空间中点、直线和平面的向量表示
学习目标 能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量. 掌握平面法向量的求法.
学习活动
目标一：能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量. 任务1：探究空间直线的向量表示. 问题1:如图，在空间中，固定平面，如何用向量表示空间中的一个点？ 参考答案： 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量． 问题2：如图，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用移动的向量表示固定直线l 参考答案： 如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t.如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，①或＝＋t.② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 【新知讲授】 1．设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝ta，即＝t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t.使＝＋ta. (3)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t. 2．上述两式都称为空间向量表达式，空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 练一练： 已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于( ) A.0 B.1 C. D.3 参考答案： 由题可知，，所以（-1,2-y,z-3)=λ(2,-1,3),所以-1=2λ，2-y=-λ，且z-3=3λ，所以λ=，y=,z=,所以y－z=0，故答案选A. 任务2：探究平面的空间向量表示. 问题1：一个定点和一个方向能确定一条直线，那么如图所示一个定点和两个定方向能确定一个平面吗？ 参考答案： 如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 问题2：如图所示，如果O不是两条直线的交点，而是平面外的一点，那么如何用向量表示平面呢？ 参考答案： 如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 思考：如何证明问题2的结论？ 参考答案： 设取定空间任意一点O，取平面ABC的任意一点P， 则， 又根据三角形的加法法则，有, 所以＝＋x＋y. 问题3：如图所示，直线，过一点且与已知直线垂直的平面有多少个？ 问题4：由前面问题可知，一个定点和两个定方向可以确定一个平面，那么再减少一个条件，即一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能，那这个定方向有什么特点？ 【新知讲解】 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 思考：如果另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量b , b与a有什么关系？ 【新知讲解】 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．
目标二：掌握平面法向量的求法. 任务：根据线面垂直以及向量垂直的性质，求解平面法向量 已知长方体中，AB=4，BC=3， =2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系， （1）求平面的一个法向量． （2）求平面的一个法向量． 参考答案： 解：(1)因为y轴垂直于平面，所以=(0,1,0)是平面的一个法向量. （2）因为AB=4,BC=3,=2,M是AB的中点， 所以的坐标分别为(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2). 因此 设=(x,y,z)是平面的一个法向量， 则. 所以， 所以. 令z=3，则x=2，y=3， 所以=(2,3,3)是平面的一个法向量. 思考：如何求解平面法向量？ 【归纳总结】 根据立体几何中线面垂直的判定定理得到法向量； 根据向量运算的坐标表示得到两个三元一次方程，联立方程组； （3）根据三元一次不定方程组，得到一个法向量. 练一练： 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量． 参考答案： 解：如图所示建立空间直角坐标系． 依题意可得D(0,0,0)，P(0,0,1)，E，B(1,1,0)， 于是＝，＝(1,1,0)． 设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥， 于是 取x＝1，则y＝－1，z＝1， 故平面EDB的一个法向量为n＝(1，－1,1)．
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.如何利用向量表示空间的点、直线以及平面？ 2.如何求平面法向量？
2空间中点、直线和平面的向量表示
学习目标 能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量. 掌握平面法向量的求法.
学习活动
目标一：能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量. 任务1：探究空间直线的向量表示. 问题1:如图，在空间中，固定平面，如何用向量表示空间中的一个点？ 问题2：如图，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用移动的向量表示固定直线l 【新知讲授】 练一练： 已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于( ) A.0 B.1 C. D.3 任务2：探究平面的空间向量表示. 问题1：一个定点和一个方向能确定一条直线，那么如图所示一个定点和两个定方向能确定一个平面吗？ 问题2：如图所示，如果O不是两条直线的交点，而是平面外的一点，那么如何用向量表示平面呢？ 思考：如何证明问题2的结论？ 问题3：如图所示，直线，过一点且与已知直线垂直的平面有多少个？ 问题4：由前面问题可知，一个定点和两个定方向可以确定一个平面，那么再减少一个条件，即一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能，那这个定方向有什么特点？ 【新知讲解】 思考：如果另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量b , b与a有什么关系？ 【新知讲解】
目标二：掌握平面法向量的求法. 任务：根据线面垂直以及向量垂直的性质，求解平面法向量 已知长方体中，AB=4，BC=3， =2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系， （1）求平面的一个法向量． （2）求平面的一个法向量． 思考：如何求解平面法向量？ 【归纳总结】 练一练： 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量．
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.如何利用向量表示空间的点、直线以及平面？ 2.如何求平面法向量？
2
