张家港市常青藤中学2023-2024学年第二学期3月阶段性测试
3月考参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1~4 ABDA 5~8 BDDC
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9. ACD 10. ACD 11. ABD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 13. 14.
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15.（本小题满分13分）
（1）解：由题意得：直线l的斜率存在，设为 ，
则直线方程为，
令，得y=2x+1；令，得，
所以，
解得，
此时直线方程为，即；
（2），
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，此时直线方程为，
即.
16.（本小题满分15分）
【答案】(1)
(2)存在，2
(1)
因为椭圆的焦点坐标为
所以可设M的方程为．
因为M与圆相切，所以，
则，故M的虚轴长．
(2)
由（1）知，M的方程为．
设A，B两点的坐标分别为，，则
两式相减得，
假设存在直线l满足题意．则所以，
因此l的方程为，代入M的方程，整理得，，l与M相交，
故存在直线l满足题意，且l的斜率为2．
17.（本小题满分15分）
【答案】(1)
(2)或
18.（本小题满分17分）
【答案】【答案】（1）
（2）（i）7；（ii）是在定直线上，直线方程：
19.（本小题满分17分）
【答案】(1)是定值，定值为
(2)张家港市常青藤中学2023-2024学年第二学期3月阶段性测试
高一数学 2024.3
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
2.从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线
夹角(锐角或直角）的余弦值为 （ ）
A. B. C. D. 6
3.若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
4.已知P为椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若使 为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
5.是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．3
6.已知圆上两动点A，B满足为正三角形，O为坐标原点，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
7.已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于 两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线交椭圆于点B，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
8.已知椭圆的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，
使得，则的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9．加斯帕尔 蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆C的离心率为
B. 椭圆C的蒙日圆方程为
C. 椭圆C的蒙日圆方程为
D. 长方形R的面积最大值为18
10．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是E上异于顶点的一动点，圆I（圆心为I）与的三边，，分别切于点A，B，C，延长PI交x轴于点D，作交于点H，则（ ）．
A．为定值
B．为定值
C．为定值
D．为定值
11．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．的方程为
B．当，，三点不共线时，则
C．在上存在点，使得
D．若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知双曲线的一条渐近线为，左 右焦点分别是，过点作轴的垂线与渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为______.
13．如图，、分别是椭圆的左、右焦点，点是为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为 .
(13题图) (14题图)
14．如图，已知，点A为直线上的动点，过点A作直线与相切于点P，若，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B．点O为坐标原点．
(1)若的面积为4，求直线l的方程；
(2)求的最小值，并求此时直线l的方程．
16.已知双曲线M与椭圆有相同的焦点，且M与圆相切．
(1)求M的虚轴长．
(2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.
17.设椭圆的上顶点为，左焦点为，已知椭圆的离心率，．
(1)求椭圆方程；
(2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），与直线交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若的面积为，求直线的方程．
18.已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设，过点作与轴不重合的直线交曲线于两点.
（i）过作与直线垂直的直线交曲线于两点，求四边形面积的最大值；
（ii）设曲线与轴交于两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.
19.已知椭圆E：，椭圆上有四个动点A，B，C，D，，AD与BC相交于P点.如图所示.
(1)当A，B恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD与BC的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；
(2)若点P的坐标为，求直线AB的斜率.
