大名县2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
考试时间： 120分钟 总分： 150分
一、单选题
1．函数y＝x2＋1的图像上一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则=
A．2 B．2x C．2＋(Δx)2 D．2＋Δx
2．已知，，那么等于
A． B． C． D．
3．下列导数运算正确的是
A． B． C． D．
4．已知，下列排列组合公式中，不一定正确的是
A． B． C． D．
5．某单位开展主题为“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选手答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲选手答对第一道题”，事件B表示“甲选手答对第二道题”，则＝
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第5名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的排名有（ ）种不同情况
A．24 B．36 C．60 D．72
7．已知函数在处有极大值，则实数c的值为
A．2 B．6 C．2或6 D．8
8．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容为：如果函数在闭区间上的图像连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．在的展开式中，含的项的系数是220
D．的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大
10. 已知定义在R上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述错误的是
A．
B．函数在处取得极小值，在处取得极大值
C．函数在处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
11．已知，，，，，均大于0，则下列说法正确的是
A． B．若，则
C．若，则 D．
三、填空题
12．在的展开式中，的系数为 .
13．已知函数，则的值为 .
14．如图，用K、、三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且、至少有一个正常工时，系统正常工作，已知K、、正常工作的概率依次为，，，则系统正常工作的概率为 ，在系统能够正常工作的前提下，只有K和正常工作的概率为 .
四、解答题
15．一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个黑球.
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求两个小球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求在第1次摸到的是黑球的条件下，第2次摸到的是黑球的概率.
16．已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
17．某校举办元旦晩会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.（结果用数字作答）
(1)如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序
(2)如果3个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序
(3)如果歌曲甲不在第一个出场，舞蹈乙不在最后一个出场，那么有多少种不同的出场顺序
18．已知.
(1)若，求曲线在点处的切线方程.
(2)若，求函数的单调区间.
(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)求的最小值．参考答案：
1．D 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C
7．B
【详解】由，
得，
因为函数在处有极大值，
所以，解得或，
当时，，令，得或，
当或时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以为极大值点，为极小值点，所以不符合题意，
当时，，令，得或，
当或时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以为极大值点，为极小值点，所以符合题意，
综上
故选：B.
8．A
【详解】，
设为函数在上的拉格朗日中值点，
所以，即，
当时，，
如图，与有3个交点，即拉格朗日中值点的个数为3个．
故选：A.
9．BC
【详解】若，则或，解得：或，故A错误；
若，解得：，故B正确；
在的展开式中，含的项的系数是，故C正确；
的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，故D不正确.
10．BD
【详解】由的图象可知，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
对于A，因为，所以，所以A正确；
对于B，C，由单调性可知：为极大值点，为极小值点，所以B不正确，C正确；
对于D，由于，则，不是最小值，所以D不正确.
11．BCD
【详解】对于A，若相互独立，则，故A错误；
对于B，若，则,即，
所以,故B正确；
对于C，若，则，则，故C正确；
对于D，，故D正确.
12．
【详解】因为的展开通项公式为，
的展开通项公式为，
所以取，得的系数为.
13．【详解】，，
.
14． /0.25
【详解】记“系统正常工作”为事件,则概率为,
“K和正常工作”为事件,则概率为,
在系统能够正常工作的前提下，只有K和正常工作的概率为,
15．(1) (2)
【详解】（1）设事件：用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球.
因为采取放回抽样方式，
所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个黑球的概率为，
所以.
即用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球的概率为.
（2）设事件为第一次摸到黑球，
事件为第一次摸到黑球，第二次也摸到黑球，
所以，，
所以在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为：
.
16．(1) (2) (3)
【详解】（1）∵，∴，
∴，
∴，
∴，解得（舍）或，
∴.
（2）由第（1）问，，
∴①，
令①式中，则，
∴，
令①式中，则，即，
∴.
（3）令第（2）问①式中，则，
∴②，
由第（2）问，③，
②，③两式相加，得
，
∴.
17．（1）先将4首歌曲捆绑，有种情况，再将捆绑好的4首歌曲与3个舞蹈排序，有种情况，所以有（种）不同的出场顺序.
（2）先将4首歌曲排好，有种情况，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，有种情况，所以有（种）不同的出场顺序.
（3）方法一：7个节目全排列，有种情况，其中歌曲甲在第一个出场时，有种情况，舞蹈乙在最后一个出场时，有种情况，其中都包含了歌曲甲在第一个出场且舞蹈乙在最后一个出场的情况，有种情况，故共有（种）不同的出场顺序.
方法二：歌曲甲在最后一个出场时，其他节目可全排，有种情况；歌曲甲不在最后一个出场时，可从余下的5个位置任选一个，有种情况，而舞蹈乙可排在除去最后一个位置后剩下的5个位置中，有种情况，其余节目全排列，有种情况，共有（种）不同的出场顺序.
18．（1）∵，∴，
∴，
∴，
又，所以切点坐标为．
∴所求切线方程为，
即．
（2），
由，得或．
（）当时，由，得；
由，得或，
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和．
（）当时，由，得；
由，得或．
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和．
综上：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和；
当时，的单调递减区间为,单调递增区间为和．
（3）依题意，不等式恒成立，
等价于在上恒成立，
可得在上恒成立，
设，
则．
令，得，（舍），
当时，；
当时，，
当变化时，，变化情况如下表：
单调递增 单调递减
∴当时，取得最大值，
，∴．
∴的取值范围是．
19．(1), (2) (3)0
【详解】（1）求导易知,.
（2）构造函数，，由（1）可知，
①当时，由,
可知，，故单调递增，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
②当时，令，，
则，可知单调递增，
由与可知，
存在唯一，使得，
故当时，，
则在内单调递减，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数的取值范围为．
（3），，
令，则；
令，则，
当时，由（2）可知，，
则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
因为，
即为偶函数，故在内单调递减，
则，故当且仅当时，取得最小值0．
