抛物线及其标准方程
学习目标 1.能通过绘制抛物线的过程，确定抛物线上的点满足的几何条件，明确抛物线的几何特征，理解抛物线的概念. 2.能通过建立适当的坐标系，列出抛物线上的点的坐标满足的方程，化简得到抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题.
学习活动 学习笔记
导入： 点M到定点F的距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比为当时，点M的轨迹为椭圆；当k>1时，点M的轨迹为双曲线；当k=1时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？ 目标一：能通过绘制抛物线的过程，确定抛物线上的点满足的几何条件，明确抛物线的几何特征，理解抛物线的概念. 任务：观察几何画板，归纳曲线的几何特征. 设是定点，是不经过点的定直线.是直线上任意一点，过点作线段的垂直平分线交于点拖动点点随之运动. 抛物线 (1).mp4 问题1.点M满足什么几何条件？ 问题2.点M的轨迹是什么形状？ 【归纳总结】 抛物线的概念： 思考1.若定直线l经过点F，则动点的轨迹是什么？ 练一练： 动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线
目标二：能通过建立适当的坐标系，列出抛物线上的点的坐标满足的方程，化简得到抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题. 任务1：类比椭圆、双曲线建立适当的坐标系，推导抛物线的标准方程. 问题1.如图，类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，该如何建立平面直角坐标系？ 问题2.类比椭圆、双曲线的轨迹方程求法，结合建立的平面直角坐标系，如何求抛物线的标准方程？ 思考2：对比上述三种建系方法，哪种建系比较简单合理？ 【归纳总结】 抛物线标准方程： 任务2：完成教材P131探究，归纳抛物线标准方程的四种类型. 【归纳总结】 思考3：抛物线的四种形式的标准方程有什么相同点？如何根据抛物线的标准方程判断焦点位置？ 思考4：二次函数的图象为什么是抛物线？它的焦点坐标、准线方程分别是多少？ 练一练： 1.已知抛物线的标准方程是求它的焦点坐标和准线方程； 2.已知抛物线的焦点是求它的标准方程. 任务3：利用抛物线标准方程解决实际问题. 一种卫星接收天线如下图左所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如下图（1），已知接收天线的口径（直径）为4.8 m，深度为1 m. 问题1：如何建立适当的平面直角坐标系？ 问题2：该抛物线的标准方程和焦点坐标分别是多少？ 思考5：利用抛物线求解实际问题有哪些步骤？ 【归纳总结】 抛物线求解实际问题步骤：
学习总结
任务：回答下列问题，完成表格. 什么是抛物线？ 抛物线标准方程几种类型，对应的焦点坐标、准线方程分别是多少？
2抛物线及其标准方程
学习目标 1.能通过绘制抛物线的过程，确定抛物线上的点满足的几何条件，明确抛物线的几何特征，理解抛物线的概念. 2.能通过建立适当的坐标系，列出抛物线上的点的坐标满足的方程，化简得到抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题.
学习活动 路径与学法
导入： 点M到定点F的距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比为当时，点M的轨迹为椭圆；当k>1时，点M的轨迹为双曲线；当k=1时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？ 目标一：能通过绘制抛物线的过程，确定抛物线上的点满足的几何条件，明确抛物线的几何特征，理解抛物线的概念. 任务：观察几何画板，归纳曲线的几何特征. 设是定点，是不经过点的定直线.是直线上任意一点，过点作线段的垂直平分线交于点拖动点点随之运动. 抛物线 (1).mp4 问题1.点M满足什么几何条件？ 参考答案：（1），且 问题2.点M的轨迹是什么形状？ 参考答案：类似于抛物线. 【归纳总结】 抛物线的概念：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线. 思考1.若定直线l经过点F，则动点的轨迹是什么？ 参考答案：直线l. 练一练： 动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 参考答案：解：动点到点的距离比它到直线的距离大1，将直线向左平移1个单位，得到直线， 可得点到点的距离等于它到直线的距离． 因此点的轨迹是抛物线，故选：． 围绕导入： 1.回顾椭圆和双曲线的第二定义，然后提出问题：点M到定点F的距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比为1时，M的轨迹是什么？ 围绕任务： 组织学生观察抛物线图象，并回答问题1，2； 教师点评，然后组织学生根据回答，类比椭圆与圆锥曲线的第二定义，归纳抛物线的定义； 教师点评，讲解抛物线的概念，然后组织学生完成思考1； 教师点评. 围绕练一练： 利用即时互动组织学生完成； 教师查看学生作答情况，选择回答错误的学生讲解，其他学生评价，找出错因，并纠正； 教师点评.
目标二：能通过建立适当的坐标系，列出抛物线上的点的坐标满足的方程，化简得到抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题. 任务1：类比椭圆、双曲线建立适当的坐标系，推导抛物线的标准方程. 问题1.如图，类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，该如何建立平面直角坐标系？ 参考答案： 第一种，以抛物线的焦点为原点建立坐标系，如下左图所示； 第二种，以抛物线的准线为轴建立坐标系，如下中图所示； 第三种，过抛物线的焦点向准线作垂线，以垂线与抛物线的交点为原点，以垂线为轴建立坐标系，如下右图所示. 问题2.类比椭圆、双曲线的轨迹方程求法，结合建立的平面直角坐标系，如何求抛物线的标准方程？ 参考答案：解：1.如图（1）所示，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l 相交与点K，以F为原点，过点F作垂直于x轴的直线y轴，建立直角坐标系xoy.设抛物线的焦点F到准线的距离为p，则 ，焦点F的坐标为，准线，设抛物线上任意一点，则 . 2.如图（2）所示，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，以准线l所在直线为y轴，建立直角坐标系xoy.设抛物线的焦点F到准线的距离为p，则 ，焦点F的坐标为，准线，设抛物线上任意一点，则 . 3.如图（3）所示，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l 相交与点K，以FK为的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xoy.设抛物线的焦点F到准线的距离为p，则 ，焦点F的坐标为，准线，设抛物线上任意一点，则 . 思考2：对比上述三种建系方法，哪种建系比较简单合理？ 【归纳总结】 抛物线标准方程：把叫做“顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上”的抛物线的标准方程.焦点F的坐 标为：，准线l的方程为：，开口向右，其中p为正数，它的几何意义是：焦点到准线的距离（简称“焦准距”）. 任务2：完成教材P131探究，归纳抛物线标准方程的四种类型. 【归纳总结】 思考3：抛物线的四种形式的标准方程有什么相同点？如何根据抛物线的标准方程判断焦点位置？ 参考答案： 共同特点：左边都是二次式,且系数为1；右边都是一次式. 判断焦点位置方法：在标准形式下，看一次项，（1）若一次项的变量为x（或y），则焦点就在x（或y）轴上；（2）若一次项的系数为正（或负），则焦点在正（或负）半轴. 思考4：二次函数的图象为什么是抛物线？它的焦点坐标、准线方程分别是多少？ 参考答案：，根据抛物线的标准方程可知，二次函数的图象是焦点在y轴上的抛物线，其中焦点坐标为，准线方程为. 练一练： 1.已知抛物线的标准方程是求它的焦点坐标和准线方程； 2.已知抛物线的焦点是求它的标准方程. 参考答案：1.因为p=3，所以焦点坐标为，准线方程是. 2.因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，且，p=4，所以抛物线的标准方程是. 任务3：利用抛物线标准方程解决实际问题. 一种卫星接收天线如下图左所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如下图（1），已知接收天线的口径（直径）为4.8 m，深度为1 m. 问题1：如何建立适当的平面直角坐标系？ 参考答案：如图，在接收天线的轴截面所在的平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上. 问题2：该抛物线的标准方程和焦点坐标分别是多少？ 参考答案：设抛物线的标准方程是．由已知条件可知，点A的坐标为 (1, 2.4) ，将其代入方程，得 ，解得p=2.88．所以，所求抛物线为，焦点坐标为(1.44,0)． 思考5：利用抛物线求解实际问题有哪些步骤？ 【归纳总结】 抛物线求解实际问题步骤： （1）抽象：将实际问题抽象为数学问题； （2）建系：建立适当平面直角坐标系； （3）求解：设出合适的抛物线标准方程，并求解； （4）还原：还原到实际问题中,从而解决实际问题. 围绕任务1： 组织学生小组讨论完成问题1,2，并写出过程，拍照上传； 教师巡屏，选择不同建系的答案展示，并由相应学生讲解，其他学生评价； 教师点评，讲解展示，然后组织学生完成思考2； 教师点评，归纳总结. 围绕任务2： 组织学生小组讨论完成P131探究表格，并将答案拍照上传； 教师巡屏，查看学生作答情况，选择正确答案展示，并由相应小组讲解，其他小组评价； 教师点评，强调在四种类型的方程中p>0； 组织学生小组讨论完成思考3； 教师点评，强调焦点位置判断方法； 组织学生完成思考4； 教师点评. 围绕练一练： 随机选择两位学生台上完成，其他学生台下完成； 组织台上学生讲解其解题过程，其他学生评价； 教师点评，讲解. 围绕任务3： 组织学生阅读材料，然后回答问题1； 教师点评，组织学生思考回答问题2； 随机选择学生展示答案，并讲解，其他学生评价； 教师点评，讲解，然后组织学生独立完成思考5； 随机选择学生回答，其他学生评价； 教师点评，归纳总结.
学习总结
任务：回答下列问题，完成表格. 什么是抛物线？ 抛物线标准方程几种类型，对应的焦点坐标、准线方程分别是多少？ 参考答案： 围绕任务： 组织学生填写表格； 随机选择学生回答，其他学生评价； 2.教师点评.
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