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2024年数学中考三轮冲刺必考解答题20个专题专练（全国通用）
专题12 三角形全等及相似问题
1. （2023福建）如图，．求证：．
2. （2023吉林省）如图，点C在线段上，在和中，．
求证：．
3. （2023江苏苏州）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
4.（2023大连） 如图，在和中，延长交于， ，．求证：．
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=AD，DG=DC，E，F分别是BG，AC的中点．
（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；
（2）连接EF，若AC=10，求EF的长．
6. （2022上海）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE =AQ·AB求证：
（1）∠CAE=∠BAF；
（2）CF·FQ=AF·BQ
7. 如图，点在线段上，，，．求证：．
8. 鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形的边的延长线相交于点F，的平分线交于点M．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
（3）求的值．
9. （2023湖南湘潭）在中，是斜边上的高．
（1）证明：；
（2）若，求的长．
10. （2023湖南邵阳）如图，，点是线段上的一点，且．已知．
（1）证明：．
（2）求线段的长．
11. 如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．
（1）求证：△DFC∽△AED；
（2）若CD＝AC，求的值．
12. 如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．
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2024年数学中考三轮冲刺必考解答题20个专题专练（全国通用）
专题12 三角形全等及相似问题
1. （2023福建）如图，．求证：．
【答案】见解析
【解析】根据已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证．
证明：，
即．
在和中，
．
【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2. （2023吉林省）如图，点C在线段上，在和中，．
求证：．
【答案】证明见解析
【解析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明．
在和中，
∴
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
3. （2023江苏苏州）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；
（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．
【详解】
（1）证明：∵为的角平分线，
∴，
由作图可得，
在和中，
，
∴；
（2）∵，为角平分线，
∴
由作图可得，
∴，
∵，为的角平分线，
∴，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
4.（2023大连） 如图，在和中，延长交于， ，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】【分析】由，，可得，证明，进而结论得证．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=AD，DG=DC，E，F分别是BG，AC的中点．
（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；
（2）连接EF，若AC=10，求EF的长．
【答案】见解析
【解析】（1）证明△BDG≌△ADC，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明；（2）根据直角三角形的性质分别求出DE、DF，根据勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△BDG和△ADC中，
，
∴△BDG≌△ADC，
∴BG=AC，∠BGD=∠C，
∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F分别是BG，AC的中点，
∴DE=BG=EG，DF=AC=AF，
∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD，
∴∠EDG+∠FDA=90°，
∴DE⊥DF；
（2）解：∵AC=10，
∴DE=DF=5，
由勾股定理得，EF==5．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6. （2022上海）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE =AQ·AB求证：
（1）∠CAE=∠BAF；
（2）CF·FQ=AF·BQ
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可；
（2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论．
【小问1详解】
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CF=BE，
∴CE=BF，
在△ACE和△ABF中，，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE=∠BAF；
【小问2详解】
证明：∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，
∵AE =AQ·AB，AC＝AB，
∴，即，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴，即CF·FQ=AF·BQ．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
7. 如图，点在线段上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】首先根据平行线的性质得到，然后证明出，最后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定．
8. 鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形的边的延长线相交于点F，的平分线交于点M．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
（3）求的值．
【答案】（1）见解析 （2） （3）
【解析】【分析】（1）根据正多边形的性质可以得到，再利用三角形的内角和以及角平分线的定义得到，再根据，可得到，进而得到结论；
（2）根据等角对等边可以得到，，再由（1）得结论得到，解方程可以求出结果；
（3）设，连接，，根据正多边形可以推导出，，则可表示出，然后求出比值．
【小问1详解】
证明：∵是正五边形，
∴，
∴，
又∵的平分线交于点M，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
小问3详解】
设，，连接，，
则根据（2）中计算可得，
∵是正五边形，
∴，
∴
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，正多边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9. （2023湖南湘潭）在中，是斜边上的高．
（1）证明：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）∵
∴，
又
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
10. （2023湖南邵阳）如图，，点是线段上的一点，且．已知．
（1）证明：．
（2）求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
11. 如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．
（1）求证：△DFC∽△AED；
（2）若CD＝AC，求的值．
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：∵DF∥AB，DE∥BC，
∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，
∴∠DFC＝∠AED，
又∵DE∥BC，
∴∠DCF＝∠ADE，
∴△DFC∽△AED；
（2）∵CD＝AC，
∴＝
由（1）知△DFC和△AED的相似比为：＝，
故：＝（）2＝（）2＝．
12. 如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．
【答案】见解析。
【解析】（1）由两角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEC；
（2）由相似三角形的性质可得＝()2＝，即可求解．
证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD．
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC；
（2）∵△ABC∽△DEC；
∴＝()2＝，
又∵BC＝6，
∴CE＝9．
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