6.4.3余弦定理、正弦定理(五)学案

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名称 6.4.3余弦定理、正弦定理(五)学案
格式 doc
文件大小 1.5MB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-04-03 23:47:47

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文档简介

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6.4.3余弦定理、正弦定理(五)
余弦定理、正弦定理应用举例
班级 姓名
学习目标
1.能将实际问题转化为解三角形问题.
2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题.
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
公式默写 1、正弦定理(1)正弦定理: = = =2R(R是三角形外接圆的半径).(2)正弦定理的其他形式①a= ,b= ,c= ;②sinA= ,sinB= ,sinC= ;③a∶b∶c= .2、余弦定理(1)余弦定理:a2= ,b2= ,c2= .(2)余弦定理推论:cosA= ,cosB= ,cosC= .
阅读教材,完成右边的内容 实际测量中的有关名称、术语名称定义图示仰角在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°)方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
测量距离问题 例1、(1)如下左图,A,B两地之间隔着一个山岗,现选择另一点C,测得CA=10 km,CB=10 km,角C=60°,则A,B两点之间的距离为________km.(2)如图在相距2千米的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为________千米.(3)如下右图,为测量河对岸A,B两点间的距离,沿河岸选取相距40米的C,D两点,测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则A,B两点之间的距离是
测量高度问题 例2、(1)如图,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10 m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于 (2)某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°,沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处,又测得山顶的仰角为65°,则山的高度约为________m.(取=1.41,sin 35°=0.57,精确到1 m)
角度问题 例3、在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/时的速度,从B处向北偏东30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.例4、甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处,乙船以每小时a海里的速度向北行驶,已知甲船的速度是每小时a海里,问甲船应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇?
课后作业
一、基础训练题
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4 m,∠A=30°,则其跨度AB的长为(  )
A.12 m    B.8 m   
C.3 m    D.4 m
2.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为(  )
A. n mile/h B.34 n mile/h
C. n mile/h D.34 n mile/h
3.我舰在敌岛A处南偏西50°的B处,且A,B距离为12海里,发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行,若我舰要用2小时追上敌舰,则速度大小为(  )
A.28海里/时 B.14海里/时
C.14海里/时 D.20海里/时
4.在某个位置测得某山峰仰角为θ,迎着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ,继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4θ,则该山峰的高度为(  )
A.200 m B.300 m
C.400 m D.100 m
5.有一个长为1千米的斜坡,它的倾斜角为75°,现要将其倾斜角改为30°,则坡底要伸长________千米.
6.在地面上点D处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°,已知建筑物底部高出地面D点20 m,则建筑物高度为________ m.
7.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于________ m.(用四舍五入法将结果精确到个位.
参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,≈1.73)
8.一次机器人足球比赛中,甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动,到达点B时,发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动,如图所示,已知AB=4 dm,AD=17 dm,∠BAC=45°,若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在距A点________ dm的C处截住足球.
9.如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=1 km,求点B,D间的距离.
二、综合训练题
10.如图,某建筑物的高度BC=300m,一架无人机Q(无人机的大小忽略不计)上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°,地面某处A的俯角为45°,且∠BAC=60°,则此无人机距离地面的高度PQ为(  )
A.100 m B.200 m
C.300 m D.400 m
11.(多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为12 n mile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°,则下列说法正确的是(  )
A.A处与D处之间的距离是24 n mile
B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile
C.灯塔C在D处的西偏南60°
D.D在灯塔B的北偏西30°
三、能力提升题
12.如图,为了测量B,C两点间的距离,选取同一平面上的A,D两点,已知∠ADC=90°,∠A=60°,AB=2,BD=2,DC=4,则BC的长为(  )
A.4 B.5
C.6 D.7
13.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,B城市处于危险区内的时间为________小时.
6.4.3余弦定理、正弦定理(五)
参考答案
例1、(1)【答案】10
【解析】由余弦定理,得AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C
=(10)2+102-2×10×10×=800-100.
∴AB=10.
(2)【答案】
【解析】由题意知C=180°-A-B=45°,
由正弦定理得=,∴AC=×=(千米).
(3)【答案】D
【解析】在△BCD中,∠BDC=60°+30°=90°,∠BCD=45°,
∴∠CBD=90°-45°=∠BCD,∴BD=CD=40,BC==40.
在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=60°+45°=105°,
∴∠CAD=180°-(30°+105°)=45°,
由正弦定理,得AC==20.
在△ABC中,由余弦定理,得
AB2=BC2+AC2-2BC×AC×cos∠BCA=(40)2+(20)2-2×40×20cos 60°=2 400,
∴AB=20,
故A,B两点之间的距离为20 米.
例2、(1)【答案】D
【解析】方法一:设AB=x m,则BC=x m.∴BD=(10+x)m.
∴tan∠ADB===.解得x=5(+1)m.
∴A点离地面的高AB等于5(+1)m.
方法二:∵∠ACB=45°,∴∠ACD=135°,
∴∠CAD=180°-135°-30°=15°.
由正弦定理,得AC=·sin∠ADC=·sin 30°=(m).
∴AB=ACsin 45°=5(+1)(m).
(2)【答案】804
【解析】如图,过点D作DE∥AC交BC于点E,
因为∠DAC=20°,所以∠ADE=160°,
于是∠ADB=360°-160°-65°=135°.
又∠BAD=35°-20°=15°,所以∠ABD=30°.
在△ABD中,由正弦定理,
得AB===1 000(m).
在Rt△ABC中,BC=ABsin 35°≈804(m).
所以山的高度约为804 m. 
例3、【解】如图,设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,
则CD=10t,BD=10t,在△ABC中,由余弦定理,有
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=(-1)2+22-2(-1)×2cos 120°=6,
∴BC=.又∵=,
∴sin∠ABC===,
又∵∠ABC∈(0°,60°),∴∠ABC=45°,
∴B点在C点的正东方向上,∴∠CBD=90°+30°=120°,
在△BCD中,由正弦定理得=,
∴sin∠BCD===.
又∵∠BCD∈(0°,60°),∴∠BCD=30°,
∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,
∴∠D=30°,∴BD=BC,即10t=,
∴t=小时≈15分钟.
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.
例4、【解】 如图,设经过t小时两船在C点相遇,
则在△ABC中,BC=at海里,AC=at海里,B=90°+30°=120°,
由=,得sin∠CAB====,
∵0°<∠CAB<60°,∴∠CAB=30°,∴∠DAC=60°-30°=30°,
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船相遇.
1、【答案】D
【解析】由题意知,∠A=∠B=30°,所以∠C=180°-30°-30°=120°,
由正弦定理得,=,即AB===4m.
2、【答案】A
【解析】如图所示,在△PMN中,=,
∴MN==34,∴v== n mile/h.
3、【答案】B
【解析】如图,设我舰在C处追上敌舰,速度为v,
在△ABC中,AC=10×2=20 海里,
AB=12海里,∠BAC=120°,
∴BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°=784,
∴BC=28海里,∴v=14海里/小时.
4、【答案】B
【解析】如图,△BED,△BDC为等腰三角形,
BD=ED=600 m,BC=DC=200 m.
在△BCD中,由余弦定理可得
cos 2θ==,
∵0°<2θ<90°,∴2θ=30°,4θ=60°.
在Rt△ABC中,AB=BCsin 4θ=200×=300(m).
5、【答案】
【解析】如图,∠BAO=75°,∠C=30°,AB=1,
∴∠ABC=∠BAO-∠BCA=75°-30°=45°.
在△ABC中,=,∴AC===(千米).
6、【答案】40
【解析】如图,设O为顶端在地面的射影,
在Rt△BOD中,∠ODB=30°,OB=20,则BD=40,OD=20.
在Rt△AOD中,OA=OD·tan 60°=60,∴AB=OA-OB=40(m).
7、【答案】60
【解析】根据题图可得AB=.
在△ABC中,∠BCA=30°,∠BAC=37°,
由正弦定理,得=.所以BC≈2××0.60=60 (m).
8、【答案】7
【解析】设机器人最快可在点C处截住足球,点C在线段AD上,
设BC=x dm,由题意知CD=2x dm,AC=AD-CD=(17-2x) dm.
在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC 2-2AB·AC·cos A,
即x2=(4)2+(17-2x)2-8(17-2x)cos 45°,解得x1=5,x2=.
∴AC=17-2x=7(dm)或AC=-(dm)(舍去).
∴该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球.
9、[解] 法一:在△ACD中,∠ADC=60°-∠DAC=60°-30°=30°.
由正弦定理,得AD==.在△ABC中,∠ABC=75°-60°=15°,∠ACB=60°,
由正弦定理,得AB==.在△ADB中,∠BAD=180°-75°-30°=75°,
由余弦定理,得BD=
=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2)+\r(6),2)))+3-2×\f(3\r(2)+\r(6),2)×\r(3)cos 75°)=.
即点B,D间的距离为km.
法二:如图,记AD与BC的交点为M.
由外角定理,得∠CDA=60°-∠DAC=60°-30°=30°,所以AC=DC.
又易知∠MCD=∠MCA=60°,所以△AMC≌△DMC,
所以M为AD的中点,所以BA=BD.
又AB==,所以BD=.
所以点B,D间的距离为km.
10、【答案】B
【解析】在Rt△ABC中,∠BAC=60°,BC=300,∴AC===200.
在△ACQ中,∠AQC=45°+15°=60°,∠QAC=180°-45°-60°=75°,
∴∠QCA=180°-∠AQC-∠QAC=45°.由正弦定理,得=,
得AQ==200.在Rt△APQ中,PQ=AQsin 45°=200×=200,
故此无人机距离地面的高度为200 m,故选B.
11、【答案】AC
【解析】由题意可知∠ADB=60°,∠BAD=75°,∠CAD=30°,
所以∠B=180°-60°-75°=45°,AB=12 n mile,AC=8 n mile,
在△ABD中,由正弦定理得=,
所以AD==24(n mile),故A正确;
在△ACD中,由余弦定理得CD=,
即CD= =8(n mile),故B错误;
因为CD=AC,所以∠CDA=∠CAD=30°,所以灯塔C在D处的西偏南60°,故C正确;
由∠ADB=60°,D在灯塔B的北偏西60°处,故D错误.故选AC.
12、【答案】A
【解析】在△ABD中,由正弦定理得=,
∴sin∠ADB=·sin A=×=,又∠ADC=90°,
∴cos∠BDC=sin∠ADB=,
在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+CD2-2BD·CD·cos∠BDC
=(2)2+(4)2-2×2×4×=48.
∴BC=4.
13、【答案】1 
【解析】设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米,
AP=x,在△ABP中,PB2=AP2+AB2-2AP·AB·cos A,
即302=x2+402-2x·40cos 45°,化简得x2-40x+700=0,
|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=400,|x1-x2|=20,
即图中的CD=20(千米),故t===1(小时).
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