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2024年数学中考三轮冲刺必考解答题20个专题专练（全国通用）
专题16 圆的证明与求值问题
1. （2023福建）如图，已知内接于的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】【分析】（1）由切线的性质可得，由圆周角定理可得，即，再根据平行线的性质可得，则根据角的和差可得，最后根据平行线的判定定理即可解答；
（2）由圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，进而得到，再结合得到即可证明结论．
【详解】（1）证明是的切线，
，即．
是的直径，
．
∴．
，
，
，即，
．
（2）与都是所对的圆周角，
．
，
，
．
由（1）知，
，
平分．
【点睛】本题主要考查角平分线、平行线的判定与性质、圆周角定理、切线的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．
2.（2023甘肃兰州） 如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）是等腰三角形，理由见解析 （3）
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，根据已知得出，根据得出，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得，即可得证；
（2）根据题意得出，则，证明，得出，等量代换得出，即可得出结论；
（3）根据，，设，则，等边对等角得出，则．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
即，又是的直径，
∴是的切线；
（2）∵，是的直径，
∴，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴是等腰三角形，
（3）∵，，
设，则，
∴，
∴．
【点睛】考查切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3.（2023贵州省） 如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．
（1）写出图中一个度数为的角：_______，图中与全等的三角形是_______；
（2）求证：；
（3）连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）、、、；；
（2）证明见详解； （3）四边形是菱形；
【解析】【分析】（1）根据外接圆得到是的角平分线，即可得到的角，根据垂径定理得到，即可得到答案；
（2）根据（1）得到，根据垂径定理得到，即可得到证明；
（3）连接，，结合得到 ，是等边三角形，从而得到，即可得到证明；
【详解】（1）∵是等边三角形的外接圆，
∴是的角平分线，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴的角有：、、、，
∵是的角平分线，
∴，，
在与中，
∵，
∴，
故答案为：、、、，；
（2）证明：∵，，
∴；
（3）连接，，
∵，，
∴ ，是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系．
4. （2023湖北宜昌）如图1，已知是的直径，是的切线，交于点，．
（1）填空：的度数是_________，的长为_________；
（2）求的面积；
（3）如图2，，垂足为．是上一点，．延长，与，的延长线分别交于点，求的值．
【答案】（1），5； （2） （3）
【解析】【分析】（1）根据切线性质和勾股定理分别求解即可；
（2）由面积法求出，再利用勾股定理求，则的面积可求；
（3）先证明，得到，利用，分别得到，进而计算，，在分别求出则问题可解；
【详解】（1）∵是的直径，是的切线，
∴的度数是；
∵，
∴；
故答案为：，5；
（2）如图，
∵是的直径，
∴，
，
∴由面积法，
∴
，
；
（3）方法一：如图，
由
∴
∴
∴
∴
∴
设
是等腰直角三角形，
，
等腰直角三角形
，
∴，
∴，
，
，
，
．
方法二：如图
由
设
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，，
．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质和相似三角形的性质和判定，解答关键是根据条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质解答问题．
5.（2023武汉） 如图，都是的半径，．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论；
（2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
（2）过点作半径于点，则，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半径是．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．
6. （2023湖南株洲）如图所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足．
（1）求证：直线直线；
（2）若；
①求证：；
②若，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析； （2）①见解析，②．
【解析】【分析】（1）在中，根据同弧所对的圆周角相等可得，结合已知在中根据三角形内角和定理可求得；
（2）①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得，由直径所对的圆周角是直角和（1）可得，结合已知即可证得；
②在中由，可得，结合题意易证，在中由勾股定理可求得，由①可知易得，最后代入计算即可求得周长．
【详解】（1）证明：在中，
，
，即，
在中，
，
，
即直线直线；
（2）①四边形是半径为R的的内接四边形，
，
，
，
是的直径，
，
由（1）可知，
，
在与中，
，
，
②在中，，
，
是的直径，
，
，
，
，
在中，
，
即，
解得：，
由①可知，
，
，
四边形的周长为：
．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解．
7.（2023江苏扬州） 如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为3，求的长．
【答案】（1）直线与相切，理由见解析 （2）6
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出与相切；
（2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可．
【详解】
（1）直线与相切，理由如下：
连接，则：，
∵，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴直线与相切；
（2）∵，的半径为3，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设：，
则：，
∴，
∴．
【点睛】考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键．
8.（2023江苏苏州） 如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】【分析】（1）分别证明，，从而可得结论；
（2）求解，，可得，证明，设，则，，证明，可得，可得，，，从而可得答案．
【详解】
（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键．
9. （2023辽宁本溪）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．
（1）求证：EF与相切；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立；
（2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解．
【详解】
（1）证明：连接，
∵，∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴EF与相切；
（2）解：设半径为x，则，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
∴半径为4，则，
在中，，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
10．（2021四川自贡）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．
（1）求证：∠DAE＝∠DAC；
（2）求证：DF AC＝AD DC；
（3）若sin∠C＝，AD＝4，求EF的长．
【解析】（1）连接OD，证明AE∥OD，推出∠EAD＝∠ADO，再证明∠ADO＝∠OAD即可解决问题．
（2）如图，连接BF．证明△DAF∽△CAD，可得结论．
（3）过点D作DH⊥AC于H．由sin∠C＝＝，假设OD＝k，OC＝4k，则OA＝OD＝k，CD＝k，在Rt△ADH中，利用勾股定理求出k，再利用（2）中结论求出DF，再根据sin∠EDF＝sin∠DAH，推出＝，可得结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OD．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥EC，
∵AE⊥CE，
∴AE∥OD，
∴∠EAD＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠DAC．
（2）证明：如图，连接BF．
∵BF是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵AE⊥EC，
∴∠AFB＝∠E＝90°，
∴BF∥EC，
∴∠ABF＝∠C，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠DAF＝∠DAC，
∴△DAF∽△CAD，
∴＝，
∴DF AC＝AD DC．
（3）解：过点D作DH⊥AC于H．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，
∵sin∠C＝＝，
∴可以假设OD＝k，OC＝4k，则OA＝OD＝k，CD＝k，
∵ OD DC＝ OC DH，
∴DH＝k，
∴OH＝＝k，
∴AH＝OA+OH＝k，
∵AD2＝AH2+DH2，
∴（4）2＝（k）2+（k）2
∴k＝8或﹣8（舍弃），
∴DH＝2，AC＝5k＝40，DC＝8，
∵DF AC＝AD DC，
∴DF＝4，
∵∠ADE＝∠DAC+∠C＝∠ADF+∠EDF，∠ADF＝∠C，
∴∠EDF＝∠DAC，
∴sin∠EDF＝sin∠DAH，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝6．
11.（2023湖北鄂州） 如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径长．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】【分析】（1）连接，根据弦、弧、圆周角的关系可证，根据圆的性质得，证明，得到，根据切线的判定定理证明；
（2）连接，，根据勾股定理得到的长，根据等弧对等弦得到，根据圆内接四边形对角互补得，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∵为半径，
∴为切线；
（2）连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径长为．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
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专题16 圆的证明与求值问题
1. （2023福建）如图，已知内接于的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：平分．
2.（2023甘肃兰州） 如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）当时，求的长．
3.（2023贵州省） 如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．
（1）写出图中一个度数为的角：_______，图中与全等的三角形是_______；
（2）求证：；
（3）连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
4. （2023湖北宜昌）如图1，已知是的直径，是的切线，交于点，．
（1）填空：的度数是_________，的长为_________；
（2）求的面积；
（3）如图2，，垂足为．是上一点，．延长，与，的延长线分别交于点，求的值．
5.（2023武汉） 如图，都是的半径，．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
6. （2023湖南株洲）如图所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足．
（1）求证：直线直线；
（2）若；
①求证：；
②若，求四边形的周长．
7.（2023江苏扬州） 如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为3，求的长．
8.（2023江苏苏州） 如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
9. （2023辽宁本溪）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．
（1）求证：EF与相切；
（2）若，求的长．
10．（2021四川自贡）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．
（1）求证：∠DAE＝∠DAC；
（2）求证：DF AC＝AD DC；
（3）若sin∠C＝，AD＝4，求EF的长．
11.（2023湖北鄂州） 如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径长．
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