树德中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
D A C B D A B D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.BCD 10.BC 11.ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 13. 16 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量若向量，.
(1)若，求；
(2)若，求，的夹角.
【解】（1）由可得，即，所以，
则，所以；
（2）因为，所以，则，
所以，因为，所以.
16．（15分）已知已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.
(1)求的值． (2)求的值．
【解】（1）由已知有；；
（2）.
17．（15分）某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于），点在线段上，且满足.已知，，设，
(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
(2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.
【解】（1）因为三角形为直角三角形，，所以，
在直角中，因为，所以.
因为点为半圆上一点，所以，又因为，
所以，所以
，因为，
所以当，即时，达最大值；
（2）在直角中，因为，
所以，因为，所以，
又因为所以，在直角中，，
所以，
，，
所以当即时，达到最大值，
答：当时，达到最大值.
18．（17分）已知函数，，．
（1）当，时，
①求的单调递增区间
②当时，关于的方程恰有个不同的实数根，求的取值范围．
（2）函数，是的零点，直线是图象的对称轴，且在上单调，求的最大值.
解：①
，令，，解得，，
故的单调递增区间为；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
，，，令，
故当时，有个不同的实数根，
由，可得或，
因为有个不同的实数根，所以有个不同的实数根，且，
故的取值范围为；
(2)解：由题意可得，，
因为为的零点，直线为图象的对称轴，
所以，，，，
得，，所以，
因为，，所以，即为正奇数，
因为在上单调，则，即，解得，
当时，，，因为，所以，此时，
当时，，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
即在上不单调，不满足题意；当时，，，
因为，所以，此时，当时，，
此时在上单调递减，符合题意．故的最大值为．
（17分）已知集合（）.对于，，定义；（）；
与之间的距离为=．
（Ⅰ）当时，设，．若，求；
（Ⅱ）证明：若，且，使，则；
（Ⅲ）记．若，且，求的最大值．
【解】（Ⅰ）当时，由，
得 ，即 ．
由 ，得 ，或．
（Ⅱ）证明：设，，．
因为 ，使 ，
所以 ，使得 ，
即 ，使得 ，其中．
所以 与同为非负数或同为负数．
所以 ．
（Ⅲ）解法一：因为 ，
设中有项为非负数，项为负数．不妨设时；时，．所以
因为 ，
所以 ， 整理得 ．
所以 ．
因为
；
又 ，所以
．即 ．
对于 ，，有 ，，且，．
综上，的最大值为．
解法二：首先证明如下引理：设，则有 ．
证明：因为 ，，
所以 ，即 ．
所以
．
上式等号成立的条件为，或，所以 ．
对于 ，，有 ，，且，．
综上，的最大值为．树德中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知向量，，若，则（ ）
A．-6 B．0 C． D．
2.计算sin135°cos15°－cos45°sin(－15°)的值为( )
A． B． C． D．
3.如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为( )
A．a＋b－c B．a－b＋c C．b－a＋c D．b－a－c
4.设， ，，则有（ ）
A． B． C． D．
5.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A．向左平移个单位， B．向右平移个单位，
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
6.如图，在中，点为边的点且，点在边上，且，交于点且,则为( )
A. B. C. D.
7.若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
8.在边长为2的菱形中，为的中点，，点在线段上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下面给出的关系式或说法中，错误的是（ ）
A．与方向相同或相反 B．
C． D．
10．若，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11.已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．函数在单调递减
C．函数的值域为 D．函数在内有4个零点
第II卷（非选择题）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知平面向量，若，则_______
13.函数y＝的图象与函数y＝sin (－4≤x≤8)的图象所有交点的横坐标之和等于_______
14.已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是_____
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量，.
(1)若，求；
(2)若，求，的夹角.
16．（15分）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.
(1)求的值． (2)求的值．
17．（15分）某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于），点在线段上，且满足.已知，，设，
(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
(2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.
18．（17分）已知函数，，．
（1）当，时，
①求的单调递增区间
②当时，关于的方程恰有个不同的实数根，求的取值范围．
（2）函数，是的零点，直线是图象的对称轴，且在上单调，求的最大值.
19.（17分）已知集合（）.对于，，定义；（）；
与之间的距离为=．
（Ⅰ）当时，设，．若，求；
（Ⅱ）证明：若，且，使，则；
（Ⅲ）记．若，且，求的最大值．
