长沙市一中 2024 届高三月考试卷 (七)
数学试卷
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 样本数据 15、13、12、31、29、23、43、19 、17、38 的中位数为 ( )
(A) 19 { ∣ (B) 2}3 (C) 21 (D) 18
2. 2已知集合 ∣A = x ∣ ex 2x 1 , B = { 1, 0, 1}, 则集合 A ∩B 的非空子集个数为 ( )
(A) 4 (B) 3 (C) 8 (D) 7
3. 已知实部为 3 的复数 z 满足 z · (1 2i) 为纯虚数, 则 |z| = ( )
√
3 3 5 √(A) 2 (B) (C) (D) 5
2 2
4. 已知数列 {an} 满足 an = 3n b (n ∈ N , b ∈ R), 则“b < 3”是“{|an|} 是递增数列”的 ( )
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
5. 已知 tan , sin 2θθ = 2 则 = ( )
2 cos2 θ + 4 sin2 θ
(A) 1 (B) 2 (C) 1 (D) 2
3 9
6. 过抛物线 E: y2 = 2px (p > 0) 的焦点 F 的直线交 E 于点 A, B, 交 E 的准线 l 于点 C, AD ⊥ l, 点 D 为垂足.
若 F 是 AC 的中点, 且 |AF | = 3, 则 |AB| = ( )
√ √
(A) 4 (B) 2 3 (C) 3 2 (D) 3
7. 已知双曲线 C: kx2 y2 = 1 的左焦点为 F , P (3m, 4m) (m > 0) 为 C 上一点, 且 P 与 F 关于 C 的一条渐近
线对称, 则 C 的离心率为 ( )
√
(A) 5
√ √
(B) 3 (C) 2 (D) 5
2
8. 已知函数 f(x) 的定义域为(R,)且满足 f(x) + f(3 x) = 4, f(x) 的导函数为 g(x), 函数 y = g(x 1) 的图象关
3
于点 (2, 1) 中心对称, 则 f + g(2024) = ( )
2
(A) 3 (B) 3 (C) 1 (D) 1
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得
6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 1 1已知函数 f((x) = )cos 2x+ sin 2x, 则 ( )2 2
(A) π函数 f x 关于原点对称
8
(B) π kπ曲线 y = f(x) 的对称轴为 x = + , k ∈ Z
12 2
1
{#{QQABAQ4UogAAAoBAABgCAQUwCgAQkBAAAIoGgEAEMAAACQFABAA=}#}
( )
(C) π 5πf(x) 在区间 , 单调递减
8 8
(D) 曲线 y = f(x) 在点 (0, f(0)) 处的切线方程为 2x 2y + 1 = 0
10. 2π已知二面角 A CD B 的大小为 , AC ⊥ CD, BD ⊥ CD, 且 CD = 1, AC +BD = 2, 则 ( )
3
(A) △ABD 是钝角三角形 (B) 异面直线 AD 与 BC 可能垂直
√ √
(C) 3线段 AB 长度的取值范围是 [2, 5) (D) 四面体 A BCD 体积的最大值为
4
11. 甲、乙两同学参加普法知识对抗赛, 规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答. 若回答正确, 得 1 分, 答题继
续; 若回答错误, 得 0 分, 1同时换成对方进行下一轮答题. 据经验统计, 甲、乙每次答题正确的概率分别是 和
2
2 , 且第 1 题的顺序由抛掷硬币决定. 设第 i 次答题者是甲的概率为 Pi, 第 i 次回答问题结束后中甲的得分是 Ki,
3
则 ( )
(A) 1P2 = (B)
5
P (K2 = 1) =
4 24
(C) 1 1Pi+1 = Pi + (D)
1
E (Ki) = Pi +Ki 1 (i 2)
6 3 2
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. (x+ 3y)(x y)8 的展开式中 x3y6 的系数为 .
13. 已知动点 P 在圆 M : (x m+1)2 + (y m)2 = 1 上, 动点 Q 在曲线 y = lnx 上. 若对任意的 m ∈ R, |PQ| n
恒成立, 则 n 的最大值是 .
√ √
14. 已知正六棱锥的高是底面边长的 2 3 倍, 侧棱长为 13, 正六棱柱内接于正六棱锥, 即正六棱柱的所有顶点均在
正六棱锥的侧棱或底面上, 则该正六棱柱的外接球表面积的最小值为 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 盒中有形状、大小均相同的卡片 6 张, 卡片依次标记数字 1, 2, 2, 3, 3, 3.
(1) 若随机一次取出两张卡片, 求这两张卡片标记数字之差为 1 的概率;
(2) 若每次随机取出两张卡片后不放回, 直到将所有标记数字为 2 的卡片全部取出, 记此时盒中剩余的卡片数量
X, 求 X 的分布列和 E(X).
16. 如图三棱锥 P ABC 中, PA = BC, AB = PC, AC ⊥ PB.
(1) 证明: AB = BC;
√
(2) 若平面 PAC ⊥ 平面 ABC, AC = 2AB, 求二面角 A PB C 的余弦值.
P
A C
B
2
{#{QQABAQ4UogAAAoBAABgCAQUwCgAQkBAAAIoGgEAEMAAACQFABAA=}#}
17. 已知定义在 (0, π) 上的函数 f(x) = cos2 x+ sinx.
(1) 求 f(x) 的极大值点;
(2) 1证明: 对任意 x ∈ (0, 1), f(x) > x4 x2 + 1.
4
2 2
18. : x y , , , # # # # 已知椭圆 C + = 1 (a > b > 0)的上、下顶点分别为A(0, 1) B(0, 1) 其右焦点为 F 且 FA·BA = FA·FB.
a2 b2
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) , , # · # # 若点 P (2, 1) 在直线 BP 上存在两个不同的点 P1 P2 满足 PP1 PP2 = PB2. 若直线 AP1 与直线 AP2 分
别交 C 于点 M , N (异于点 A), 证明: P , M , N 三点共线.
19. 定义 △ABC 三边长分别为 a, b, c, 则称三元无序数组 (a, b, c) 为三角形数. 记 D 为三角形数的全集, 即 (a, b, c) ∈
D.
√ √ √
(1) 证明: “(a, b, c) ∈ D”是“( a, b, c) ∈ D”的充分不必要条件;
(2) △ , # # # 若锐角 ABC 内接于圆 O 且 xOA+ yOB + zOC = 0, 设 I = (x, y, z) (x, y, z > 0).
① 若 I = (3, 4, 5), 求 S△AOB : S△AOC ;
② 证明: I ∈ D.
3
{#{QQABAQ4UogAAAoBAABgCAQUwCgAQkBAAAIoGgEAEMAAACQFABAA=}#}长沙市一中2024届高三月考试卷（七）
数学参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
8
答案
C
B
D
A
D
A
1.C【解析】将这10个数据从小大大排列为12,13,15,17,19,23,29,31,38,43，所以这组数据的中位数是
19+23=21.故选：C.
2
2.B【解析】因为A={xx2-2x≤0}={x0≤x≤2}，B={-1,0,1},因此A∩B={0,1}.故该集合的非空子集
个数为22一1=3个，故选：B.
3+2b=0,
3.C【解析】由题意可设之=3十bi,则之·(1-2i)=(3十bi)·(1一2i)=3+2b+(b-6)i,所以
解得b
6-6≠0，
--
故1z=√3+(-)-3，故选：C
4.A【解析】当b<3时，an=31-b>0,则|a.|=|3n-b=3n-b>0,所以{an}是递增的等差数列；反之，数列
(a}递培，则a>0,且a
sin 20
2sin 0cos 0 2tan 0
4
2
D【解析】由题意可得tan0=2,所以2cos0肝4inm日2cog十4sin02十4tan02十4X49,故选D
6.A【解析】如图，设准线与x轴交于点M.由抛物线的定义知AD=AF|=3.因为F是
线段AC的中点，所以AD=2M=2p,所以2p=3,解得力=2，所以抛物线E的方程为
y2=3.x.由cos∠AFx=
D得ZAP=60直钱AF的方程为y=3引带的
方程与y2=3.x联立后消去y并整理，得16x2一40x十9=0，设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1十x2=
2,所以
5
1AB=十十p=多+2=4故选A
7,D【解折】双曲线C的方程可设为后-若=1，。十6=，a>0,6>0>0,左焦点为F,0为坐标原点，连接
OP.因为双曲线k.x2一y2=1上的一点P(3m,一4m)(m>0)与C的左焦点F关于C的一条渐近线对称，所以
OP=OPF=c=5m,剧F(-5m,0).又直线PF的斜率为3m-4"”m三-2，直线PP与渐近钱垂直，所以
该条渐运战的针率为名-2所以。=4，别号=5，所以C的离心率e=后√层-后，成选D
a2
8.A【解析】因为x)+f3-x)=4,则画数f(x)的图象关于点（号，2）中心对称，且f()=2.由了(x)
了(3-)=0，了x)=g(),得g)=g3-,所以函教gx)的图象关于x=号对称，g1)=g(2.根据图
象变换的规律，由y=g(x一1)的图象关于点(2,1)中心对称，得g(x)的图象关于点(1,1)中心对称，g(1)=1,
则g(x)的周期为T=4×(号-1)=2，g(2024)=g(2)=g(1)=1,故f(号)十g(2024)=2+1=3.故选A
数学参考答案（一中版）一1