课时2 直线与圆的位置关系
学习目标 能利用直线与圆位置关系解决实际问题.
学习活动
导入：一个台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区的时间为多长？ 目标：能利用直线与圆位置关系解决实际问题. 任务1：利用坐标法解决建筑的高度问题. 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m). 思考1：结合上述的建系过程，讨论该如何建立合适的平面直角坐标系？ 【归纳总结】 问题：如何利用综合法（几何法）求解该问题？ 思考2：比较上述两种方法，它们各自有什么特点？ 任务2：利用直线与圆的位置关系判断航程安全问题. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 问题1：结合已知，画出示意图，如何将其转化为数学问题？ 问题2：轮船的航线与圆的位置关系是什么？ 思考：结合任务1、任务2讨论如何利用坐标法解决平面几何问题？ 【归纳总结】 坐标法解决平面几何问题基本步骤： 练一练 一个台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B是否处于危险区，如果是，时长为多少？
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 如何利用坐标法求解直线与圆的实际问题？ 坐标法与综合法（几何法）在解决直线与圆的问题中的特点是什么？
2课时2 直线与圆的位置关系
学习目标 能利用直线与圆位置关系解决实际问题.
学习活动
导入：一个台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区的时间为多长？ 目标：能利用直线与圆位置关系解决实际问题. 任务1：利用坐标法解决建筑的高度问题. 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m). 参考答案：解：建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上. 由题意得，点P，B的坐标分别为（0,4)，(10,0),设圆心坐标是(0,b),圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2 .因为P,B两点都在圆上，所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x2+(y-b)2=r2.于是，得 到方程组 解得b=－10.5, r2=14.52所以,圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.把点的横坐标x=-2代入圆的方程，得，即.所以 答：支柱的高度约为3.86 m. 思考1：结合上述的建系过程，讨论该如何建立合适的平面直角坐标系？ 【归纳总结】 ①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴. ②常选特殊点作为直角坐标系的原点. ③尽量使已知点位于坐标轴上. 问题：如何利用综合法（几何法）求解该问题？ 解：如图，过点作，垂足为，所以|OP|=4，|OA|=10，点C为圆拱所在圆的圆心. 在Rt△AOC中，有，解得r=14.5. 在中，有，因为，所以，又因为OC=14.5-4=10.5，于是 答：支柱的高度约为3.86 m. 思考2：比较上述两种方法，它们各自有什么特点？ 参考答案：坐标法：通过建立坐标系，将问题转化为代数问题，然后通过代数运算求解，方法具有普适性；综合法（几何法）：需要熟悉几何图形的性质，然后通过添加辅助线，运用垂径定理、勾股定理等有关性质定理计算求解，技巧性较高，不宜掌握. 任务2：利用直线与圆的位置关系判断航程安全问题. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 问题1：结合已知，画出示意图，如何将其转化为数学问题？ 参考答案： 如图， 根据题意，建立适当的平面直角坐标系，圆形区域表示暗礁所在区域，箭头表示轮船返港的路线，问题转化为利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险． 问题2：轮船的航线与圆的位置关系是什么？ 参考答案：解法1.以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3),轮船所在位置的坐标为(4,0). 则暗礁所在圆形区域边缘对应圆O的方程为 ,其圆心坐标（0，0），半径为2；轮船航线所在直线l方程为 ，即.联立直线与圆的方程，得，消去y，得，由，可知方程组无解。所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险. 解法2.在解法1的基础上，利用点到直线距求得圆形O到直线l的距离，可知直线l与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险. 解法3.如图过O做直线AB的垂线，设其长度为d. 由题可知AB=5，利用等面积法求得,因此直线l与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险. 思考：结合任务1、任务2讨论如何利用坐标法解决平面几何问题？ 【归纳总结】 坐标法解决平面几何问题基本步骤： 1.建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素； 2.代数运算，得到相关代数结果； 3.把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 练一练 一个台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B是否处于危险区，如果是，时长为多少？ 参考答案：以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系. 由题意可知，台风的轨迹为过A点，倾斜角为45°的直线l方程：y=x.以B(40,0)为圆心，30为半径的圆的方程为，所以圆心B到直线l的距离，所以城市B处于危险区，利用弦长公式可求得弦长为20，所以t=1.故城市B是否处于危险区，且时长为1h.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 如何利用坐标法求解直线与圆的实际问题？ 坐标法与综合法（几何法）在解决直线与圆的问题中的特点是什么？ 参考答案：
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