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2024年数学中考三轮冲刺必考解答题20个专题专练（全国通用）
专题04 解各类方程（组）问题
1. 解方程：2x-(x+10)=5x+2(x-1)
【答案】x=-4/3
【解析】去括号，得2x-x-10=5x+2x-2
移项，得2x-x-5x-2x=-2+10
合并同类项，得-6x=8
系数化为1，得x=-4/3
2. 解方程：x1．
【答案】见解析。
【解析】根据解一元一次方程的步骤解答即可．
去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），
去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，
移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，
合并同类项，得：﹣x＝﹣2，
系数化为1，得：x＝2．
3. 解方程组：．
【答案】见解析。
【解析】运用加减消元解答即可．
，
②﹣①得，4y＝2，解得y＝2，
把y＝2代入①得，x﹣2＝1，解得x＝3，
故原方程组的解为．
4．解方程组：
【答案】方程组的解为．
【解析】原方程组可化为，
①×4﹣②×3，得
7x=42，
解得x=6．
把x=6代入①，得y=4．
所以方程组的解为．
5．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．
（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
（2）求出原方程组的正确解．
【答案】见解析。
【解析】（1）把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可；
把代入方程组，
得，
解得：．
把代入方程组，
得，
解得：．
∴甲把a看成﹣5；乙把b看成6；
（2）把甲乙所求的解分别代入方程②和①，求出正确的a、b，然后用适当的方法解方程组
∵正确的a是﹣2，b是8，
∴方程组为，
解得：x=15，y=8．
则原方程组的解是．
6. 解分式方程：．
【答案】
【解析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
去分母得，
移项，合并得，
检验：当时，，
所以原分式方程的解为．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
7. 解下列关于x的分式方程：
【解析】局部通分得
去分母，得x2－7x＋10=x2－9x＋18，故x=4
经检验知x=4是原方程的解．
8. 解下列关于x的分式方程组：
【解析】设，则原方程组可化为
解得，∴解得
经检验为原方程组的解．
9.（2023齐齐哈尔） 解方程：．
【答案】，
【解析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．
∴或
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．
10．解方程：x2+6x＝﹣7
【答案】x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
【解析】方程两边都加上9，配成完全平方式，再两边开方即可得．
∵x2+6x＝﹣7，
∴x2+6x+9＝﹣7+9，即（x+3）2＝2，
则x+3＝±，
∴x＝﹣3±，
即x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
11. 解方程：．
【答案】，
【解析】先移项再利用因式分解法解方程即可．
∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，解题的关键是找准公因式．
12. 解方程：
【答案】，
【解析】直接开方可得或，然后计算求解即可．
∵
∴或
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
13. 解方程：
【答案】x=0
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
去分母得： 解得x=0，
经检验x=0是分式方程的解；
【点睛】本题考查了解分式方程与解不等式组，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解一元一次不等式组要注意不等号的变化．
14. （1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x 1=0；②x2 3x=0；③x2 4x=4；④x2 4=0．
【答案】（1）＜，＜；（2）①x1=-1+，x2=-1-；②x1=0，x2=3；③x1=2+，x2=2-；④x1=-2，x2=2．
【解析】（1）由题意可知：a＜0，b＞0，
∴a＜b，ab＜0；
故答案为：＜，＜；
（2）①x2+2x 1=0；
移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
则x+1=±，
∴x1=-1+，x2=-1-；
②x2 3x=0；
因式分解得x(x-3)=0，
则x=0或x-3=0，
解得x1=0，x2=3；
③x2 4x=4；
配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，
则x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-；
④x2 4=0．
因式分解得(x+2) (x-2)=0，
则x+2=0或x-2=0，
解得x1=-2，x2=2．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．还考查了实数与数轴．
15．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组则x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ．
【答案】见解析。
【解析】（1）．
由①﹣②可得：x﹣y＝﹣1，
由（①+②）可得：x+y＝5．
故答案为：﹣1；5．
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
依题意，得：，
由2×①﹣②可得m+n+p＝6，
∴5m+5n+5p＝5×6＝30．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
（3）依题意，得：，
由3×①﹣2×②可得：a+b+c＝﹣11，
即1*1＝﹣11．
故答案为：﹣11．
16．解方程组：．
【答案】．
【解析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
方程组整理得：，
①×15+②×2得：49x＝﹣294，
解得：x＝﹣6，
把x＝﹣6代入②得：y＝1，
则方程组的解为．
17．解方程：﹣＝1．
【答案】见解析。
【解析】观察可得方程最简公分母为：（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得
（x+5）2﹣4＝（x+8）（x﹣1），
整理得2x﹣2＝0，
解得x＝1．
检验：当x＝8时，（x+1）（x﹣1）＝8，
所以x＝1是增根，应舍去．
∴原方程无解．
18.解方程．
【答案】
【解析】利用直接开平方法解方程.
，
∴，
故答案为：.
【点睛】此题考查一元二次方程的解法：直接开平方法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.
20. 小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6． 小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【解析】小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况；
小霞：提取公因式时出现了错误．
利用因式分解法解方程即可．
小敏：×；
小霞：×．
正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
1．（2020常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n
＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）
＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）
＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解．
【答案】x＝2或x＝﹣1或x＝﹣1．
【解析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．
∵x3﹣5x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝﹣1，
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2024年数学中考三轮冲刺必考解答题20个专题专练（全国通用）
专题04 解各类方程（组）问题
1. 解方程：2x-(x+10)=5x+2(x-1)
2. 解方程：x1．
3. 解方程组：．
4．解方程组：
5．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．
（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
（2）求出原方程组的正确解．
6. 解分式方程：．
7. 解下列关于x的分式方程：
8. 解下列关于x的分式方程组：
9.（2023齐齐哈尔） 解方程：．
10．解方程：x2+6x＝﹣7
11. 解方程：．
12. 解方程：
13. 解方程：
14. （1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x 1=0；②x2 3x=0；③x2 4x=4；④x2 4=0．
15．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组则x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ．
方程组：．
17．解方程：﹣＝1．
18.解方程．
20. 小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6． 小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
1．（2020常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n
＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）
＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）
＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解．
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