区（以下分别用表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若某游客随机选择四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择的概率．
9. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查学生共有___人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为___人．
（2）请将以上两个统计图补充完整．
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．
10.（2023湖北鄂州） 为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）九（1）班共有________名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为________；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
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