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2024年数学中考三轮冲刺必考解答题20个专题专练（全国通用）
专题07 数字式子图形等规律探索问题
1. 探求规律性问题
观察下列图形：
它们是按一定规律排列的．
(1)依照此规律，第20个图形共有几个五角星？
(2)摆成第n个图案需要几个五角星？
(3)摆成第2015个图案需要几个五角星？
【答案】见解析。
【解析】此题首先要结合图形具体数出几个值．注意由特殊到一般的分析方法．此题的规律为摆成第n个图案需要3n枚五角星．通过观察已知图形可得每个图形都比其前一个图形多3个五角星，根据此规律即可解答．
(1)根据题意得∵第1个图中，五角星有3个(3×1)；第2个图中，有五角星6个(3×2)；第3个图中，有五角星9个(3×3)；第4个图中，有五角星12个(3×4)；∴第n个图中有五角星3n个．∴第20个图中五角星有3×20＝60个．
(2)由(1)可知，摆成第n个图案需要3n个五角星．
(3)摆成第2015个图案需要五角星2015×3＝6045(个)．
2. （2023湖南张家界）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当，时，______，______；
（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当，时，令，，，…，，且，求T的值．
【答案】（1），
（2）猜想结论：，证明见解析
（3）
【解析】【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
【详解】（1）解：
当，时，
原式；
当，时，
原式；
（2）猜想结论：
证明：
；
（3）
．
【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．
3.【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝ ；
【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．
①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝ ；当n＝5，m＝ 时，y＝9；
②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝ （用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
【答案】见解析。
【解析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．
（2）由图可知n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．
（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论．
【解答】（1）有三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2．
直角梯形的面积为（a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2．
（2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1．
由图形可知：n2＝1+3+5+7+…+2n﹣1．
故答案为1+3+5+7+…+2n﹣1．
（3）①如图4，当n＝4，m＝2时，y＝6，
如图5，当n＝5，m＝3时，y＝9．
②方法1．对于一般的情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得y＝n+2（m﹣1）．
方法2．以△ABC的二个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点，可把△ABC分割成3+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成4+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成n+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故可得y＝n+2（m﹣1）．
故答案为：①6，3；②n+2（m﹣1）．
【点评】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．
4．阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018①
则2S＝2+22+…+22018+22019②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1
∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29＝ ；
（2）3+32+…+310＝ ；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
【答案】（1）210﹣1（2）（3）
【解析】（1）设S＝1+2+22+…+29①
则2S＝2+22+…+210②
②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1
∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；
故答案为：210﹣1
（2）设S＝1+3+32+33+34+…+310 ①，
则3S＝3+32+33+34+35+…+311 ②，
②﹣①得2S＝311﹣1，
所以S＝，
即1+3+32+33+34+…+310＝；
故答案为：；
（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①，
则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，
②﹣①得：（a﹣1）S＝an+1﹣1，
所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+..+an＝
5. 对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵，∴214不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A．
【答案】（1）357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析
（2）数A可能为732或372或516或156
【解析】【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；
（2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出，根据，是最大的两位数，是最小的两位数，得出，（k为整数），结合得出，根据已知条件得出，从而得出或，然后进行分类讨论即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴357不是15“和倍数”；
∵，
∴441是9的“和倍数”．
【小问2详解】
∵三位数A是12的“和倍数”，
∴，
∵，
∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数，最小的两位数，
∴，
∵为整数，
设（k为整数），
则，
整理得：，
根据得：，
∵，
∴，解得，
∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，
∴，
∴，
∴，
把代入得：
，
整理得：，
∵，k为整数，
∴或，
当时，，
∵，
∴，，
，，，或，，，
要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数，
当，，时，组成的三位数为或，
∵，
∴是12的“和倍数”，
∵，
∴是12的“和倍数”；
当，，时，组成的三位数为或，
∵，
∴不是12的“和倍数”，
∵，
∴不是12的“和倍数”；
当时，，
∵，
∴，
，，，组成的三位数为516或156，
∵，
∴是12的“和倍数”，
∵，
∴是12的“和倍数”；
综上分析可知，数A可能为732或372或516或156．
【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性，是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度．
6．如图，直线l：y＝﹣x﹣与x轴交于点B1，以OB1为边向上作等边△AOB1过点A1作A1B2平行于x轴，交直线1于点B2以A1B2为边向上作等边△A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边向上作等边△A3A2B3，…，求点An的坐标（用含正整数n的代数式表示）
【答案】An（﹣，×）．
【解析】根据题意可得直线l与x轴成30°，OB1＝1，可得OA1＝1，A1A2＝2，A3A2＝4，可推出AnAn﹣1的长，可求OAn，根据锐角三角函数可求An坐标．
如图
∵y＝﹣x﹣与x轴交于点B1
∴当y＝0时，0＝﹣x﹣，
∴x＝﹣1
∴B1（﹣1，0）即B1O＝1
∵y＝﹣x﹣与y轴交于D
当x＝0，y＝﹣，
∴D（0，﹣）
∵tan∠OB1D＝，∴∠OB1D＝30°
∵等边三角形A1OB1，
∴A1O＝1，∠A1OB1＝60°＝∠A1B1O
∴∠B2B1A1＝90°，∠A1OC1＝30°
∵A1B2∥x轴,∴A1B2＝2A1B1＝2＝21．
同理A3A2＝4＝（2）2．
∴等边三角形AnAn﹣1Bn的边长为2 n﹣1．
延长B2A1交y轴于C1，延长B2A1交y轴于C1，延长B2A1交y轴于C1，…
∴A1C1⊥y轴，A2C2⊥y轴，…A2018C2018⊥y轴
∵OAn＝OA1+A1A2+A2A3+…+AnAn﹣1＝1+2+22+23+…+2n﹣1．
∴2OAn＝2+22+23+…+2n﹣1+2n．
∴OAn＝2n﹣1
∵∠A1OC1＝30°
∴An n＝＝，O n＝An n＝×，
∴An（﹣，×）
故答案为An（﹣，×）．
7. 阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018①
则2S＝2+22+…+22018+22019②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1
∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29＝ ；
（2）3+32+…+310＝ ；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
【答案】见解析。
【分析】（1）利用题中的方法设S＝1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S＝2+22+…+29，然后把两式相减计算出S即可；
（2）利用题中的方法设S＝1+3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S＝3+32+33+34+35+…+311 ，然后把两式相减计算出S即可；
（3）利用（2）的方法计算．
解：（1）设S＝1+2+22+…+29①
则2S＝2+22+…+210②
②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1
∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；
故答案为：210﹣1
（2）设S＝1+3+32+33+34+…+310 ①，
则3S＝3+32+33+34+35+…+311 ②，
②﹣①得2S＝311﹣1，
所以S＝，
即1+3+32+33+34+…+310＝；
故答案为：；
（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①，
则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，
②﹣①得：（a﹣1）S＝an+1﹣1，
所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+..+an＝，
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．
8．阅读理解并回答问题．
（1）观察下列各式：
==﹣，==﹣，==﹣，==﹣，==﹣，…
请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含x（x表示整数）的等式表示出来= ．
（2）请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）+++…++
（3）请利用上述规律，解方程
++++=
【答案】见解析。
【解析】（1）==﹣，==﹣，==﹣，==﹣，==﹣，…则=﹣．
=﹣．
（2）将+++…++变形为﹣+﹣+﹣…+﹣+﹣是解题的关键．
+++…++
=﹣+﹣+﹣…+﹣+﹣
=1﹣
=．
（3）根据（1）的规律原方程变形为﹣=是解题的关键．
++++=
则﹣=
两边同时乘以（x﹣4）（x+1），得
x+1﹣（x﹣4）=x﹣4
解得x=9
经检验x=9是原方程的解．
点评：通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为=﹣．
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2024年数学中考三轮冲刺必考解答题20个专题专练（全国通用）
专题07 数字式子图形等规律探索问题
1. 探求规律性问题
观察下列图形：
它们是按一定规律排列的．
(1)依照此规律，第20个图形共有几个五角星？
(2)摆成第n个图案需要几个五角星？
(3)摆成第2015个图案需要几个五角星？
2. （2023湖南张家界）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当，时，______，______；
（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当，时，令，，，…，，且，求T的值．
3.【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝ ；
【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．
①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝ ；当n＝5，m＝ 时，y＝9；
②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝ （用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
4．阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018①
则2S＝2+22+…+22018+22019②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1
∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29＝ ；
（2）3+32+…+310＝ ；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
5. 对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵，∴214不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A．
6．如图，直线l：y＝﹣x﹣与x轴交于点B1，以OB1为边向上作等边△AOB1过点A1作A1B2平行于x轴，交直线1于点B2以A1B2为边向上作等边△A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边向上作等边△A3A2B3，…，求点An的坐标（用含正整数n的代数式表示）
7. 阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018①
则2S＝2+22+…+22018+22019②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1
∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29＝ ；
（2）3+32+…+310＝ ；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
8．阅读理解并回答问题．
（1）观察下列各式：
==﹣，==﹣，==﹣，==﹣，==﹣，…
请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含x（x表示整数）的等式表示出来= ．
（2）请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）+++…++
（3）请利用上述规律，解方程
++++=
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