中小学教育资源及组卷应用平台
20.2《数据的集中趋势与离散程度-平均数》导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.理解并掌握求平均数的方法（两个计算公式）；
2.会运用求平均数的公式求一组数据的平均数；
3.理解平均数的意义，会用平均数这个特征量来描述一组数据的集中趋势；
4.会用样本平均数来估计总体平均数．
学习重难点
重点：理解加权平均数以及影响平均数结果的一些“重要程度”；
难点：会用平均数这一特征量来对一组数据进行描述.
学法指导
通过实例和练习来加深对平均数的理解，要熟记求平均数的两个公式.
学习过程
一、导学探究
知识点一：算术平均数
1.定义：一般地，我们把_________________________________________________叫做这n个数的平均数.记作_____________.
2.算术平均数的计算公式：__________________________________.
知识二：加权平均数
1.定义：平均数反映了一组数据的集中趋势，体现了一组数据的平均水平，但在许多实际问题中，各指标的“重要程度”未必相同，因而各指标在总结果中占有不同的重要性，我们把________________________________________________________的权重，___________
_______________________________就叫做加权平均数；
2.加权平均数的计算公式_____________________________________________________
____________________________________________________________________________.
二、设置问题情境
随着计算机等技术的飞速发展，数据日益成为重要的信息，人们不仅要收集数据，还要对收集到的数据进行加工处理，进而作出评判.比如我们在每次考试结束后要进行横向对比，看本班级在年级中的所排名次如何，自己在本班中排名第几，这就需要知道各科分数这些数据，并要对数据进行处理之后才能得出结论，本节课我们一起来进行有关问题的学习.
某校初二年级共有4个班，在一次数学考试中参考人数和成绩如下：
班级 1班 2班 3班 4班
参考人数 40 42 45 32
平均成绩 80 81 82 79
求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？
三、课内探究，交流学习
（一）观察与思考
问题1：某校“环保宣传”小组定期对学校的空气含尘量进行检测，下面是某天每隔2h测得的数据：
0.03，0.04，0.03，0.02，0.04，0.01
0.03，0.03，0.04，0.05，0.01，0.03
根据上面数据，怎样说明这一天的空气含尘量？
小组交流，合作探究：
Ⅰ.算术平均数
（1）一般地，我们把n个数据x1，x2，x3，…，xn的和与n的比叫做这n个数的平均数，记作：.
（2）算术平均数的求法：
（二）自主学习，合作交流
例1：在一次校园网页设计比赛中，8位评委对甲、乙两名选手的评分情况如下：
确定选手的最后得分有两种方案：一是将评委评分的平均数作为最后得分；二是将评委评分的一个最高分与一个最低分去掉后的平均数作为最后得分.
哪一种方案更为可取？
思考：通过上述两个方案的比较，你有什么想法？
交流：
用平均数来刻画一组数据的集中趋势，容易受什么影响？
Ⅱ.加权平均数
例：某校在招聘新教师时以考评成绩确定人选.甲、乙两位高校毕业生的各项考评成绩如下表：
考评项目 成绩/分
甲 乙
教学设计 90 80
课堂教学 85 92
答 辩 90 83
（1）如果学校将教学设计、课堂教学和答辩按1：3：1的比例来计算各人的考评成绩，那么谁会被录用
（2）如果按教学设计占30%、课堂教学占50%、答辩占20%来计算各人的成绩，那么谁会被录用？
思考：
各个指标的重要程度不一样，考评的结果也就不同？
交流：
上例中是用什么来表示各个指标的重要程度？
思考：公式②与公式①有什么关系？
（三）随堂练习
1.已知，，…，的平均数为2，则，，…，的平均数是（ ）
A．9 B．4 C．3 D．2
2.已知一组正数a，b，c，d的平均数为2，则，，，的平均数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．某超市招聘收银员一名，对四名申请人进行了三项素质测试．四名候选人的素质测试成绩如下表．公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别赋予权4，3，2后录用最高分，这四人中将被录用的是（ ）
素质测试 测试成绩
小赵 小钱 小孙 小李
计算机
语言
商品知识
A．小赵 B．小钱 C．小孙 D．小李
4．在学校举办的合唱比赛中，八（3）班的演唱质量、精神风貌、配合默契得分分别为92分，80分，70分，若最终成绩由这三项得分依次按照 ，，的百分比确定，则八（3）班的最终成绩是 （ ）
A．80.6分 B．81.8分 C．84.7分 D．96.8分
5.为了提高大家的环境保护意识，某小区在假期开展了废旧电池回收的志愿者活动，该小区有10名中学生参加了此项活动，他们回收的旧电池数量如下表：根据表中的数据，这10名中学生收集废旧电池的平均数为 节．
电池数量（节） 2 5 6 8 10
人数 1 4 2 2 1
6.第届亚运会将在杭州举办，某射箭运动员在富阳射击射箭馆进行训练，他连续射靶次，所得环数分别是：，，，，，则这运动员所得环数的平均数为 ．
7.某校举办“逐梦强国路，放歌新征程”主题合唱比赛，各班成绩由三部分组成：歌曲内容占成绩的，演唱技巧占，精神面貌占．八（1）班的上述三项成绩依次是：9分、8分，8分，则八（1）班的比赛成绩是 分．
8．某单位计划招聘一名管理人员、对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试．三人的测试成绩如表所示；根据录用程序，单位将笔试、面试两项测试得分按的比例确定个人成绩，成绩最高的将被录用，那么甲、乙、丙三人中被录用的候选人是 ．
测试项目 测试成绩/分
甲 乙 丙
笔试 70 80 90
面试 90 80 70
9.自行车厂计划一周生产自行车140辆，平均每天计划生产20辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况：（超过每天计划生产数记为正、不足每天计划生产数记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减
(1)该厂星期四生产自行车 辆；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车 辆；
(3)该厂本周实际每天平均生产多少辆自行车？
10.一家公司打算招聘一名英文翻译，对其中一名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他的各项的成绩（单位：分，百分制）如下：
听 说 读 写
85 83 78 75
如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照的比确定最终成绩，请计算这名应试者的最终成绩．
（四）小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
20.2《数据的集中趋势与离散程度-平均数》导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.理解并掌握求平均数的方法（两个计算公式）；
2.会运用求平均数的公式求一组数据的平均数；
3.理解平均数的意义，会用平均数这个特征量来描述一组数据的集中趋势；
4.会用样本平均数来估计总体平均数．
学习重难点
重点：理解加权平均数以及影响平均数结果的一些“重要程度”；
难点：会用平均数这一特征量来对一组数据进行描述.
学法指导
通过实例和练习来加深对平均数的理解，要熟记求平均数的两个公式.
学习过程
一、导学探究
知识点一：算术平均数
1.定义：一般地，我们把_________________________________________________叫做这n个数的平均数.记作_____________.
2.算术平均数的计算公式：__________________________________.
【答案】1.n个数据的和除以n,
记作：
2.=（x1+x2+……xn）
体会：平均数的大小与这组数据中每一个数都有关，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动；平均数的缺点是受个别特殊值的影响，当一组数据中有极端数据，平均数则不能准确地表示这组数据的集中趋势，一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关.
知识二：加权平均数
1.定义：平均数反映了一组数据的集中趋势，体现了一组数据的平均水平，但在许多实际问题中，各指标的“重要程度”未必相同，因而各指标在总结果中占有不同的重要性，我们把________________________________________________________的权重，___________
_______________________________就叫做加权平均数；
2.加权平均数的计算公式_____________________________________________________
____________________________________________________________________________.
【答案】1.数据在结果中的，
2.=（f1+f2+……fk=n,kn)
体会：1.当各数据的“权”均为1时，加权平均数即可算术平均数，算术平均数实际上是加权平均数的特殊情况；2.当一组数据较小时，可直接用算术平均数公式计算，当一组数据出现重复时，可用加权平均数公式计算，要灵活运用.
二、设置问题情境
随着计算机等技术的飞速发展，数据日益成为重要的信息，人们不仅要收集数据，还要对收集到的数据进行加工处理，进而作出评判.比如我们在每次考试结束后要进行横向对比，看本班级在年级中的所排名次如何，自己在本班中排名第几，这就需要知道各科分数这些数据，并要对数据进行处理之后才能得出结论，本节课我们一起来进行有关问题的学习.
某校初二年级共有4个班，在一次数学考试中参考人数和成绩如下：
班级 1班 2班 3班 4班
参考人数 40 42 45 32
平均成绩 80 81 82 79
求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？
三、课内探究，交流学习
（一）观察与思考
问题1：某校“环保宣传”小组定期对学校的空气含尘量进行检测，下面是某天每隔2h测得的数据：
0.03，0.04，0.03，0.02，0.04，0.01
0.03，0.03，0.04，0.05，0.01，0.03
根据上面数据，怎样说明这一天的空气含尘量？
解：计算上述数据的平均数：
×(0.03+0.04+0.03+0.02+0.04+0.01+0.03+0.03+0.04+0.05+0.01+0.03)
＝0.03(g/m3)
把这个平均数作为这组数据的一个代表，用来反映该日空气含尘量的一般状况，我们说学校这一天的空气含尘量平均为0.03(g/m3)
小组交流，合作探究：
Ⅰ.算术平均数
（1）一般地，我们把n个数据x1，x2，x3，…，xn的和与n的比叫做这n个数的平均数，记作：.
（2）算术平均数的求法：
公式①
其中n表示数据的总个数，x1，x2，x3，…，xn表示各个数据.
对于一组数据，我们常用平均数来作为刻画它的集中趋势的一种方法.
（二）自主学习，合作交流
例1：在一次校园网页设计比赛中，8位评委对甲、乙两名选手的评分情况如下：
确定选手的最后得分有两种方案：一是将评委评分的平均数作为最后得分；二是将评委评分的一个最高分与一个最低分去掉后的平均数作为最后得分.
哪一种方案更为可取？
解：按方案一计算甲、乙的最后得分为：
这时，甲的成绩比乙高.
按方案二计算甲、乙的最后得分为：
这时，乙的成绩比甲高.
思考：通过上述两个方案的比较，你有什么想法？
将上面的得分与表中的数据相比较，我们发现有5位评委对甲的评分不高于乙，这表明多数人认为乙的成绩好.方案二的结果表明乙的成绩比甲高，与大多数评委的观点相符，因此，按方案二评定选手的最后得分较可取.
交流：
用平均数来刻画一组数据的集中趋势，容易受什么影响？
当我们用平均数来表示一个数据的集中趋势时，如果数据中出现一、两个极端数据，那么平均数对于这组数据所起的代表作用就会削弱，为了消除这种现象，可将少数极端数据去掉，只计算余下的数据的平均数，并把所得的结果作为全部数据的平均数.
Ⅱ.加权平均数
例：某校在招聘新教师时以考评成绩确定人选.甲、乙两位高校毕业生的各项考评成绩如下表：
考评项目 成绩/分
甲 乙
教学设计 90 80
课堂教学 85 92
答 辩 90 83
（1）如果学校将教学设计、课堂教学和答辩按1：3：1的比例来计算各人的考评成绩，那么谁会被录用
（2）如果按教学设计占30%、课堂教学占50%、答辩占20%来计算各人的成绩，那么谁会被录用？
解：（1）甲的考评成绩为：
=87（分）
乙的考评成绩为：
=87.8（分）
因此,乙会被录用.
(2)甲的考评成绩为
90 x30% +85 x50% +90 x20% = 87.5(分),
乙的考评成绩为
80 x30% +92 x50% +83 x20% = 86. 6(分),
因此,甲会被录用.
思考：
各个指标的重要程度不一样，考评的结果也就不同？
从中可以发现，各个指标的权重对结论(平均数)有着直接影响，侧重点一样，就会产生不同结果.
交流：
上例中是用什么来表示各个指标的重要程度？
用数据的权
加权平均数计算公式：
，②
其中f1，f2，f3，…，fk分别表示数据x1，x2，x3，…xk在总结果中的比重，我们称其为各数据的权， 叫做这n个数据的加权平均数.
数据的权能反映数据的相对“重要程度”.
思考：公式②与公式①有什么关系？
【答案】联系：
两者都是平均数，算术平均数是加权平均数的一种特殊形式（特殊在各项的权重相等）。两者计算时都需要获取数据的大小。都可以反映数据的分布规律。
区别：
1、定义与计算公式不同
2、影响因素不同
算术平均数影响因素为数据值和数据个数，且易受极端数据的影响，极端值的出现，会使平均数的真实性受到干扰。
而加权平均值的大小不仅取决于总体中各单位的数值的大小，而且取决于各数值出现的次数（频数），即权数影响加权平均数，而不影响算术平均数。
3、适用范围不同
算术平均数适用于数值型数据，主要用于未分组的原始数据，不适用于品质数据。加权平均数主要用于处理经分组整理的数据，常应用在期货和市政预算中。
（三）随堂练习
1.已知，，…，的平均数为2，则，，…，的平均数是（ ）
A．9 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】本题考查算术平均数的计算，一般的每个数据扩大n倍后，数据的平均数也扩大n倍．每个数据增加同一个常数，数据的平均数也增加同一个常数，据此解析即可．
【详解】解：∵，，…，的平均数为2，
∴，
∴，
故选B．
2.已知一组正数a，b，c，d的平均数为2，则，，，的平均数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了算术平均数的定义，可得，再由定义即可求解；掌握“”是解题的关键．
【详解】解：a，b，c，d的平均数为2，
，
．
故选：C．
3．某超市招聘收银员一名，对四名申请人进行了三项素质测试．四名候选人的素质测试成绩如下表．公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别赋予权4，3，2后录用最高分，这四人中将被录用的是（ ）
素质测试 测试成绩
小赵 小钱 小孙 小李
计算机
语言
商品知识
A．小赵 B．小钱 C．小孙 D．小李
【答案】B
【分析】本题考查加权平均数，利用各项乘以各项权数，除以总权数即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
小赵：，
小钱：，
小孙：，
小李：，
∵，
∴小钱被录用，
故选：B．
4．在学校举办的合唱比赛中，八（3）班的演唱质量、精神风貌、配合默契得分分别为92分，80分，70分，若最终成绩由这三项得分依次按照 ，，的百分比确定，则八（3）班的最终成绩是 （ ）
A．80.6分 B．81.8分 C．84.7分 D．96.8分
【答案】B
【分析】本题主要考查加权平均数，根据加权平均数的定义可得答案．解题的关键是掌握加权平均数的定义．
【详解】解：八（3）班的最终成绩是(分)，
故选：B．
5.为了提高大家的环境保护意识，某小区在假期开展了废旧电池回收的志愿者活动，该小区有10名中学生参加了此项活动，他们回收的旧电池数量如下表：根据表中的数据，这10名中学生收集废旧电池的平均数为 节．
电池数量（节） 2 5 6 8 10
人数 1 4 2 2 1
【答案】6
【分析】本题考查的是平均数．要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可．
【详解】解：，
10名中学生回收废电池的平均数是6．
故答案为：6．
6.第届亚运会将在杭州举办，某射箭运动员在富阳射击射箭馆进行训练，他连续射靶次，所得环数分别是：，，，，，则这运动员所得环数的平均数为 ．
【答案】8环
【分析】本题主要考查了求算术平均数．根据算术平均数的公式计算，即可求解．
【详解】解：这运动员所得环数的平均数为环，
故答案为：环．
7.某校举办“逐梦强国路，放歌新征程”主题合唱比赛，各班成绩由三部分组成：歌曲内容占成绩的，演唱技巧占，精神面貌占．八（1）班的上述三项成绩依次是：9分、8分，8分，则八（1）班的比赛成绩是 分．
【答案】8.3
【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的定义计算即可．
【详解】解：分．
故答案为：8.3．
8．某单位计划招聘一名管理人员、对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试．三人的测试成绩如表所示；根据录用程序，单位将笔试、面试两项测试得分按的比例确定个人成绩，成绩最高的将被录用，那么甲、乙、丙三人中被录用的候选人是 ．
测试项目 测试成绩/分
甲 乙 丙
笔试 70 80 90
面试 90 80 70
【答案】甲
【分析】本题主要考查了加权平均数．根据加权平均数的概念分别计算出三人的得分，从而得出答案．
【详解】解：甲的最后成绩为：(分)，
乙的最后成绩为：(分)，
丙的最后成绩为：(分)，
，
最终被录用的是甲，
故答案为：甲．
9.自行车厂计划一周生产自行车140辆，平均每天计划生产20辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况：（超过每天计划生产数记为正、不足每天计划生产数记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减
(1)该厂星期四生产自行车 辆；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车 辆；
(3)该厂本周实际每天平均生产多少辆自行车？
【答案】(1)33
(2)24
(3)21
【分析】本题主要考查了正数和负数的实际应用，有理数加减法在生活中的应用．以及求一组数据的平均数.
（1）根据有理数的加法运算，可得答案；
（2）根据最大数减最小数，可得答案；
（3）先求表中各数据的平均数，然后加上20即可．
【详解】（1）解：（辆），
所以该厂星期四生产自行车33辆．
故答案为：33
（2）（辆）；
所以产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车24辆，
故答案为：24.
（3）
答：该厂本周实际每天平均生产21辆自行车．
10.一家公司打算招聘一名英文翻译，对其中一名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他的各项的成绩（单位：分，百分制）如下：
听 说 读 写
85 83 78 75
如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照的比确定最终成绩，请计算这名应试者的最终成绩．
【答案】这名应试者的最终成绩为81分.
【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解本题的关键．根据加权平均数的计算方法分别计算出应试者的加权平均数即可得出答案．
【详解】解：∵听、说、读、写成绩按照的比例确定，
∴应试者的综合成绩：；
∴这名应试者的最终成绩为81分.
（四）小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
