课时5 直线的一般式方程
学习目标 1.了解直线一般式方程，理解其与二元一次方程的关系，能正确进行一般式与特殊形式的转化. 2.理解一般式下直线平行垂直的判断条件，能运用直线的一般式方程解决有关问题.
学习活动
目标一：了解直线一般式方程，理解其与二元一次方程的关系，能正确进行一般式与特殊形式的转化. 任务1：探索直线方程与二元一次方程的关系，推导直线一般式方程. 直线方程类型表达式适用条件点斜式斜截式两点式截距式
参考答案： 直线方程类型表达式适用条件点斜式存在.斜截式存在.两点式直线不垂直于x，y轴.截距式直线与x，y轴都有交点，且不经过原点.
思考： 1.上述直线方程都是二元一次方程吗？是不是所有直线都可以用关于x，y的二元一次方程表示？ 2.任意一个关于x，y的二元一次方程都可以转化为直线方程的斜截式吗？该方程能表示一条直线吗？ 参考答案： 1.设任意一条直线l，在其上任取一点，当直线l的斜率为k时，其方程为，这是关于x，y的二元一次方程，当直线l的斜率不存在，即直线l的倾斜角时，直线方程为，该方程可以看成是y的系数为零的关于x，y的二元一次方程. 2.当B≠0时，方程Ax+By+C=0可变形为,表示过点，斜率为的直线.当B＝0，A≠0时，方程Ax+By+C=0可变形为,其表示过点，且垂直于x轴的直线. 综上可知，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线. 【归纳总结】 1.我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式，简称一般式. 2.直线一般式方程的结构特征： ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． ④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程． 任务2：探索直线的一般式方程化为其他形式方程的条件. 问题： 1.直线方程的一般式Ax+By+C=0如何转化为y=kx+b形式？ 2.直线方程的一般式Ax+By+C=0如何转化为形式？参考答案： 1.当B≠0时，直线方程Ax+By+C=0可变形为，此时有. 2.当ABC≠0时，直线方程Ax+By+C=0可变形为，此时有. 【归纳总结】 练一练 已知直线经过A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程. 参考答案： 解：经过A（6，-4），斜率为的直线的点斜式方程是，化为一般式，得4x+3y-12=0.
目标二：理解一般式下直线平行垂直的判断条件，能运用直线的一般式方程解决有关问题. 任务1：推导直线与坐标轴平行、重合时一般式方程系数的特点. 在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表示的直线： (1)平行于x轴？(2)平行于y轴？(3)与x轴重合？(4)与y轴重合？ 参考答案： 当A=0时,方程变为y=-,当C≠0时表示的直线平行于x轴,当C=0时与x轴重合; （2）当B=0时,方程变为x=-,当C≠0时表示的直线平行于y轴,当C=0时与y轴重合. 任务2：推导两直线平行、垂直时一般式方程系数的关系. 设直线方程为,其中，直线方程为，其中. 1.当时，两直线方程的系数之间有什么关系？ 2.当时，两直线方程的系数之间有什么关系？ 参考答案：1.若且不重合时，则,即或；若与重合时，则. 2.直线方程可化为，直线方程可化为.若则即. 【归纳总结】 任务3：利用两直线平行、垂直系数的关系，求参数. （1）已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求实数m的值; （2）已知直线l1：(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2： (a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求实数a的值. 参考答案： 解:(1)由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.当m=-3时,l1： x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,显然l1与l2不重合,∴l1∥l2. 同理,当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合,l1∥l2, 故m的值为2或-3. (2)由直线l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1. 故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2. 【归纳总结】 利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略: 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0. 练一练： 已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋（a＋1）y＋1＝0，若l1∥l2，求a的值. 参考答案： 解：∵l1∥l2，∴a（a＋1）＝6，解得：a＝－3或2， a＝2时，直线l1：2x＋3y＋1＝0，l2：2x＋3y＋1＝0，l1与l2重合，舍去；a＝－3时，直线l1：－3x＋3y＋1＝0，l2：2x－2y＋1＝0，l1∥l2，符合题意，所以a＝－3.
学习总结
任务：根据下列“关键词”，构建知识导图. “一般式”、“平行”、“垂直” 参考答案：课时5 直线的一般式方程
学习目标 1.了解直线一般式方程，理解其与二元一次方程的关系，能正确进行一般式与特殊形式的转化. 2.理解一般式下直线平行垂直的判断条件，能运用直线的一般式方程解决有关问题.
学习活动
目标一：了解直线一般式方程，理解其与二元一次方程的关系，能正确进行一般式与特殊形式的转化. 任务1：探索直线方程与二元一次方程的关系，推导直线一般式方程. 直线方程类型表达式适用条件点斜式斜截式两点式截距式
思考： 1.上述直线方程都是二元一次方程吗？是不是所有直线都可以用关于x，y的二元一次方程表示？ 2.任意一个关于x，y的二元一次方程都可以转化为直线方程的斜截式吗？该方程能表示一条直线吗？ 【归纳总结】 任务2：探索直线的一般式方程化为其他形式方程的条件. 问题： 1.直线方程的一般式Ax+By+C=0如何转化为y=kx+b形式？ 2.直线方程的一般式Ax+By+C=0如何转化为形式？ 【归纳总结】 练一练 已知直线经过A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.
目标二：理解一般式下直线平行垂直的判断条件，能运用直线的一般式方程解决有关问题. 任务1：推导直线与坐标轴平行、重合时一般式方程系数的特点. 在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表示的直线： (1)平行于x轴？(2)平行于y轴？(3)与x轴重合？(4)与y轴重合？ 任务2：推导两直线平行、垂直时一般式方程系数的关系. 设直线方程为,其中，直线方程为，其中. 1.当时，两直线方程的系数之间有什么关系？ 2.当时，两直线方程的系数之间有什么关系？ 【归纳总结】 任务3：利用两直线平行、垂直系数的关系，求参数. （1）已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求实数m的值; （2）已知直线l1：(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2： (a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求实数a的值. 【归纳总结】 利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略: 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 练一练： 已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋（a＋1）y＋1＝0，若l1∥l2，求a的值. 参考答案：
学习总结
任务：根据下列“关键词”，构建知识导图. “一般式”、“平行”、“垂直”
