倾斜角与斜率
学习目标 1.在平面直角坐标系中，了解确定直线位置关系的几何要素，理解直线的倾斜角概念. 2.理解斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率计算公式及其范围.
学习活动
导入：请同学们观察图片，说说图片中有哪些直线？这些直线有什么区别？ 目标一：在平面直角坐标系中，了解确定直线位置关系的几何要素，理解直线的倾斜角概念. 任务1：回答下列问题，探索确定直线位置关系的几何要素. 问题： 1.在平面直角坐标系中，如何确定一条直线的位置，由一点能否确定一条直线？ 2.如图，这些直线都过点P，它们之间有什么区别？ 思考1：如何表示直线的方向呢？ 【新知讲解】 直线的倾斜角的定义： 思考2：根据直线的倾斜角的定义，找出下列直线的倾斜角，做好标注，并归纳倾斜角的范围是多少？ 练一练： 下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，请同学们找出正确的直线的倾斜角？
目标二：理解斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率计算公式及其范围. 任务1：探究坐标点刻画直线倾斜程度，理解斜率的概念. 在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为. 1.已知直线l经过点O(0，0)，P(，1)，α与点O，P的坐标有什么关系 2.类似地，如果直线l经过点P1(－1，1)，P2(，0)，α与点P1，P2的坐标又有什么关系 3.一般地，直线l的倾斜角α与P1(x1，y1)， P2(x2，y2)有什么内在联系 思考1：当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 思考2：当直线P1P2与y轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 思考3：已知直线P1P2的位置顺序互换时，上述公式会发生变化吗？ 【新知讲解】 直线的斜率： 思考4：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？为什么 练一练： 已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率. （2） 任务2：根据直线的斜率计算公式求解下列直线的斜率，并判断倾斜角. 如图，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 任务3：探究直线方向向量与斜率的关系. 问题1：如图所示，如何用P1、P2的坐标表示该直线的方向向量？ 问题2：该直线的方向向量与其斜率k有什么关系？
学习总结
任务：根据下列问题，构建知识导图. 回顾本课，我们学了关于直线倾斜角与斜率的哪些内容？学习路径是怎样的？
2倾斜角与斜率
学习目标 1.在平面直角坐标系中，了解确定直线位置关系的几何要素，理解直线的倾斜角概念. 2.理解斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率计算公式及其范围.
学习活动
导入：请同学们观察图片，说说图片中有哪些直线？这些直线有什么区别？ 目标一：在平面直角坐标系中，了解确定直线位置关系的几何要素，理解直线的倾斜角概念. 任务1：回答下列问题，探索确定直线位置关系的几何要素. 问题： 1.在平面直角坐标系中，如何确定一条直线的位置，由一点能否确定一条直线？ 参考答案：根据两个点的坐标或者一个点和一个方向确定直线的位置，一点不能确定一条直线. 2.如图，这些直线都过点P，它们之间有什么区别？ 参考答案：倾斜程度不同，方向不同. 思考1：如何表示直线的方向呢？ 【新知讲解】 规定：（1）水平直线的方向向右（2）其它直线向上的方向为这条直线的方向 直线的倾斜角的定义：我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 思考2：根据直线的倾斜角的定义，找出下列直线的倾斜角，做好标注，并归纳倾斜角的范围是多少？ 【新知讲解】 当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不同.因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向. 练一练： 下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，请同学们找出正确的直线的倾斜角？ 参考答案：略.
目标二：理解斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率计算公式及其范围. 任务1：探究坐标点刻画直线倾斜程度，理解斜率的概念. 在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为. 1.已知直线l经过点O(0，0)，P(，1)，α与点O，P的坐标有什么关系 参考答案：如图， 向量=（，1），且直线OP的倾斜角也为α．由正切函数的定义，有． 2.类似地，如果直线l经过点P1(－1，1)，P2(，0)，α与点P1，P2的坐标又有什么关系 参考答案：如图， ．平移向量到，则点P的坐标为，且直线OP的倾斜角也是α．由正切函数的定义，有． 3.一般地，直线l的倾斜角α与P1(x1，y1)， P2(x2，y2)有什么内在联系 参考答案：如图， 向量．平移向量到，则点P的坐标为，且直线OP的倾斜角也是α，由正切函数的定义，有tanα=． 思考1：当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 参考答案：成立，设P1(x1，0)， P2(x2，0)，所以tanα=． 思考2：当直线P1P2与y轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 参考答案：不适用，因为分母为零. 思考3：已知直线P1P2的位置顺序互换时，上述公式会发生变化吗？ 参考答案：不会， 【新知讲解】 直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的坐标有如下关系：tanα= 注意：x1x2，当x1=x2时，直线l倾斜角为90°，上式无意义. 直线的斜率：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tanα=因此在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别可以从形与数的角度刻画直线相对于x轴的倾斜程度. 日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度：坡度=．当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的． 思考4：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？为什么 参考答案:当倾斜角α满足0o≤α<90o且逐渐增大时，斜率k逐渐增大; 当倾斜角α=90o，斜率不存在; 当倾斜角α满足90o<α<180o且逐渐增大时，斜率k逐渐增大. 练一练： 已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率. （2） 参考答案: 根据直线的斜率公式可知k=tanα=tan30°=； k=tanα=tan120°=. 任务2：根据直线的斜率计算公式求解下列直线的斜率，并判断倾斜角. 如图，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 参考答案： 直线AB的斜率kAB==； 直线BC的斜率kBC===-； 直线CA的斜率kCA===1． 由kAB>0及kCA>0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角； 由kBC<0可知，直线BC的倾斜角为钝角． 任务3：探究直线方向向量与斜率的关系. 问题1：如图所示，如何用P1、P2的坐标表示该直线的方向向量？ 参考答案：我们知道，直线P1P2上的向量及与它平行的向量都是直线的方向向量. 直线P1P2的方向向量的坐标为. 问题2：该直线的方向向量与其斜率k有什么关系？ 参考答案：当直线P1P2与x轴不垂直时，. 此时向量也是直线P1P2的方向向量，且它的坐标为即其中k是直线P1P2的斜率．因此，若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则.
学习总结
任务：根据下列问题，构建知识导图. 回顾本课，我们学了关于直线倾斜角与斜率的哪些内容？学习路径是怎样的？ 参考答案：
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