辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（含答案）

建平县实验中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．若角与角的终边相同，则可能是（ ）
A． B． C． D．
2．某地区老年艺术团由相声队、歌咏队以及诗歌朗诵队构成，其中相声队有30人，歌咏队有45人，现按分层抽样的方式从中抽取12人参加文艺汇演，其中诗歌朗诵队被抽到6人，则该地区老年艺术团的总人数为（ ）
A．90 B．120 C．140 D．150
3．在中，AD为BC边上的中线，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
5．已知，，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6． 设，是两个不共线的向量，且与共线，则实数（ ）
A． B．3 C． D．
7．已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则“”是“存在非零实数x，y，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
8．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法．在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数（小木棍全部用完），那么这两个数的和不小于9的概率为（ ）
纵式：
横式：
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列有关向量命题，不正确的是（ ）
A．若是平面向量的一组基底，则也是平面向量的一组基底
B．已知点，，则方向上的单位向量为
C．若，则存在唯一的实数，使得
D．若，，则的取值范围
10．直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足，点M、N在过点P的直线上，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． 为常数 B． 的最小值为3
C． 的最小值为 D． 的最小值为
11．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（ ）
A．
B．若，扇形的半径，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若扇形的圆心角为2弧度，弧长为4cm，则这个扇形的面积是______．
13．已知，，且，则非零向量的坐标为______．
14．如图，已知正方形ABCD，点E，F分别为线段BC，CD上的动点，且，设，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知，．
（1）求
（2）若，且三点共线，求的值．
16．（15分）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若．
（1）求的值
（2）若，，试用基底表示
17．（15分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
（1）求乙获胜的概率；（2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率．
18．（17分）某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图．
甲生产线产品质量指数频率分布直方图 乙生产线产品质量指数频率分布直方图
（1）求甲生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若产品的质量指数在内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率．
19．（17分）鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户当地的习俗是农历正月不生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在上一年农历十二月底进行一次性采购，小张把去年年底采购鱼卷的数量x（单位：箱）在的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量制成下表：
采购数x
客户数 10 10 5 20 5
（1）估计采购数在168箱以上（含168箱）的“熟客”人数；
（2）若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的，估算小张去年年底总的销售量（同一组中的数量用该组区间的中点值为代表）；
（3）由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若不在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元，且每下调m元（）销售量可增加1000m箱，求小张今年年底收入Y（单位：元）的最大值．
试卷答案和解析
1—8 DDAD ADAA 9．AC 10．ABD 11．AC
12．4 13． 14．
第15题：【答案】（1） （2）
【解析】略
第16题：【答案】（1） （2）．
【解析】（1）∵，∴
（2）
∵由题意可得，
∴，再由，则，∴．
作FG平行BD交AC于点G，∴，∴．
∵．
∴．
第17题：【答案】（1） （2）
【解析】（1）记“乙获胜”为事件C，记甲第i次投篮投进为事件，乙第i次投篮投进为事件
由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知
（2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知
．
第18题：【答案】
（1）甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：
（2）由题意可知：甲生产线的样品中优等品有件．
乙生产线的样品中优等品有件．
则从甲生产线的样品中抽取的优等品有件，记为；
从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为．
从这6件产品中随机抽取2件的情况有：，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中符合条件的情况有，，，，，，，共8种．
故所求概率．
【解析】见答案
第19题：【答案】（1）17，（2）12000箱，（3）256000元
【解析】（1）作出频率分布直方图，如图所示
根据上图，可知估计采购量在168箱以上（含168箱）的“熟客”人数为．
（2）去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为
（箱）；
小张去年年底总的销售量为（箱）．
（3）若不在网上出售鱼卷，则今年年底小张的收入为（元）；
若在网上出售鱼卷，则今年年底的销售量为箱，每箱的利润为，
则今年年底小张的收入为
，
当时，Y取得最大值256000，
∵，∴小张今年年底收入Y的最大值为256000元．