西乡县2023-2024学年高二下学期第一次月考
数学试题
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.数列{an}的前几项为，3，，8，，…，则此数列的通项可能是( )
A.an＝ B.an＝
C.an＝ D.an＝
2.已知公差不为0的等差数列{an}中，a2＋a4＝a6，a9＝a，则a10＝( )
A. B.5 C.10 D.40
3.各项为正的等比数列中，，则的前4项和（ ）
A．40 B．121 C．27 D．81
4．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰:“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂,遂千百五二十岁”，即1遂为1520岁.某疗养中心恰有57人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为三遂，则最年轻者的年龄为（ ）
A．52 B．54 C．58 D．60
5.已知等差数列{an}的公差为2，且a2，a3，a5成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )
A．n(n－2) B．n(n－1)
C．n(n＋1) D．n(n＋2)
6.已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
7.若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ）
A． B． C． D．
8.已知数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝，Sn＋1＝Sn＋an＋，则S20＝( )
A．10 B．20
C．100 D．400
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列四个命题中，正确的有( )
A.数列的第k项为1＋
B.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项
C.数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n－1
D.数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}是递增数列
10.记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝3，S3＝－9，则有( )
A．a1＝－5 B．a4＜0
C．S6＝0 D．S3＜S4
11．已知是等差数列，公差不为0，若成等比数列，则（ ）
A． B．
C． D．
12.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列{an}，则( )
A．a4＝12 B．an＋1＝an＋n＋1
C．a100＝5050 D．2an＋1＝an·an＋2
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13.已知等比数列满足，则 ．
14.设等差数列的通项公式为an=2n－7,求
15.等差数列的前n项和为，已知，且，则公差 ．
16.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝n2，记数列的前n项和为Tn，n∈N＋，则使得Tn＜成立的n的最大值为
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知数列{an}为等比数列，a3=2，a2+a4=，求数列{an}的通项公式
18.设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项和S10=110，且a1，a2，a4 成等比数列.
(1)证明：a1=d；
(2)求公差d的值和数列{an}的通项公式.
19.等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式：
(2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前n项和．
20．如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，过直线的平面与棱分别交于点．
(1)证明：；
(2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值．
21．已知椭圆：的短轴长为，且椭圆经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程．
22．已知数列的前n项和为，且．
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．
（3）若对于任意，数列的前项和>恒成立，求实数m的取值范围。西乡县2023-2024学年高二下学期第一次月考（数学）参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A A A B B B C ABD ACD BC BC
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13.【答案】3 14.【答案】153 15.【答案】 16.【答案】19
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17解：设等比数列的公比为q,则q≠0,,2q,
所以，+=,解得=,= -------------------6分
当=时，=18,所以=18=; -----------------8分
当=3时，=,所以==; -----------------10分
18解：(1)略 -----------------6分
（2）由S10=110得=d=2,所以=2=2n ----------------12分
19【解】（1）设等差数列的公差为，由题意得，
解得，所以．-----------------6分
（2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，
所以，
所以------------------------9分
． --------------------------------------12分
20（1）证明：因为四边形为平行四边形，所以，
因为平面，且平面，且，所以平面，
因为平面，平面平面，且平面，
所以，又，所以．----------------------6分
（2）建立如图所示的空间直角坐标系．
由（1）知且，则，
则，，，，，
，所以，，，
，设平面的一个法向量为，
则，得，---------------------------7分
设平面的一个法向量为，则，得，---------9分
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．-----------------------12分
21解（1）由短轴长为，可得，即，将代入可得：，解得，
所以椭圆的方程为：；------------------------4分
（2）显然直线的斜率不为，设直线的方程为，设，，
联立，整理得：，得，，且，
因为，所以，所以，-----------------------------8分
即，即，
所以，整理可得：，解得，
所以直线的方程为：，即--------------------------------12分
22解（1）因为，①
当时，，所以．
当时，，②
由①－②得，即，
所以，又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，故．-------------------------4分
（2）因为，所以，
解得，所以．
所以，
，
两式相减得．
．所以．----------------------------9分
由于对于任意>恒成立,即：>m恒成立，等价于的最小值大于m.
令=,则==<0,所以数列是递减数列，故数列中的最大值为=,所以的最小值为2，所以当>对于任意恒成立时，<2.
---------------------12分
