点到直线距离公式、两条平行直线间的距离
学习目标 1.掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题. 2.利用点到直线距离公式推导平行线间的距离公式，并能应有平行线间距离公式求解相关问题.
学习活动
导入：在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短 目标一：掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题. 任务1：推导点到直线距离公式. 如图所示，将上述情境问题抽象成数学问题，设乡村饭馆的位置为点，公路为直线l：Ax+By+C=0，过P做线段PQ⊥l，交l于点Q，求点P到直线l的距离即|PQ|的长度. 问题1：如何求Q点坐标？ 问题2：如何求|PQ| 思考：若设垂足Q（x，y），则，其几何意义是什么？结合上述方程组，能否直接求出，进而求出|PQ| 【归纳总结】 设而不求： 向量是解决距离、角度问题的有力工具，如何利用向量法求点到直线的距离？如图所示，点M（x，y）是直线l上的任意一点，是与直线l的方向向量垂直的单位向量，是在上的投影向量. 问题1.如何求出向量？ 问题2.如何求？ 【归纳总结】 点到直线距离公式： 思考：比较上述两种方法，说说二者的区别是什么？ 任务2：利用点到直线距离公式求三角形面积. 如图，已知的三个顶点分别是. 问题1.求三角形面积的思路是什么？ 问题2.该如何求出的面积？ 思考：在运用点到直线距离公式时，有哪些注意事项？它是适用于任意直线吗？ 【归纳总结】
目标二：利用点到直线距离公式推导平行线间的距离公式，并能应有平行线间距离公式求解相关问题. 任务：利用点到直线距离公式求两平行线间的距离公式. 已知两条平行直线：2x-y+1=0,：2x-y-3=0,求与间的距离. 问题：两平行线间的距离有什么特点？据此思考该如何求解？ 思考：根据上述求解过程，思考如何求解两平行直线与间的距离？ 【归纳总结】 两平行直线与间的距离公式： 练一练： 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ） B． C． D．
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 点到直线距离公式是什么？用什么方法推导？ 什么是设而不求？有什么作用？ 两平行线间的距离公式是什么？
2点到直线距离公式、两条平行直线间的距离
学习目标 1.掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题. 2.利用点到直线距离公式推导平行线间的距离公式，并能应有平行线间距离公式求解相关问题.
学习活动
导入：在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短 目标一：掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题. 任务1：推导点到直线距离公式. 如图所示，将上述情境问题抽象成数学问题，设乡村饭馆的位置为点，公路为直线l：Ax+By+C=0，过P做线段PQ⊥l，交l于点Q，求点P到直线l的距离即|PQ|的长度. 问题1：如何求Q点坐标？ 参考答案：设，.由，以及直线l的斜率为，可得l的垂线PQ的斜率为，因此，垂线PQ的方程为，即.解方程组，得直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为. 问题2：如何求|PQ| 参考答案： . 因此，点到直线的距离.可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立. 思考：若设垂足Q（x，y），则，其几何意义是什么？结合上述方程组，能否直接求出，进而求出|PQ| 参考答案：几何意义：P、Q两点的距离；将方程组配成形式，即，然后方程组两边平方相加得，，所以，即 【归纳总结】 设而不求：在平面几何中，（1）设出问题中的关键变量，（2）列出有关关系式；（3）整体代换求出最后结果. 例如在上述问题中我们设出关键变量Q的坐标（x,y），然后通过两点距列出关系式，在结合已知整体代换，进而求的点到直线距离. 向量是解决距离、角度问题的有力工具，如何利用向量法求点到直线的距离？如图所示，点M（x，y）是直线l上的任意一点，是与直线l的方向向量垂直的单位向量，是在上的投影向量. 问题1.如何求出向量？ 参考答案：设，是直线上的任意两点，则是直线l的方向向量，把，两式相减，得.由平面向量的数量积运算可知，向量与向量垂直.向量就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量.我们取. 问题2.如何求？ 参考答案： . 因为点在直线l上，所以.所以.代入上式，得.因此. 【归纳总结】 点到直线距离公式：若点到直线l：的距离. 思考：比较上述两种方法，说说二者的区别是什么？ 参考答案：略. 任务2：利用点到直线距离公式求三角形面积. 如图，已知的三个顶点分别是. 问题1.求三角形面积的思路是什么？ 参考答案：略 问题2.该如何求出的面积？ 参考答案：解：如图，设边AB上的高为h，则. .边AB上的高就是点到直线AB的距离.边AB所在直线的方程为，即. 点到直线的距离.因此，. 思考：在运用点到直线距离公式时，有哪些注意事项？它是适用于任意直线吗？ 【归纳总结】 运用此公式时要注意直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. 当点在直线上时，点到该直线的距离为0，公式仍然适用. 直线方程 Ax +By + C=0中，A=0或B=0公式也成立.但由于此时的直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可以用数形结合求解.
目标二：利用点到直线距离公式推导平行线间的距离公式，并能应有平行线间距离公式求解相关问题. 任务：利用点到直线距离公式求两平行线间的距离公式. 已知两条平行直线：2x-y+1=0,：2x-y-3=0,求与间的距离. 问题：两平行线间的距离有什么特点？据此思考该如何求解？ 参考答案：解：(1)两平行线间的距离处处相等；（2）不妨先求直线与y轴的交点A的坐标，易知A（0,1），所以点A到直线的距离为.所以与间的距离为. 思考：根据上述求解过程，思考如何求解两平行直线与间的距离？ 参考答案：在直线上任取一点，点到直线的距离就是这两条平行直线间的距离.即,因为在直线上，所以，即，因此. 【归纳总结】 两平行直线与间的距离公式：. 注：在运用两平行线间的距离公式时，两条直线方程要化为一般式，同时x、y的系数必须相同. 练一练： 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ） B． C． D． 参考答案：由可得，由平行线间距离公式可得：它们之间的距离为，故选：C.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 点到直线距离公式是什么？用什么方法推导？ 什么是设而不求？有什么作用？ 两平行线间的距离公式是什么？ 参考答案：
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