第6章 实数 学案
【学习目标】
1.理解平方根、立方根、无理数、实数的概念及性质.
2.掌握平方根、立方根及实数的简单运算.
3.通过本章内容的复习与总结，形成本章的知识体系，提高分析、解决问题的能力.
【学法指导】
1.自主学习，建立本章知识结构体系.
2.合作探究，培养应用知识解决问题的能力.
【自主学习】
1.请整理出本章知识结构图.
2.在本章的学习过程中，用到了哪些重要的数学思想方法，请举例说明.
【合作学习，课内探究】
对点练习1
下列各数有没有平方根？如果有，请指出它们的平方根和算术平方根；如果没有，请说明理由.
196，0.09，，(-2)3，(-3)2，.
对点练习2
说出下列各数的立方根：
0，-1，0.512，，，(-2)3，.
对点练习3
1.下列各数：① ；②0；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧0.252252225…(相邻两个5之间依次多一个2).
其中是有理数的有______________，是无理数的有______________（填序号）.
2.判断：
①每个实数都有倒数.
②的相反数是.
③到原点距离为的点表示的数是.
④实数和有理数都与数轴上的点一一对应.
⑤＜3.14.
⑥两个无理数的和一定是无理数.
易错题辨析
1. 的平方根是_____________.
2.解方程：(x-1)2=36.
3.若︱x︱=，则x=__________.
典例讲解
例1 已知一个数的平方根是x-1与3x-35，求这个数的立方根.
例2 计算：-4÷＋×︱－︱－︱-2︱
解题方法总结：
综合小测试
1.9的平方根与-27的立方根的差为 （ ）
A.0 B.-6 C.0或-6 D.0或6
2.下列说法：①无理数就是带根号的数；②无理数是无限小数；③无理数包括正无理数、零、负无理数；④无理数不能用数轴上的点表示.
其中正确的有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3. = __________ .
4.写出一个-2到-3之间的无理数_______.
5.正方形的面积扩大为原来的n倍，则它的边长是原来的________倍.
6.比较大小：1-_____ -.
7.如图，是3×3的网格.
①请画出一个面积为5的正方形；
②这样的正方形你能画出几个？
③这个正方形的边长和周长各是多少？
能力拓展
已知的整数部分是a，小数部分是b，试求a-b的值.
学习反思
通过这节课的学习，你有哪些收获？你还什么疑惑？
参考答案
易错题辨析
1.±2；2. (x-1)2=36，x-1=±6，x=7或x=-5；3.±.
典例讲解
例1 解：若这个数是正数，则x-1+3x-35=0， 解得x=9，∴x-1=8，3x-35=-8，∴这个数是(±8)2=64；若这个数是零，则x-1=0且3x-35=0，解得x=1且x=，x的值互相矛盾，故这种情况应舍去，∴综上所述，这个数是64，∴这个数的立方根是=4.
例2 解：原式=-4÷2＋(-3)×－(2－) =-2－1－2＋=－5.
能力拓展
解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴a=3，b=-3，
∴a-b=3 -(-3)=6 -.
课件24张PPT。第6章 实数知识结构图开方乘方立方根平方根实数有理数无理数互逆运算有限小数或无限循环小数无限不循环小数知识点归纳一、平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫
做a的平方根，记作 . 其中正的平方根也叫做算术平方根，记作 .正数的平方根有___个，它们互为________.
0的平方根、算术平方根都是___.
负数__________________.2相反数0没有平方根双重非负性：a≥0对点练习1 下列各数有没有平方根？如果有，请指出它们的平方根和算术平方根；如果没有，请说明理由.1960.09(-2)3(-3)2±14 14±0.3 0.3±3 3没有因为(-2)3=-8＜0，而负数没有平方根.二、立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫
做a的立方根，记作 .正数的立方根是_______，
负数的立方根是________，
0的立方根是_____.正数负数0注意：对点练习2 说出下列各数的立方根：-10.512(-2)30-1-2 00.82 三、实数实数有理数无理数整数分数正整数0负整数正分数负分数正无理数负无理数有限小数或无限循环小数无限不循环小数无理数的三种一般情况：
①开不尽方的数；
② 及含 的一些数；
③有一定规律，但不循环的无限小数.实数与数轴上的点一一对应.实数数轴上的点一一对应 实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内一样.
两个实数也可以像有理数一样比较大小：数轴上右边点所表示的数总比左边点所表示的数大.
实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正实数和零可以进行开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.有理数的运算律和运算法则对于实数同样适用.对点练习31.下列各数：① ；②0；③ ；
④ ；⑤ ；⑥ ；⑦
⑧0.252252225…(相邻两个5之间依次多一个2).
其中是有理数的有______________，
是无理数的有______________（填序号）.①②⑤⑦③④⑥⑧2.判断：
①每个实数都有倒数.
② 的相反数是 .
③到原点距离为 的点表示的数是 .
④实数和有理数都与数轴上的点一一对应.
⑤ ＜3.14.
⑥两个无理数的和一定是无理数.×√××××易错题辨析1. 的平方根是_____________.错解：±4正解：±2辨析：造成错解的主要原因是没有理解
算术平方根的概念，应先求 ，即16
的算术平方根，再求结果的平方根.2.解方程：(x-1)2=36.错解：(x-1)2=36
x-1=6
x=7正解：(x-1)2=36
x-1=±6
x=7或x=-5辨析：本题错解的原因是没有理解平方
根的概念，因为正数的平方根有两个，
所以开平方时有正负两个平方根.3.若︱x︱= ，则x=__________.错解：正解：±辨析：实数的绝对值的意义与有理数的
绝对值的意义一样，已知一个数的绝对
值，求这个数，通常都有正负两个值，
千万不能漏解.学习方法总结1.深刻理解平方根、立方根、无理数和实数的概念与意义，特别是对一些特殊情况的掌握，对于解题很重要，如0的平方根、算术平方根、立方根都是0本身等.
2.掌握对比、类比的学习方法，如平方根与立方根的对比学习，实数与有理数的意义及运算的类比学习等.典例讲解例1 已知一个数的平方根是x-1与3x-35，求这个数的立方根.解：若这个数是正数，
则x-1+3x-35=0，
解得x=9，
∴x-1=8，3x-35=-8，
∴这个数是(±8)2=64；若这个数是零，
则x-1=0且3x-35=0，
解得x=1且x= ，
x的值互相矛盾，故这种情况应舍去，
∴综上所述，这个数是64，
∴这个数的立方根是 =4.例2 计算：-4÷ ＋ ×︱－ ︱－︱ -2︱解：原式=-4÷2＋(-3)× －(2－ )=-2－1－2＋= －5.解题方法总结1.解题时注意分类讨论的数学思想方法的运用，如例1，对于平方根，分正数和零两种情况讨论求解.又如，被开方数有正数和零两种情况，关于绝对值的求解问题等.
2.解计算题时，首先要弄清有哪些运算，其次要分清计算顺序，然后再进行计算，计算一定要仔细.综合小测试1.9的平方根与-27的立方根的差为（ ）
A.0 B.-6 C.0或-6 D.0或6
2.下列说法：①无理数就是带根号的数；②无理数是无限小数；③无理数包括正无理数、零、负无理数；④无理数不能用数轴上的点表示.
其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个DA3. = __________ .
4.写出一个-2到-3之间的无理数_______.
5.正方形的面积扩大为原来的n倍，则它
的边长是原来的________倍.
6.比较大小：1- _____ --1＜7.如图，是3×3的网格.①请画出一个面积为5的正方形；
②这样的正方形你能画出几个？
③这个正方形的边长和周长各是多少？边长：2个周长：能力拓展 已知 的整数部分是a，小数部分是b，
试求a-b的值.解：∵9＜13＜16，
∴3＜ ＜4，
∴a=3，b= -3，
∴a-b=3 -( -3)=6 - .课堂小结与作业本章主要知识点有哪些？平方根 立方根 实数本章运用的主要数学思想方法有哪些？分类讨论思想 数形结合思想 作业：P19 A组复习题 10、11
