空间向量运算的坐标表示
学习目标 1.掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示． 2.掌握向量平行、垂直的坐标表示，并能解决相关的平行、垂直问题． 3.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式.
学习活动
目标一：掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示． 任务：类比平面向量线性运算，探索空间向量的线性运算. 问题1：在前面的学习中我们已经学面向量的加减、数乘、和数量积运算.设我们是如何对平面向量进行坐标运算的呢？ 问题2：设空间向量 ，类比平面向量运算的坐标表示，说说空间向量运算坐标表示是怎样的？如何证明？ 【新知讲授】 练一练： 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，,分别是, 的中点.求证.
目标二：掌握向量平行、垂直的坐标表示，并能解决相关的平行、垂直问题． 任务1：回顾平面向量平行和垂直的坐标表达式，探究空间向量平行和垂直的坐标表达式. 问题1：设若，则如何用向量坐标表示？ 问题2：设空间向量若，如何用向量的坐标表示？ 思考：这个充要条件能否表示为？ 【新知讲解】 任务2：探究空间向量模、夹角的坐标表达式. 问题1：设 则平面向量的模长和夹角公式是怎样的？ 问题2：设空间向量的模长和夹角公式怎样用坐标表示？如何证明？ 问题3：如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设， ，则的表达式是怎样的？ 【归纳总结】 练一练： 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，,分别是, 的中点.求与所成角的余弦值.
学习总结
任务：根据空间向量坐标表示的关键词，构建知识导图. “加法“、“减法”、“数乘”、“数量积”、“平行”、“垂直”、“模长”、“夹角”
2空间向量运算的坐标表示
学习目标 1.掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示． 2.掌握向量平行、垂直的坐标表示，并能解决相关的平行、垂直问题． 3.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式.
学习活动
目标一：掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示． 任务：类比平面向量线性运算，探索空间向量的线性运算. 问题1：在前面的学习中我们已经学面向量的加减、数乘、和数量积运算.设我们是如何对平面向量进行坐标运算的呢？ 参考答案： （1） （2） （3）， （4） 问题2：设空间向量 ，类比平面向量运算的坐标表示，说说空间向量运算坐标表示是怎样的？如何证明？ 参考答案： （1） （2） （3） （4） 以数量积的证明为例，证明： 设为空间的一个单位正交基底，由向量的坐标为，则可将向量唯一分解为， 同理可将向量表示为. . 利用向量数量积分配律及 得 【新知讲授】 设空间向量 ，则 ； ； ； . 练一练： 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，,分别是, 的中点.求证. 参考答案： 因为 , ， 所以 又因为点, 所以. 所以. 所以, 即.
目标二：掌握向量平行、垂直的坐标表示，并能解决相关的平行、垂直问题． 任务1：回顾平面向量平行和垂直的坐标表达式，探究空间向量平行和垂直的坐标表达式. 问题1：设若，则如何用向量坐标表示？ 参考答案： 因为的充要条件是. 所以得到方程组 消去，得到平面向量平行充要条件的 问题2：设空间向量若，如何用向量的坐标表示？ 参考答案： 当时，的充要条件是 ，得到方程组， 这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示. 思考：这个充要条件能否表示为？ 参考答案： 空间向量平行的充要条件不等价于， 因为的含义是的坐标分量至少有一个不为零，而非每一个坐标分量都不为零. 例如，当与坐标平面平行时，此时无意义. 因此只有在与三个坐标平面均不平行， 即均不为零时才能有. 特殊地，当时，.此时与任意向量都平行. 【新知讲解】 1.设空间向量 若，则. 2.设空间向量 若，则其充要条件为. 任务2：探究空间向量模、夹角的坐标表达式. 问题1：设 则平面向量的模长和夹角公式是怎样的？ 参考答案： ；. 问题2：设空间向量的模长和夹角公式怎样用坐标表示？如何证明？ 参考答案： . . 证明过程略. 问题3：如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设， ，则的表达式是怎样的？ 参考答案： 由题可知，向量 于是. 所以. 这就是空间两点间的距离公式. 【归纳总结】 1.设 则 ； . 2.设，，则 练一练： 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，,分别是, 的中点.求与所成角的余弦值. 参考答案： 由图可知， 所以, , . 所以. 所以. 所以,与所成角为向量，向量夹角的补角. 所以,与所成角的余弦值是.
学习总结
任务：根据空间向量坐标表示的关键词，构建知识导图. “加法“、“减法”、“数乘”、“数量积”、“平行”、“垂直”、“模长”、“夹角”
2
