重庆市垫江第二中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（PDF版含答案）

垫江二中 2023-2024 学年高二下学期第一次月考试题
数 学
姓名： 班级： 考号：
第 I卷（选择题）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的.
1．高二年级要从 3名男生，2名女生中选派 3人参加某次社区服务，如果要求至少有 1名
女生，那么不同的选派方案有（ ）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
2 2．如果质点 A运动的位移 S（单位：米）与时间 t（单位：秒）之间的函数关系为 = ，

那么该质点在 = 3 秒时的瞬时速度为：（ ）（单位：米/秒）
A 2 B 2 C 2． ． ． D 2．
3 3 9 9
3．如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使
用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）．
A．180 B．160 C．96 D．60
4．下列求导运算正确的是（ ）
′A = 1 ． B． cos3
′ = sin3
e e
C．( 1)′ = 2 D． ln ′ = 1 ln
1
5．已知函数 = 2 sin ，则下列选项正确的是（ ）
A． 2.7 < π < e B． π < e < 2.7
C． e < 2.7 < π D． 2.7 < e < π
6 1．已知函数 = 3 + 2 2 + + 5 有极值，则实数 a的取值范围是（ ）
3
A． 0,2 B． ∞,0 ∪ 2, + ∞ C． 1,3 D． ∞,1 ∪ 3, + ∞
试卷第 1页，共 4页
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7 e．已知函数 = （e为自然对数的底数），若 > 0 在 0, + ∞ 上恒成立，则实

数 的取值范围是（ ）
A ∞,2 B ∞, e
2 2
． ． C． ∞,e D e． , + ∞
4 4
8 1．函数 ( ) = 2 cos ，则满足不等式 2 + 1 > 3 + 1 的实数 x的取值范围是（ ）
2
A． 0,1 B． 0, + ∞ C． 1,0 D． ∞,0
二、多选题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.在每个小题给出的四个选项中，有
多个选项符合题目要求，全选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分.
9．已知集合 M={1，-2，3}，N={-4，5，6，-7}，从 M，N这两个集合中各选一个元素分别
记作 a，b．则下列说法正确的有（ ）
A ． 表示不同的正数的个数是 6

B ． 表示不同的比 1小的数的个数是 6

C．（a，b）表示 x轴上方不同的点的个数是 6
D．（a，b）表示 y轴右侧不同的点的个数是 6
10．已知函数 = ，下列说法正确的有（ ）e
A 3 1． = B． 只有一个零点
2 e
C． 有两个零点 D． 有一个极大值点
11 1．已知函数 ( ) = 3 + 2 2在区间( 2, + 3)上存在最小值，则整数 a可以取（ ）
3
A． 3 B． 2 C． 1 D．0
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．由数字 0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的三位数，则能被 5整除的三位数共有
个.
13．已知函数 = ' cos + sin ，则曲线 = 在点 0, 0 处的切线方程
4
是 ．
试卷第 2页，共 4页
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2
14．关于函数 = +2 7，有如下四个结论：

①函数 不仅有极小值也有极大值；
② 的在 = 0 处的切线与 9 + 1 = 0 垂直；
8
③若函数 = 有三个零点，则 ∈ 0, ；
3
④若 ∈ 0, 时， 8max = 3，则 的最小值为 3．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13分）
用 0、1、2、3、4、5这六个数字.
(1)可以组成多少个数字不重复的三位数；
(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数；
(3)可以组成多少个数字不重复的小于 1000的自然数.
16．（本小题满分 15分）
已知函数 = 3 2 + （ ， ∈ ）的图象过点 2,4 ，且 ′ 1 = 1．
(1)求 ， 的值；
(2)求曲线 = 过点 0, 1 的切线方程．
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17．（本小题满分 15分）
已知函数 ( ) = e （其中 e是自然对数的底数）.
(1)求 ( )在 1,1 上的最值；
(2)若函数 ( ) = ( ) e ( ∈ R)没有零点，求实数 的取值范围.
18 1．（本小题满分 17分）已知函数 ( ) = ( 1)e 2．
2
(1)当 = 1 时，求证： ( )在 R上是增函数；
(2)若 ( )在区间(0, + ∞)上存在最小值，求 的取值范围；
(3)若 ( )仅在两点处的切线的斜率为 1，求 的取值范围．（结论不要求证明）
19．（本小题满分 17分）
已知 e是自然对数的底数，常数 > 0，函数 = e 1 , = ln + .

(1)求 、 的单调区间；
(2)讨论直线 = 与曲线 = ln 1的公共点的个数；
(3) = e
ln +1
记函数 , 1、 2，若 0 < 1 < 2，且 1 = 2 2 ，则 e 2e 1 + 2
≥ 0，求实数 的取值范围.
试卷第 4页，共 4页
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参考答案：
1．D
2．D
3．A
4．A
5．D
6．D
7．B
8．D
9．BC
10．BD
11．CD
12．78
13． = + 2 1
14．①③④
(2 +2) ( 2+2 7) 9 2
由已知 ′( ) =
2
=

，
则 ′( ) = 0 ± 3
当 x＜﹣3或 x＞3时， ′( )＜0，﹣3＜x＜3时， ′( )＞0，所以 f（x）在（﹣∞，﹣3）和（3，
+∞）上递减，在（﹣3，3）上递增，
f 8（x）极小值 f（﹣3）＝﹣4e3，f（x）极大值为 (3) = 3，①正确；
在 = 0 处的切线斜率 k ＝ ′1 (0) = 9
1
，直线 9y﹣x+1＝0斜率 2 = ，k1k2≠﹣1，两直线9
不垂直，②错误；
当 → ∞时， ( ) →+∞，当 →+∞时， ( ) → 0 8，若 （f x）＝k有三个实根，则 ∈ (0, 3 )，
③正确；
x∈[0 t] ( ) = 8若 ， 时， max 3，则 t≥3，t的最小值为 3，故④正确．
故答案为：①③④
15．(1)100
(2)180
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(3)131
解：若组成的数字为数字不重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，
所以，数字不重复的三位数个数为 5 × 5 × 4 = 5 × 20 = 100.
（2）解：若组成的数字为数字允许重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字
无限制，
所以，数字允许重复的三位数的个数为 5 × 62 = 180个.
（3）解：若组成的数字为数字不重复的小于 1000的自然数，分以下三种讨论：
①数字为个位数，共 6个；
②数字为两位数，则首位不能为零，个位无限制，共 5 × 5 = 25 个；
③数字为三位数，共有 100个.
综上所述，数字不重复的小于 1000的自然数个数为 6 + 25 + 100 = 131个.
16．(1) = 1， = 0．
(2) 1 = 0
（1）
因为函数 = 3 2 + 的图象过点 2,4 ，所以 = 4 4①．
又 ′ = 3 2 2 ， ′ 1 = 1，所以 ′ 1 = 3 × 12 2 = 3 2 = 1②，
由①②解得 = 1， = 0．
（2）
由（1）知 = 3 2，
设所求切线在曲线 = 上的切点为 , 3 2 ，则 ′ = 3 2 2 ，
所以切线方程为 3 + 2 = 3 2 2 ，
又切线过点 0, 1 ，所以 2 3 2 1 = 0，
可得 2 3 2 2 + 1 = 0，
2( 3 1) ( 2 1) = 0，
( 1)(2 2 + + 1) = 0，解得 = 1，
所以切点为 1,0 ，切线方程为 1 = 0．
故曲线 = 过点 0, 1 的切线方程为 1 = 0．
17．(1)最小值为 (1) = 1 e，最大值为 (0) = 1.
(2) 1 1, + ∞
e
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（1）解： ′ = 1 e ，
所以，当 ∈ 1,0 时， ′ > 0，函数 单调递增，
当 ∈ 0,1 时， ′ < 0，函数 单调递减，
因为 ( 1) = 1 1， (1) = 1 e， (0) = 1 1， (1) ( 1) = e + 2 + < 0，
e e
所以，函数 ( )在 1,1 上的最小值为 (1) = 1 e，最大值为 (0) = 1.
（2）解：因为函数 ( ) = ( ) e ( ∈ R)没有零点，
1 + e = 0 所以方程 无实数根，即方程 = 1 + 没有实数根，e
1
令 = ，则 ′
e
= ，
e
所以，当 ∈ ∞,1 时， ′ > 0， = 单调递增，
e

当 ∈ 1, + ∞ 时， ′ < 0， = 单调递减，e
1
所以，函数 = 在 = 1 处取得最大值 1 =e e
因为当 < 0时 = < 0

，当 > 0 时 = > 0，
e e
所以，函数 = 的值域为 ∞,
1
，
e e
1 1
所以，当方程 = 1 + 没有实数根，1 + > ，即 > 1，e e e
1
所以，实数 的取值范围为 1, + ∞ .
e
18．1．(1)证明见解析
(2)(1, + ∞)
(3)(0, + ∞)
1
（1）当 = 1，即 = 1 e 2时， ′ = e + 1 e = e 1 ，
2
令 ′ = 0 解得 = 0，
当 < 0时， ′ > 0，当 > 0 时， ′ > 0，
又 连续，所以 ( )在 R上是增函数.
（2） ′ = e + 1 e = e ，
当 > 0时，e > 1，
①当 ≤ 1时，e > 0 在(0, + ∞)上恒成立，
所以 ′ > 0， ( )在区间(0, + ∞)上单调递增，所以 ( )在区间(0, + ∞)上不存在最小值：
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②当 > 1 时，令 ′ = 0 解得 = ln ，此时 ln > 0，
(ln ,
(0, ln ) ln
+ ∞)
′( ) 0 +
( ) ↘ 极小值 ↗
所以 ( )存在最小值，且 ( )min = (ln )，
综上 a的取值范围是(1, + ∞)．
（3） ( )仅在两点处的切线的斜率为 1，即 ′ = e = 1 有两个不同解，
1
解法一：方程 = e 有两个不同的解，即 = 与 = e 1的图象有两个交点，

1 1
令 = e ≠ 0 ，则 ′ = e + 2 > 0，
所以 图象大致如下，
由图象可知 = 1与 = e 的图象有两个交点，则 的取值范围为(0, + ∞).

解法二：方程 = e 1 1有两个不同的解，即 = e 与 = 的图象有两个交点，

在同一坐标系上画 = e 和 = 1的图象如图，

1
由图象可得当 > 0 时 = e 与 = 的图象有两个交点，即 的取值范围为(0, + ∞).

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19．(1) 的单调递增区间是 ∞,0 ，单调递减区间是 0, + ∞ ； 的单调递减区间是
0, ，单调递增区间是 , + ∞
(2)无公共点
(3) ∞,e
（1）函数 的定义域为 ∞, + ∞ .
∵ = e 1 ，
∴ ′ = e 1 e = e ，
∴当 ∈ ∞,0 时， ′ > 0，当 ∈ 0, + ∞ 时， ′ < 0，
∴ 的单调递增区间是 ∞,0 ，单调递减区间是 0, + ∞ ；
= ln + 1 函数 的定义域为 0, + ∞ , ′ = = ，常数 > 0，
2 2
∴当 ∈ 0, 时， ′ < 0，当 ∈ , + ∞ 时， ′ > 0.
∴ 的单调递减区间是 0, ，单调递增区间是 , + ∞ ；
（2）设 = ln ，它的定义域为 0, + ∞ , ′ = 1 1 = 1，

∴当 ∈ 0,1 时， ′ < 0，即 单调递减，
当 ∈ 1, + ∞ 时， ′ > 0，即 单调递增，
∴ 的最小值为 1 = 1 ln1 = 1，
∴ = ln = 1不成立，即方程 ln = 1无实数解，
故方程 = ln 1无实数解，∴直线 = 与曲线 = ln 1无公共点；
（3）根据已知， = e ln 1 ln 的定义域为 0, + ∞ ，
设 = = ln ，由（2）得 ≥ 1，且 = = e 1 = ，
由 0 < 1 < 2，记 1 = 1, 2 = 2，则 1 ≥ 1, 2 ≥ 1，
由 1 = 2 得 1 = 2 ，
由（1）知 在 1, + ∞ 上单调递减，故 1 = 2，
∴ 1 ln 1 = 1, 2 ln 2 = 1，
ln 2 ln 1 =
ln
2 2
1 1 =
记 = ，则 > 1，由 1
1 =
2 ，得
ln
，
1 2 = 1
1, 2，若 0 < 1 < 2，且 21 = 2 ，则 e 2e 1 + 2 ≥ 0，
> 1, + e2 2e ln ≥ 0，
1
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> 1, + e2 2e ln 1 ≥ 0，
设 = + e2 2e ln 1 ，则 e = e + e2 2e lne e 1 ≥ 0，
解得 ≤ e，
由 ≤ e得 ≥ e，由 ≥ 1得 1 ≥ 0，
∴ = + e2 2e ln 1 ≥ + e2 2e ln e 1 ，
设 = + e2 2e ln e 1 ，则 1 = 0, e = 0，
′ e2 = ln + 2e + 1 e，

由 e是自然对数的底数，得e2 2e = e e 2 > 1，
2
由（1）知， ′ = ln + e 2e + 1 e在 1, e2 2e 上单调递减，

在 e2 2e, + ∞ 上单调递增；由e2 2e < e得 ′ e2 2e < ′ e = 0，
又∵ ′ 1 = e2 3e + 1 = e e 2 + 1 e > 0.7e + 1 e = 1 0.3e > 1 0.3 × 2.8 > 0，
∴存在唯一 0 ∈ 1, e2 2e ，使 ′ 0 = 0，
∴当 1 ≤ < 0时， ′ > 0，当 0 < < e时， ′ < 0，当 > e时， ′ > 0，
∴当 ∈ 1, 0 时， 单调递增，故 ≥ 1 = 0；
当 ∈ 0,e 时， 单调递减，故 ≥ e = 0；
当 ∈ e, + ∞ 时， 单调递增，故 ≥ e = 0.
综上所述，当 > 1 时， ≥ 0，
∴ > 1, ≥ ≥ 0.
∴实数 的取值范围为 ∞,e .
答案第 6页，共 6页
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