空间向量基本定理
学习目标 1.了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解. 2.会选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量.
学习活动
导入：我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,能否用这三个向量表示空间中任意的向量呢？
目标一：了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解. 任务：类比平面向量基本定理，探究空间向量基本定理. 如图，设是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点，其中为在确定的平面上的投影向量，对于任意一个空间向量，能否用表示呢？ 参考答案： 由题可知，又向量，共线，因此存在唯一实数，使得，从而．而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得．从而， 因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得．我们称分别为向量在上的分向量． 问题1：对于上面的分解，是否唯一呢？ 参考答案： 假设这种表示不唯一，即还可以表示成，那么．由向量不共面可以得到，故假设错误，表示是唯一的. 问题2：在空间中，如果用任意三个不共面的向量代替两两垂直的向量，你能得到类似的结论吗？ 参考答案： 如图，过点作，过点作直线，交平面于点 ，在平面内，过点作直线，分别与直线相交于点． 于是存在三个实数, 使 所以 容易证明这种表示形式是唯一的． 【新知讲解】 空间向量基本定理： 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得．我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量．所有空间向量组成的集合就是. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示． 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量均可以分解为三个向量,使,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解． 思考： (1)构成空间的基底是唯一的吗？ (2)基底选定之后，空间中向量用基底表示，表示形式唯一吗？ (3)基向量可以为零向量吗？ 参考答案：（1）不唯一；（2）唯一；（3）不可以，因为零向量与任意向量共面，而基向量必须不共面. 练一练： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是( ) A. B. C.D. 参考答案： 只有选项C中的三个向量是不共面的,可以作为基底，故选C.
目标二：会选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量. 任务：根据空间向量基本定理，利用不共面的基底向量表示其他空间向量. 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且用向量表示． 参考答案： . 思考：如何用合适的基底向量表示其他向量？ 【归纳总结】 用基底表示向量(分解向量)的步骤： 定基底→找目标→下结论. 练一练： 在四棱柱中，若，，，点为与的交点，则 A. B. C. D. 参考答案： 解：在四棱柱中， ，，， 是与的交点，在平行四边形中，为与的中点， . 故选：．
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.什么是空间向量基本定理？有什么性质？ 2.什么是正交分解？ 3.如何用基底表示空间向量？
2空间向量基本定理
学习目标 1.了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解. 2.会选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量.
学习活动
导入：我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,能否用这三个向量表示空间中任意的向量呢？
目标一：了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解. 任务：类比平面向量基本定理，探究空间向量基本定理. 如图，设是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点，其中为在确定的平面上的投影向量，对于任意一个空间向量，能否用表示呢？ 问题1：对于上面的分解，是否唯一呢？ 问题2：在空间中，如果用任意三个不共面的向量代替两两垂直的向量，你能得到类似的结论吗？ 【新知讲解】 思考： (1)构成空间的基底是唯一的吗？ (2)基底选定之后，空间中向量用基底表示，表示形式唯一吗？ (3)基向量可以为零向量吗？ 练一练： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是( ) A. B. C.D.
目标二：会选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量. 任务：根据空间向量基本定理，利用不共面的基底向量表示其他空间向量. 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且用向量表示． 思考：如何用合适的基底向量表示其他向量？ 【归纳总结】 练一练： 在四棱柱中，若，，，点为与的交点，则 A. B. C. D.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.什么是空间向量基本定理？有什么性质？ 2.什么是正交分解？ 3.如何用基底表示空间向量？
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