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2024年数学中考三轮冲刺必考解答题20个专题专练（全国通用）
专题18 二次函数的综合问题
1. （2023福建）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若，且，求证：三点共线；
（3）小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
2. （2023甘肃兰州）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
3. （2023深圳）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
（1）如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
（3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
4.（2023贵州省）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围．
5.（2023龙东） 如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6. （2023武汉）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．
（1）直接写出三点的坐标；
（2）如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值；
（3）如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
7. （2023湖南株洲）已知二次函数．
（1）若，且该二次函数的图像过点，求的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图像与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，．
①求证：．
②当点在线段上，且．的半径长为线段的长度的倍，若，求的值．
8. （2023重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年数学中考三轮冲刺必考解答题20个专题专练（全国通用）
专题18 二次函数的综合问题
1. （2023福建）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若，且，求证：三点共线；
（3）小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【答案】（1） （2）见解析 （3）面积为定值，其面积为2
【解析】【分析】（1）将代入，即可解得；
（2），中点为，且，可求出过两点所在直线的一次函数表达式，为抛物线上的一点，所以，此点在，可证得三点共线；
（3）设与分别关于直线对称，则关于直线对称，且与的面积不相等，所以的面积不为定值；如图，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；故的面积为定值，由（2）求出，此时的面积为2．
【详解】（1）解：因为抛物线经过点，
所以
解得
所以抛物线的函数表达式为；
（2）解：
设直线对应的函数表达式为，
因为为中点，所以．
又因为，所以，解得，
所以直线对应的函数表达式为．
因为点在抛物线上，所以．
解得，或．
又因为，所以．
所以．
因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即三点共线；
（3）解：的面积为定值，其面积为2．
理由如下：（考生不必写出下列理由）
如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线．设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，所以的面积不为定值．
如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值．
又因为中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值．
在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为，求得，此时的面积为2．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键．
2. （2023甘肃兰州）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
【答案】（1）y关于x的函数表达式为；
（2）运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．
【解析】【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解；
（2）令，解方程即可求解．
【详解】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，
设抛物线的表达式为，
∴，解得，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）令，则，
解得（负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
3. （2023深圳）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
（1）如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
（3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．
【详解】（1）∵抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
∵四边形为矩形，为的中垂线，
∴，，
∵，
∴点，代入，得：
，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵四边形，四边形均正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，
∴，
∴，
∵，当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
（3）∵，垂直平分，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点平行于的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：，
则：，解得：；
∴，当时，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
4.（2023贵州省）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围．
【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解；
（2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可；
（3）分和两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解．
【详解】（1）抛物线的对称轴与y轴重合，
设抛物线的解析式为，
，，
，，
将，代入，得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2） 抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1，
当时，，
，
作点B关于y轴的对称点，
则，，
，
当，，A共线时，拉杆长度之和最短，
设直线解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点坐标为，位置如下图所示：
（3）中，
抛物线开口向下，
当时，
在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，
解得，
；
当时，
在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，
解得，
；
综上可知，或，
的取值范围为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨论．
5.（2023龙东） 如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，点的坐标为或
【解析】【分析】（1）采用待定系数法，将点和点坐标直接代入抛物线，即可求得抛物线的解析式．
（2）过线段的中点，且与平行的直线上的点与点，点连线组成的三角形的面积都等于，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求得答案．
【详解】（1）因为抛物线经过点 和点两点，所以
，
解得
，
所以抛物线解析式为：．
（2）如图，设线段的中点为，可知点的坐标为，过点作与平行的直线，假设与抛物线交于点， （在的左边），（在图中未能显示）．
设直线的函数解析式为．
因为直线经过点和，所以
，
解得，
所以，直线的函数解析式为：．
又，
可设直线的函数解析式为，
因为直线经过点 ，所以
．
解得．
所以，直线的函数解析式为．
根据题意可知，
．
又，
所以，直线上任意一点与点，点连线组成的的面积都满足．
所以，直线与抛物线的交点，即为所求，可得
，
化简，得
，
解得，
所以，点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：存在，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、一元二次方程、一元一次方程等，灵活结合二次函数和一次函数图象特点是解题的关键．
6. （2023武汉）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．
（1）直接写出三点的坐标；
（2）如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值；
（3）如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）的值为2或 （3）点在定直线上
【解析】【分析】（1）令，解一元二次方程求出值可得、两点的坐标，令求出值可得点坐标，即可得答案；
（2）分和两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求出值即可得答案；
（3）根据平移的性质可得解析式，联立直线与解析式可得点坐标，即可得出中点的坐标，设，利用待定系数法可得直线的解析式为，同理得出直线的解析式为，联立两直线解析式可得，设点在直线上，把点代入，整理比较系数即可得出、的值即可得答案，也可根据点的纵坐标变形得出横坐标与纵坐标的关系，得出答案．
【详解】（1）∵抛物线解析式为，
∴当时，，当时，，
解得：，，
∴，，．
（2）是直线与抛物线的交点，
，
①如图，若时，
，
∴
，
∴，
解得，（舍去）或．
②如图，若时．过作轴于点．
，
∴，
∴，
，
，
∴
，
∴，，
，
∴，
解得，（舍去）或．
综上，符合题意的的值为2或．
（3）∵将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点，
∴，
∵直线的解析式为，
∴联立直线与解析式得：，
解得：（舍去），，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
设，直线的解析式为，
则，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴
同理，直线的解析式为；直线的解析式为．
联立，得，
解得：．
∵直线与相交于点，
．
设点直线上，则，①
整理得，，
比较系数得：，
解得：，
∴当时，无论为何值时，等式①恒成立．
∴点在定直线上．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合、二次函数图象的平移及相似三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握待定系数法求函数解析式及相似三角形的性质是解题关键．
7. （2023湖南株洲）已知二次函数．
（1）若，且该二次函数的图像过点，求的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图像与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，．
①求证：．
②当点在线段上，且．的半径长为线段的长度的倍，若，求的值．
【答案】（1） （2）①见解析；②
【解析】【分析】（1）依题意得出二次函数解析式为，该二次函数的图像过点，代入即可求解；
（2）①证明，根据相似三角形的性质即可求解；
②根据题意可得，，由①可得，进而得出，由已知可得，根据一元二次方程根与系数的关系，可得，将代入，解关于的方程，进而得出，可得对称轴为直线，即可求解．
【详解】（1）∵，
∴二次函数解析式为，
∵该二次函数的图像过点，
∴
解得：；
（2）①∵，，
∴
∴
∴
∵
∴；
②∵该二次函数的图像与轴交于点，且，
∴，，
∵．
∴，
∵的半径长为线段的长度的倍
∴，
∵，
∴，
∴，
即①，
∵该二次函数的图像与轴交于点，
∴是方程的两个根，
∴，
∵，，
∴，
即②，
①代入②，即，
即，
整理得，
∴，
解得：（正值舍去）
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8. （2023重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
【答案】（1）
（2）取得最大值为，
（3）点的坐标为或或．
【解析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到，，勾股定理分别表示出，进而分类讨论即可求解．
【详解】（1）将点，．代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
（2）∵与轴交于点，，
当时，
解得：，
∴,
∵．
设直线的解析式为，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作轴于点，交于点，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，，
∴；
【小问3详解】
∵抛物线
将该抛物线向右平移个单位，得到，对称轴为直线，
点向右平移5个单位得到
∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则，
∴,
∴
∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．
则点的横坐标为，
设，
∴，，
当时，，
解得：或，
当时，，
解得：
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
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