空间直角坐标系
学习目标 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，并掌握空间直角坐标系的画法，感受建立空间直角坐标系的必要性. 2.会用空间直角坐标系刻画点的坐标及空间向量.
学习活动
目标一：在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，并掌握空间直角坐标系的画法，感受建立空间直角坐标系的必要性. 任务1：类比平面直角坐标系，探究空间直角坐标系的相关概念. 问题1：平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间直角坐标系，它包括哪些要素？这些要素需要满足什么条件？ 问题2：利用单位正交基底概念，我们可以如下这样理解平面直角坐标系，类比平面直角坐标系，给出空间直角坐标系的定义. 平面直角坐标系空间直角坐标系在平面内选定一点O和一个单位正交基底｛i, j｝以O为原点，分别以i, j的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴
【新知讲授】 任务2：结合斜二测画法，探究空间直角坐标系画法. 问题1：平面直角坐标系是怎么画的？回忆学习立体几何时用到的斜二测画法，想想空间坐标系又如何画呢？ 【归纳总结】
目标二：会用空间直角坐标系刻画点的坐标及空间向量. 任务1：探究空间中，点和向量的坐标表示. 问题：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，类比平面向量，空间直角坐标系中的每一个点和向量该如何用坐标表示？ 平面直角坐标系内空间直角坐标系内取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i, j为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x, y，使得a=xi+yj.我们把有序数对(x, y)叫做a的坐标，记作a=(x, y)
【新知讲解】 任务2：利用几何直观，确定空间向量坐标. 如图所示，过点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点B(x,0,0),C(0,y,0)和D(0,0,z). 问题1：如何用向量表示向量 问题2：的坐标是多少？ 【归纳总结】 任务3：求下列空间向量坐标. 如图，在长方体中，，，，以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）写出，，，四点的坐标； （2）写出向量,,,的坐标. 思考： 1.坐标面上和坐标轴上的点M的坐标的特征是什么？ 2.点P(x,y,z)关于坐标平面对称的点的坐标特征是什么？ 【归纳总结】 练一练： 已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．写出点的坐标.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.什么是空间直角坐标系？如何构建？ 2.如何求解空间直角坐标系下点和向量的坐标？
2课时5 空间直角坐标系
学习目标 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，并掌握空间直角坐标系的画法，感受建立空间直角坐标系的必要性. 2.会用空间直角坐标系刻画点的坐标及空间向量.
学习活动
目标一：在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，并掌握空间直角坐标系的画法，感受建立空间直角坐标系的必要性. 任务1：类比平面直角坐标系，探究空间直角坐标系的相关概念. 问题1：平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间直角坐标系，它包括哪些要素？这些要素需要满足什么条件？ 参考答案： 坐标系三要素平面直角坐标系空间直角坐标系原点坐标原点O坐标原点坐标轴相互垂直的两条坐标轴x轴和y轴三条互相垂直的坐标轴单位长度单位长度单位长度
问题2：利用单位正交基底概念，我们可以如下这样理解平面直角坐标系. 平面直角坐标系空间直角坐标系在平面内选定一点O和一个单位正交基底｛i, j｝以O为原点，分别以i, j的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴
类比平面直角坐标系，给出空间直角坐标系的定义. 参考答案： 平面直角坐标系空间直角坐标系在平面内选定一点O和一个单位正交基底｛i, j｝在空间选定一点O和三个基向量，叫做i, j, k，它们是两两互相垂直的单位向量以O为原点，分别以i, j的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴以O为原点，分别以i, j, k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴
【新知讲授】 在空间选定一点和一个单位正交基底, , . 以点为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系，如图. 其中叫做原点，，，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，v平面，平面，它们把空间分成八个部分. 任务2：结合斜二测画法，探究空间直角坐标系画法. 问题1：平面直角坐标系是怎么画的？回忆学习立体几何时用到的斜二测画法，想想空间坐标系又如何画呢？ 参考答案： 平面直角坐标系Oxy的画法：在平面内画两条与单位正交基底向量i, j方向相同的数轴x轴和y轴，它们互相垂直、原点重合. 拓展到空间中，在x轴和y轴的基础上添加与x轴和y轴都垂直的z轴. 借鉴在立体几何中学习的斜二测画法，在画空间直角坐标系Oxy时，让x轴与y轴所成的角为135°(或45°)，即∠xOy=135°(或45°)，画z轴和y轴垂直，即∠yOz=90°.如图所示， 【归纳总结】 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
目标二：会用空间直角坐标系刻画点的坐标及空间向量. 任务1：探究空间中，点和向量的坐标表示. 问题：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，类比平面向量，空间直角坐标系中的每一个点和向量该如何用坐标表示？ 平面直角坐标系内空间直角坐标系内取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i, j为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x, y，使得a=xi+yj.我们把有序数对(x, y)叫做a的坐标，记作a=(x, y)
参考答案： 平面直角坐标系内空间直角坐标系内取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i, j为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x, y，使得a=xi+yj.我们把有序数对(x, y)叫做a的坐标，记作a=(x, y)取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i, j, k为基底，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使得a=xi+yj+zk.
【新知讲解】 在单位正交基底｛i, j, k｝下与向量对应的有序实数组(x, y, z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记做A(x, y, z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作=a。由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使a=xi+yj+zk,有序实数组(x, y, z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记为a=(x, y, z) 符号(x,y, z)具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分. 任务2：利用几何直观，确定空间向量坐标. 如图所示，过点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点B(x,0,0),C(0,y,0)和D(0,0,z). 问题1：如何用向量表示向量 参考答案：在x轴、y轴、z轴上的投影向量分别为，由向量加法的意义可知，. 问题2：的坐标是多少？ 参考答案：根据，所以=xi+yj+zk，即点或者向量的坐标就是(x, y, z). 【归纳总结】 确定空间中一个点或任意一个向量的坐标方法： 任务3：求下列空间向量坐标. 如图，在长方体中，，，，以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）写出，，，四点的坐标； （2）写出向量,,,的坐标. 参考答案： 点在轴上，且，所以 . 所以点的坐标是,,.同理，点C的坐标是（0,4,0）. 点在轴、轴和轴上的射影分别是，它们在坐标轴上的坐标分别是3,0,2所以点的坐标是（3,0,2）. 点在轴、轴和轴上的射影分别是，它们在坐标轴上的坐标分别是3,4,2，所以点的坐标是（3,4,2）. （2）=（0,4,0）； -（0,0,2）； ； . 思考： 1.坐标面上和坐标轴上的点M的坐标的特征是什么？ 2.点P(x,y,z)关于坐标平面对称的点的坐标特征是什么？ 【归纳总结】 1.（1）若点M在Oyz平面上，则x＝0；若点M在Ozx平面上，则y＝0；若点M在Oxy平面上，则z＝0. （2）若点M在x轴上，则y＝z＝0；若点M在y轴上，则x＝z＝0；若点M在z轴上，则x＝y＝0. 2.P(x,y,z)关于坐标平面xOy的对称点为(x,y,－z)； P(x,y,z)关于坐标平面yOz的对称点为(－x,y,z)； P(x,y,z)关于坐标平面xOz的对称点为(x,－y,z)． 练一练： 已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．写出点的坐标. 参考答案： 由于为坐标原点，所以. 由得： 点N、M分是AB、的中点，
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.什么是空间直角坐标系？如何构建？ 2.如何求解空间直角坐标系下点和向量的坐标？
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