空间向量基本定理
学习目标 能利用空间向量基本定理解决证明平行、垂直问题. 能利用空间向量基本定理解决求空间角问题.
学习活动
目标一：能利用空间向量基本定理解决证明平行、垂直问题. 任务：选择合适基底向量表示空间向量，并证明空间垂直问题. 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4， AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60 ° ，∠DAA1＝60 ° ，M，N 分别为D1C1，C1B1的中点，求证 MN⊥AC1 ． 问题1：证明异面直线垂直有哪些方法？ 参考答案： （1）综合几何方法：证明异面直线所成角为直角；线面垂直的定义和性质等. （2）向量方法. 问题2：如何使用向量方法解决立体几何问题？ 参考答案： 结合空间向量垂直的性质，可将问题转化为. 问题3：结合已知条件，证明上述命题. 参考答案： 证明:设,,, 因为这三个向量不共面, 所以构成空间的一个基底, 我们用它表示， 则， ， 所以 =， 所以MN⊥AC1. 练一练： 在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°， 求证:AB1⊥BC； 参考答案： 证明：易知<>=120°，=+， 则·=(+)·=·+· = 所以AB1⊥BC.
目标二：能利用空间向量基本定理解决求空间角问题. 任务：选择合适的基底向量表示空间向量，并求解空间角问题. 如图，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'，A'D'，D'D的中点，求CE与AG所成角的余弦值. 问题1：如何用向量表示 CE 与 AG 所成角的余弦值？ 参考答案：求所成角的余弦值. 问题2：应该选择什么基底来表示向量？ 参考答案：设则构成空间的一个单位正交基底. 问题3：根据已知条件及问题1、2，求解CE与AG所成角的余弦值. 参考答案： 设 则构成空间的一个单位正交基底. 因为，， 所以 所以CE与AG所成角的余弦值为. 思考：如何用空间向量基本定理解决立体几何问题？ 【归纳总结】 首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示. (1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0； (2)若证明线线平行,只需证明两向量共线； (3)若求异面直线所成角,则转化为两向量的夹角(或其补角). 练一练： 正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它有4个面，6条棱，4个顶点．正四面体ABCD中，E，F分别是棱AD、BC中点，求：AF与CE所成角的余弦值. 参考答案： 解：不妨设正四面体的边长为， 设，两两成角， 则， ， 设所成角为， 所以
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 如何利用空间向量基本定理求解立体几何问题？
2课时4 空间向量基本定理
学习目标 能利用空间向量基本定理解决证明平行、垂直问题. 能利用空间向量基本定理解决求空间角问题.
学习活动
目标一：能利用空间向量基本定理解决证明平行、垂直问题. 任务：选择合适基底向量表示空间向量，并证明空间垂直问题. 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4， AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60 ° ，∠DAA1＝60 ° ，M，N 分别为D1C1，C1B1的中点，求证 MN⊥AC1 ． 问题1：证明异面直线垂直有哪些方法？ 问题2：如何使用向量方法解决立体几何问题？ 问题3：结合已知条件，证明上述命题. 练一练： 在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°， 求证:AB1⊥BC；
目标二：能利用空间向量基本定理解决求空间角问题. 任务：选择合适的基底向量表示空间向量，并求解空间角问题. 如图，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'，A'D'，D'D的中点，求CE与AG所成角的余弦值. 问题1：如何用向量表示 CE 与 AG 所成角的余弦值？ 问题2：应该选择什么基底来表示向量？ 问题3：根据已知条件及问题1、2，求解CE与AG所成角的余弦值. 思考：如何用空间向量基本定理解决立体几何问题？ 【归纳总结】 练一练： 正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它有4个面，6条棱，4个顶点．正四面体ABCD中，E，F分别是棱AD、BC中点，求：AF与CE所成角的余弦值.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 如何利用空间向量基本定理求解立体几何问题？
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