圆的标准方程
学习目标 1.了解确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程，能根据圆的定义求出圆的标准方程.理解点与圆位置关系的条件，能判断点与圆的位置关系. 2.能根据所给条件求圆的标准方程，掌握圆的标准方程的求法.
学习活动
导入： 《古朗月行》 唐 李白 小时不识月，呼作白玉盘。 又疑瑶台镜，飞在青云端。 月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示 目标一：了解确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程，能根据圆的定义求出圆的标准方程.理解点与圆位置关系的条件，能判断点与圆的位置关系. 任务1：探究圆的标准方程. 回顾：（1）什么是圆？在数学中是如何定义圆的？ （2）根据定义，说说确定圆的几何要素是什么？ 如图，在平面直角坐标系中，圆的坐标为，半径为，为圆上任意一点. 问题1：如何用集合语言描述圆的定义？ 问题2：根据上述集合语言刻画的定义，如何用关于x，y的方程式表示圆的定义呢？ 【归纳总结】 圆的标准方程： 练一练： 1.说出下列方程所表示圆的圆心坐标和半径. （1）； （2）； （3）； （4）. 【知识拓展】 几种特殊位置的圆的标准方程： （1）单位圆： （2）过原点的圆： （3）圆心在原点的圆： （4）与x轴相切的圆 （5）与y轴相切的圆： 2.下列方程是否能表示圆. （1）； （2）； （3）； （4）. 【归纳总结】 任务2：求圆的标准方程，判断点与圆的位置关系. 求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上. 问题：点既然不在圆上，那么其与圆的具体位置关系是圆内还是圆外？说出理由. 思考：结合上面判断点与圆位置关系的方法，点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？ 【归纳总结】 练一练： 点P(-2,-2)和圆的位置关系是( ) 在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都不对
目标二：能根据所给条件求圆的标准方程，掌握圆的标准方程的求法. 任务1：探索已知圆上三点坐标，求圆的标准方程的方法. 的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程. 问题1：设出圆的标准方程，说说在标准方程中，有几个未知数？ 问题2：结合已知条件，如何求出上面的未知数？ 思考：已知圆上三个点的坐标给如何求解圆的标准方程？ 【归纳总结】 圆的标准方程求法. （1）待定系数法： 任务2：探索利用圆的几何性质，求圆的标准方程的方法. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上，求此圆的标准方程. 思考1：解法一的解题思路的关键是什么？ 思考2：解法二的解题思路的关键是什么？ 【归纳总结】 圆的标准方程的求法： 几何法： 练一练 △ABC的三个顶点的坐标是A(4，0)，B(0，2)，C(0，0). 求它的外接圆的标准方程.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 圆的标准方程是什么？ 点与圆的位置关系有有多少种，如何判断？ 如何求圆的标准方程？
2圆的标准方程
学习目标 1.了解确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程，能根据圆的定义求出圆的标准方程.理解点与圆位置关系的条件，能判断点与圆的位置关系. 2.能根据所给条件求圆的标准方程，掌握圆的标准方程的求法.
学习活动
导入： 《古朗月行》 唐 李白 小时不识月，呼作白玉盘。 又疑瑶台镜，飞在青云端。 月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示 目标一：了解确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程，能根据圆的定义求出圆的标准方程.理解点与圆位置关系的条件，能判断点与圆的位置关系. 任务1：探究圆的标准方程. 回顾：（1）什么是圆？在数学中是如何定义圆的？ 参考答案：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点成为圆心，定长称为圆的半径. （2）根据定义，说说确定圆的几何要素是什么？ 参考答案：圆心和半径.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 如图，在平面直角坐标系中，圆的坐标为，半径为，为圆上任意一点. 问题1：如何用集合语言描述圆的定义？ 参考答案：： 问题2：根据上述集合语言刻画的定义，如何用关于x，y的方程式表示圆的定义呢？ 参考答案：根据两点间的距离公式，点M的坐标满足的条件可以表示为，两边平方，得. 【归纳总结】 圆的标准方程： 圆心为A(a,b），半径为r的圆的标准方程为. 注：（1）圆的标准方程满足两个条件：①圆上任意一点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都在圆上. 已知圆心坐标和半径，可以直接写出圆的标准方程；反之，已知圆的标准方程也可以求出圆心坐标和半径. 练一练： 1.说出下列方程所表示圆的圆心坐标和半径. （1）； （2）； （3）； （4）. 参考答案：（1）圆心为（1，-1），r=1.（2）圆心为（0，-2），r=. （3）圆心为（-1，0），r=. （4）圆心为（-a，0），r=. 【知识拓展】 几种特殊位置的圆的标准方程： （1）单位圆：圆心在原点，半径r=1，； （2）过原点的圆：圆心（a，b），半径，； （3）圆心在原点的圆：即a=0，b=0，半径r>0，； （4）与x轴相切的圆：圆心（a，b），半径r=|b|，； （5）与y轴相切的圆：圆心（a，b），半径r=|a|，. 2.下列方程是否能表示圆 （1）； （2）； （3）； （4）. 参考答案：（1）能；（2）能；（3）不能；（4）不能. 【归纳总结】 圆的标准方程特点： 1.含x,y平方式的系数都为1； 2.方程右边是某个实数的平方，即为正数. 任务2：求圆的标准方程，判断点与圆的位置关系. 求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上. 参考答案：解：圆心为，半径为5的圆的标准方程是. 把点的坐标代入方程的左边，得，左右两边相等，点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上. 把点的坐标代入方程的左边，得，左右两边不相等，点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上. 问题：点既然不在圆上，那么其与圆的具体位置关系是圆内还是圆外？说出理由. 参考答案：将点的坐标代入到圆方程的左边可得，则点在圆内. 思考：结合上面判断点与圆位置关系的方法，点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？ 【归纳总结】 判断点与圆位置关系的方法： 点在圆上； 点在圆内； 点在圆外. 练一练： 点P(-2,-2)和圆的位置关系是( ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都不对 参考答案：将点P的坐标代入圆的方程,则,故点P在圆外.
目标二：能根据所给条件求圆的标准方程，掌握圆的标准方程的求法. 任务1：探索已知圆上三点坐标，求圆的标准方程的方法. 的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程. 问题1：设出圆的标准方程，说说在标准方程中，有几个未知数？ 参考答案：解：设所求的方程是，有3个未知数，分别是a，b，c. 问题2：结合已知条件，如何求出上面的未知数？ 参考答案：解：设所求的方程是.因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程.于是，即.三式两两相减，得，解得，代入，得.所以，的外接圆的标准方程是. 思考：已知圆上三个点的坐标给如何求解圆的标准方程？ 【归纳总结】 圆的标准方程求法. （1）待定系数法： 由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是: ①设——设所求圆的方程为； ②列——由已知条件,建立关于a，b，r的方程组; ③解——解方程组,求出a，b，r； ④代——将a，b，r代入所设方程,得所求圆的方程. 任务2：探索利用圆的几何性质，求圆的标准方程的方法. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上，求此圆的标准方程. 参考答案：解法1：设圆心C的坐标为.因为圆心C在直线上，所以.①因为A，B是圆上两点，所以.根据两点间距离公式，有，即.② 由①②可得，. 所以圆心C的坐标是.圆的半径.所以，所求圆的标准方程是. 解法2：如图，设线段AB的中点为D. 由A，B两点的坐标为，，可得点D的坐标为，直线AB的斜率为.因此，线段AB的垂直平分线的方程是，即.由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解.解这个方程组，得.所以圆心C的坐标是.圆的半径. 所以，所求圆的标准方程是. 思考1：解法一的解题思路的关键是什么？ 参考答案：根据已知以及半径相等两个条件求出圆心的坐标. 思考2：解法二的解题思路的关键是什么？ 参考答案：理解圆上弦的中点与圆心的连线垂直该弦所在的直线，然后据此求出圆心过弦AB中点的直线方程，进而联立两直线方程求出圆心坐标. 【归纳总结】 圆的标准方程的求法： （2）几何法 它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程. 练一练 △ABC的三个顶点的坐标是A(4，0)，B(0，2)，C(0，0). 求它的外接圆的标准方程. 参考答案：解法一：设所求圆的方程为：，因为A(4,0)，B(0,2)，C(0,0)都在圆上，所以，解得；所以圆的方程为. 解法二：由题可知△ABC为直角三角形，圆心为斜边AB中点(2,1)，直径2r=|AB|=，所以圆的方程为.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 圆的标准方程是什么？ 点与圆的位置关系有有多少种，如何判断？ 如何求圆的标准方程？ 参考答案：
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