高二数学第一次月考答案
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确
的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 集合 A x x 1 0 ，集合 B 0,1,2 ，则 A B （ ）
A. 1,0,1 B. 0,1 C. 0,1,2 D. 1,0,1,2
【答案】B
2. 已知 a (1,2),b ( 2, x)，若 a∥b，则 x （ ）
A. 1 B. 4 C. -1 D. -4
【答案】D
3. 已知抛物线 x2 8y上一点 P的横坐标为 4，则点 P到焦点的距离为（ ）
A. 4 B. 2 C. 6 D. 8
【答案】A
4. 若复数 z 5 ，则下列说法错误的是（ ）
3 4i
A. z 3的实部为 B. z 4的虚部为 i C. z 1 D. z对应的点在复平面第四象限
5 5
【答案】B
5. （教材原题）已知 A与 B是两个事件， A B， P(A) 0.3， P(B) 0.6，则 P(AB) （ ）
A. 0.18 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6
【答案】C
【解析】 P(AB)
P(AB) P(A)
0.5
P(B) P(B)
6. 从 4个男生和 4 个女生中挑选 3个人组成小组参加歌唱比赛，要求至少 2个女生参与，则不同的小组
组成方式有（ ）种
A. 20 B. 28 C. 36 D. 44
【答案】B
【解析】情况 1，2女 1男，有C14C
2
4 24种；情况 2，3女，有C
3
4 4种，共 28种.
7. 截角四面体可由四面体经过适当的截角而得到．如图所示为一个正
四面体，作平行于各个面的截面截角得到一个所有棱长均为 2的截
角四面体，则该截角四面体的体积为（ ）
A. 40 220 2 B.
3
C. 40 2 D.
46 2
3
试卷第 1页，共 7页
{#{QQABIQyQogiAAoBAABgCAQUyCgIQkAGAAIoGAFAEMAAAiBFABAA=}#}
【答案】D
2
【解析】大正四面体的体积为 63 18 2 2 2 2，小正四面体的体积为 23 ，
12 12 3
2 2 46 2
则截角四面体的体积为18 2 4
3 3
8. （作业原题）设函数 f (x) ax3 3x 1(a 1)，若对于 x [ 1,1]都有 f (x) 0成立，则 a （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】法一：直接求导法
1
f (x) 3ax2 1 3 3a(x2 )，令 f (x) 0得 x ，
a a
x 1 1 1 ( 1, )时， f (x) 0， f (x)单调递增； x ( , )时， f (x) 0， f (x)单调递减；
a a a
f ( 1) a 4 0
x ( 1 ,1) 1
时， f (x) 0 ， f (x)单调递增；故 f (x)
a min
f ( 1)或f ( )，只需 1 2 a 4a f ( ) 1 0 a a
法二：分离参数法
x (0,1]
3 1
时，a 2 3
f (x) 0 x x t 1 ，令 ( , 1] [1, )， g(t) 3t 2 t3， g (t) 6t 3t 2 3t(2 t)
3 1 x
x [ 1,0)时，a
x2 x3
t 1时， a g(t)max g(2) 4； t 1时， a g(t)min g( 1) 4，所以 a 4 .
二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共计 18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 已知一组不全相等的样本数据 x1, x2 ,..., xn ，由 yk 2xk 1(k 1,2,...,n) 生成一组新的样本数据
y1, y2 ,..., yn ，则新数据与原数据中可能相等的量有（ ）
A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差
【答案】BC
【解析】不妨设 x1 x2 ... xn ，则 x1, x2 ,..., xn 的极差为 xn x1 ， y1, y2 ,..., yn 的极差为 2(xn x1)，因为
x1, x2 ,..., xn 不全相等，所以 xn x1 0， 2(xn x1) xn x1，A错误；
设 x1, x2 ,..., xn 的平均数为 x，则 y1, y2 ,..., yn 的平均数为 2x 1，当 x 1时， 2x 1 x，B正确；
n 3时，取 x1, x2 ,..., xn 为 2, 1,0， y1, y2 ,..., yn 为 3, 1,1，他们的中位数相等，C正确；
设 x1, x2 ,..., xn 的标准差为 s，则 y1, y2 ,..., yn 的标准差为 4s，因为 x1, x2 ,..., xn 不全相等，所以 s 0， 4s s，
D错误.
试卷第 2页，共 7页
{#{QQABIQyQogiAAoBAABgCAQUyCgIQkAGAAIoGAFAEMAAAiBFABAA=}#}
10. 连掷一枚均匀骰子两次，第一、二次所得向上的点数分别为 a，b，记m a b，事件 A为“m 7”，
事件 B为“ a 3”，下列说法正确的是（ ）
A 1 1． P(A) B． P(B)
6 6
C． P(AB) 1 D．事件 A与事件 B互为独立事件
36
【答案】ABD
【解析】 n( ) 62 36， A {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}， n(A) 6，
B {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}， n(B) 6， AB (3,4) ， n(AB) 1，
P(A) n(A) 1所以 ，A正确； P(B)
n(B) 1
n( ) 6 n( ，B正确； ) 6
P(AB) n(AB) 1 P(A)P(B) 1 P(AB)
n(B) 6 ，C错误； ，D正确.36
11. 3 1（作业原题改编）对于式子 (x2 )n ( x)2n (n N*2 )，以下判断正确的有（ ）x x
A. 存在 n N*，使得展开式中没有常数项
B. 对任意 n N* ，展开式中有常数项
C. 存在 n N*，使得展开式中有 x的一次项
D. 对任意 n N* ，展开式中没有 x的一次项
【答案】BD
C k (x2 )n k ( 3 )k C r (1 )2n r x r C kC r 3k x2n 2k x 2k x 2n r x r C kC r 3k x2(r 2k )【解析】展开式通项为 n x2 2n x n 2n n 2n
其中 k 0,1,2,...,n，r 0,1,2,...,2n，当 r 2k时，存在常数项，A错误，B正确，
2(r 2k)为偶数，不存在一次项，C错误，D正确.
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
12. S已知正项等差数列 an 的前 n项和为 S 5n ，则 ______.2a2 a5
5
【答案】
3
S5 5
【解析】法一：特值法，令 an 1，易知 2a2 a5 3
S5 5a3 5a3 5
法二：基本量法， 2a2 a5 2(a3 d ) a3 2d 3a3 3
试卷第 3页，共 7页
{#{QQABIQyQogiAAoBAABgCAQUyCgIQkAGAAIoGAFAEMAAAiBFABAA=}#}
13. （作业原题）如图是一组数据 (x, y)的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与 x
之间的经验回归方程为 y 0.8x a ，则 a ______.
【答案】1
x 0 1 3 4 2, y 0.9 1.9 3.2 4.4【解析】 2.6，
4 4
带入经验回归方程得 a 2.6 0.8 2 1
14. 已知圆 C1 : x
2 y2 1，圆 C : x22 y
2 2x，过 C2 上一点 P 作 C2 的切线与 C1交于 A,B 不同两点，
C1Q C1A C1B，点 R的坐标为 ( 1,0)，则 QR 的取值范围为______.
2
【答案】 [ , 5)
2
【解析】如图，不妨设 PC2S (0 )，OC1 r，QC1 2r，2
AB中点为 O，则C1O AB，又C2P AB，所以C1O∥C2P，
cos PC 2 1 1 r 1 cos
所以 SC2 SC1 1 r 1 ，
cos
在 QC1R中，由余弦定理有
QR2 12 4r 2 2 2r cos 1 4(1 cos )2 4(1 cos )cos 8cos2 12cos 5，
因为 cos (0,1]，所以8cos2 12cos 5
1
[ ,5) QR [ 2，所以2 , 5)2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）
已知函数 f x 1 x3 2ax2 3x，曲线 y f x 在点 A 1, f 1 处的切线平行于直线 y 8x 7 .
3
(1)求 a的值；(2)求函数 f x 的极值.
2
【解析】（1） f x x 4ax+3，由题意有 f 1 4a 4 8，∴ a 1；
2 1 f x x2（ ）由（ ）可得 4x 3 x 1 x 3 ，令 f (x) > 0得 x 3或 x 1，列表如下：
x ,1 1 1,3 3 3,
f x + 0 0 +
f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴极大值为 f 1 4 ，极小值为 f 3 0 .
3
试卷第 4页，共 7页
{#{QQABIQyQogiAAoBAABgCAQUyCgIQkAGAAIoGAFAEMAAAiBFABAA=}#}
16. （15分）
在 ABC中，角 A , B , C所对的边分别为 a ,b ,c ,记 ABC的面积为S，已知 3 AB AC 2S .
(1)求角A的大小；(2)若a 2 3，求b2 c2 的最大值.
【解析】（1）因为 3 AB AC 2S，所以 3bccosA bcsinA，
π
可得 tanA 3， 因为 0 A π，所以 A .3
2 2 2
（2）由余弦定理可知 a b c 2bccos
π
，即12 b2 c2 bc，
3
b2 c2 b2 c2
因为b2 c2 2bc，所以bc ，所以 bc b2 c 2 12≤ ，可得b2 c2 ≤ 24，
2 2
当且仅当 b c 2 3时，等号成立，所以b2 c2 的最大值为 24 .
17. （15分）
为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新
建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速
道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共 1000 a
辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)试根据频率分布直方图，求 a的值以及样本中的这 1000辆机动
车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；
(2) V N , 2设该公路上机动车的行车速度 服从正态分布 ，其中
， 2分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差 s2 (经计算 s2 14.52 ).
(i)请估计该公路上 10000辆机动车中车速不低于 85千米/时的车辆数(精确到个位)；
(ii)现从经过该公路的机动车中随机抽取 10辆，设车速低于 85千米/时的车辆数为 X ，求 X 的数学期望.
~ N , 2附注：若 ，则 P 0.6827， P 2 2 0.9545，
P 3 3 0.9973 .
【解析】（1） (0.010 2 0.015 2 a 0.030) 10 1 a 0.020
v (45 0.01 55 0.015 65 0.02 75 0.03 85 0.015 95 0.01) 10 70.5千米/时.
（2）由（1）及题设知：V N (70.5,210.25)，则 70.5, 14.5，
（i）P(v 85) P(v
1 P( v )
) 0.15865，
2
∴10000辆机动车中车速不低于 85千米/时的车辆数10000 0.15865 1587辆.
（ii）由（2）知：车速低于 85千米/时的概率为 P 1 0.15865 0.84135，故 X B(10,0.84135),
∴ E(X ) 10 0.84135 8.4135 .
试卷第 5页，共 7页
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18. （17分）
x2 y2
已知椭圆 2 2 1（ a b 0）经过 A(2,0)， B(0,1)，C(0, 1)， D( 2,1)四个点中的三个.a b
(1)求椭圆的方程与离心率；
(2)过点 B的直线 l与线段 AC（不含端点）交于点 M，与椭圆交于点 E，
(i) BM 13若 ，求直线 l的斜率；
2
S
(ii) MAB若 5S ，求直线 l的斜率. MCE
x2 3
【解析】(1)易知椭圆过 A(2,0)， B(0,1)，C(0, 1)三点，方程为 y2 1，离心率为 ；
4 2
(2)(i)易知 lAC : y
1 x 1 M (t, 1 ，设 t 1), t (0,2)，
2 2
BM 2 t 2 (1 t 1 1)2 5 t 2 2t 4 13 t 1 3 1 3 7 或 M (1, )或( , )
2 4 4 5 2 5 10
1 7
1 1
l 2 3 10
17
所以直线 的斜率为 或 3
1 2 65
1 t 1 1
(ii) l : y 2BM x 1
1 2
即y ( )x 1，
t 2 t
8t 2t 2
与椭圆联立得 (t 2 4t 8)x2 (2t 2 8t)x 0，解得 xE t 2 4t 8
1
S MA MB sin AMB 2 MAB MA MB (x x )(x x ) (2 t)t (2 t)(t 4t 8) 2 A M M B
S MCE 1 MC ME sin CME MC ME (x x )(x x ) 8t 2t
2 8t 2t 2 t(t 2M C E M t( t) 4t 8)2 t 2 4t 8
(2 t)(t 2 4t 8) t 2 4t 8
2 2 5 t 1或 2(舍)t (2 t) t
1
1
所以直线 l的斜率为 2 3
1 2
试卷第 6页，共 7页
{#{QQABIQyQogiAAoBAABgCAQUyCgIQkAGAAIoGAFAEMAAAiBFABAA=}#}
19. （17分）
某商城进行促销活动，购买某产品的顾客可以参加一次游戏：在一个不透明箱子中放入红、蓝、黄三
种颜色的小球各 1个，顾客从中有放回地取出小球，直到取出的小球集齐了三种颜色则停止取球. 设顾客停
止取球时，取过的小球次数为 X，
(1)求 P(X 3)；
(2)设 n 3，数列 an P(X n)，求 an 的通项公式；
(3) X 3顾客停止取球时，取过的小球次数为 X，顾客可以获得对应的 Y 元奖金，其中 Y ，
3
8 3
求证： E(Y ) .
27
【解析】(1) P(X 3) A3 (
1)3 2 3 ；3 9
(2)不妨设第 n次首次取到红球，则前 n 1次中每次都取到蓝球或黄球中的一种，但不能全取蓝球，也不能
1 2 n 1 1 n 1 1 n 1 2 1
全取黄球， an P(X n) ( ) ( ) ( ) 3 ( )
n 1 2 ( )n 1；
3 3 3 3 3 3
n 3 2 1 n 3 2
(3) E(Y ) [( )n 1 2 ( )n 1] ( )n 1 n 3 2 ( )n 1
n 3 3 3 3 n 3 3 3
n 4 3 3
n 3
下面证明： (2)n 1 n 1(2 )n 1 n (2)n
3 3 3 3
n 3
n 2 1 n
3 3
n 3
n 1 4 n 4 n(n 1)
9 9 3
2 n(n 1) 2n 1
4n2 4n 4n2 4n 1
0 1，显然成立
n 3 (2故 )n 1 n 2 2 1( )n 1 n ( )n
3 3 3 3
n 3
(2)n 1 n 1(2)n 1 n (2)n 8 3 3 3 n 4 n 4 3 3 27
试卷第 7页，共 7页
{#{QQABIQyQogiAAoBAABgCAQUyCgIQkAGAAIoGAFAEMAAAiBFABAA=}#}南雅中学 2024 年上期第一次月考试题
高二数学
时量：120分钟 分值：150分
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确
的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 集合 A x x 1 0 ，集合 B 0,1,2 ，则 A B （ ）
A. 1,0,1 B. 0,1 C. 0,1,2 D. 1,0,1,2
2. 已知 a (1,2),b ( 2, x)，若 a∥b，则 x （ ）
A. 1 B. 4 C. -1 D. -4
3. 已知抛物线 x2 8y上一点 P的横坐标为 4，则点 P到焦点的距离为（ ）
A. 4 B. 2 C. 6 D. 8
4. 5若复数 z ，则下列说法错误的是（ ）
3 4i
A. z 3 B. z 4的实部为 的虚部为 i C. z 1 D. z对应的点在复平面第四象限
5 5
5. （教材原题）已知 A与 B是两个事件， A B， P(A) 0.3， P(B) 0.6，则 P(AB) （ ）
A. 0.18 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6
6. 从 4 个男生和 4个女生中挑选 3 个人组成小组参加歌唱比赛，要求至少 2 个女生参与，则不同的小组
组成方式有（ ）种
A. 20 B. 28 C. 36 D. 44
7. 截角四面体可由四面体经过适当的截角而得到．如图所示为一个正
四面体，作平行于各个面的截面截角得到一个所有棱长均为 2的截
角四面体，则该截角四面体的体积为（ ）
A. B. 40 220 2
3
C. 46 240 2 D.
3
8. （作业原题）设函数 f (x) ax3 3x 1(a 1)，若对于 x [ 1,1]都有 f (x) 0成立，则 a （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
{#{QQABIQyQogiAAoBAABgCAQUyCgIQkAGAAIoGAFAEMAAAiBFABAA=}#}
二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共计 18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 已知一组不全相等的样本数据 x1, x2 ,..., xn ，由 yk 2xk 1(k 1,2,...,n) 生成一组新的样本数据
y1, y2 ,..., yn ，则新数据与原数据中可能相等的量有（ ）
A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差
10. 连掷一枚均匀骰子两次，第一、二次所得向上的点数分别为 a，b，记m a b，事件 A为“m 7”，
事件 B为“ a 3”，下列说法正确的是（ ）
A P(A) 1 B P(B) 1． ．
6 6
C． P(AB) 1 D．事件 A与事件 B互为独立事件
36
11. 3（作业原题改编）对于式子 (x2 2 )
n (1 x)2n (n N*)，以下判断正确的有（ ）
x x
A. 存在 n N*，使得展开式中没有常数项
B. 对任意 n N* ，展开式中有常数项
C. 存在 n N*，使得展开式中有 x的一次项
D. 对任意 n N* ，展开式中没有 x的一次项
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
12. 已知正项等差数列 an 的前 n
S
项和为 Sn ，则 5 ______.2a2 a5
13. （作业原题）如图是一组数据 (x, y)的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与 x
之间的经验回归方程为 y 0.8x a ，则 a ______.
14. 已知圆 C 2 21 : x y 1，圆 C : x
2 y22 2x，过 C2 上一点 P 作 C2 的切线与 C1交于 A,B 不同两点，
C1Q C1A C1B，点 R的坐标为 ( 1,0)，则 QR 的取值范围为______.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）
已知函数 f x 1 x3 2ax2 3x，曲线 y f x 在点 A 1, f 1 处的切线平行于直线 y 8x 7 .
3
(1)求 a的值；
(2)求函数 f x 的极值.
{#{QQABIQyQogiAAoBAABgCAQUyCgIQkAGAAIoGAFAEMAAAiBFABAA=}#}
16. （15分）
在 ABC中，角 A , B , C所对的边分别为 a ,b ,c ,记 ABC的面积为S，已知 3 AB AC 2S .
(1)求角A的大小；
(2)若a 2 3，求b2 c2 的最大值.
17. （15分）
为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该
县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共 1000辆，
对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：
a
(1)试根据频率分布直方图，求 a的值以及样本中的这 1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该
组区间的中点值代替)；
(2) 2设该公路上机动车的行车速度服从正态分布 N , ，其中 ， 2分别取自该调查样本中机动车的
平均车速和车速的方差 s2 (经计算 s2 14.52 ).
(i)请估计该公路上 10000辆机动车中车速不低于 85千米/时的车辆数(精确到个位)；
(ii)现从经过该公路的机动车中随机抽取 10辆，设车速低于 85千米/时的车辆数为 X ，求 X 的数学期望.
附注：若 ~ N , 2 ，则 P 0.6827， P 2 2 0.9545，
P 3 3 0.9973 .
{#{QQABIQyQogiAAoBAABgCAQUyCgIQkAGAAIoGAFAEMAAAiBFABAA=}#}
18. （17分）
x2 y2
已知椭圆 1（ a b 0）经过 A(2,0)， B(0,1)，C(0, 1)， D( 2,1)2 2 四个点中的三个.a b
(1)求椭圆的方程与离心率；
(2)过点 B的直线 l与线段 AC（不含端点）交于点 M，与椭圆交于点 E，
(i) 13若 BM ，求直线 l的斜率；
2
S
(ii) MAB若 5S ，求直线 l的斜率. MCE
19. （17分）
某商城进行促销活动，购买某产品的顾客可以参加一次游戏：在一个不透明箱子中放入红、蓝、黄三
种颜色的小球各 1个，顾客从中有放回地取出小球，直到取出的小球集齐了三种颜色则停止取球. 设顾客停
止取球时，取过的小球次数为 X，
(1)求 P(X 3)；
(2)设 n 3，数列 an P(X n)，求 an 的通项公式；
(3) X 3顾客停止取球时，取过的小球次数为 X，顾客可以获得对应的 Y 元奖金，其中 Y ，
3
求证： E(Y ) 8 3 .
27
{#{QQABIQyQogiAAoBAABgCAQUyCgIQkAGAAIoGAFAEMAAAiBFABAA=}#}
