2.1.1 平面的性质
设计教师：田许龙
一、温故思考【自主学习·质疑思考】
（一）．平面
（Ⅰ）平面的概念
几何里所说的平面，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的，但是几何里的平面是 的，同时它还具有以下几个特点：
(平面是平的；(平面是没有厚度的；(平面是没有边界的；(平面是有空间点、线组成的无限集合；(平面图形是空间图形的重要组成部分。
(Ⅱ)平面的画法
⑴水平放置的平面通常画成一个 ，它的锐角通常画成 ，并且横边长等于其邻边长的 ，如图1；
⑵如果一个平面被另一个平面挡住了，为了增强它的立体感，被挡住部分用 画出来，如图2所示；跟平面几何不同的是，在立体几何中，添加辅助线的时候遵循的原则是“眼见为实，眼不见为虚”。
(Ⅲ)平面的表示
为了表示平面，我们常把希腊字母等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.
如图1所示，平面通常可以表示为： 。
（二）．空间几何的符号语言体系
平面内有无数个点，平面可以看做点的集合；如果点在平面内，记作 ；点不在平面内，记作 。
平面内的直线可以看成点的集合；点在直线上（或直线经过点），记作 ；点在直线外（或直线不经过点），记作 。
平面内的直线可以看成平面的子集；如果直线上的所有点都在平面内，就说直线在
平面内，或者说平面经过直线，记作 ；否则就说直线在平面外，记作 。
平面内任意一个点可以看成两条直线的公共点，如果点是直线和的公共点，称点是直线和的交点，记作 ，这是一个记号，请注意和集合语言中的区别。
平面内任意一条直线可以看成两个平面的公共线，如果直线是平面和的公共线，称直线是平面和的交线，记作 。
如果直线和平面有且仅有一个公共点，称为直线和平面的交点，记作 。
二、新知探究【合作探究·展示能力】
（三）．平面的基本性质
公理1：如果一条直线上有 在一个平面内，那么直线在平面内。
用途：常用于证明或判断直线是否在平面内.
符号语言： 。
公理2： 的 确定一个平面.
用途：用于确定平面。根据公理2，不共线的三点可以确定一个平面，我们把它记成平面。
公理3：如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们 过该点的公共直线。
符号语言： 。
用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.
★例1、 将下列文字语言转化为符号语言，图形语言.
(1)直线经过平面外一点；
(2)，，，，。
小结：1、进行语言翻译的时候，注意正确使用集合语言；
画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）。
▲概念辨析、公理应用（1）
★例3、下列命题中正确的是（ ）
A．一条直线和一个点确定一个平面 B．三点确定一个平面
C．三条平行线确定一个平面 D．两条相交直线确定一个平面
▲共线、共面问题，公理应用（2）
★例3、如图，已知直线、和两两相交，且三线不共点.
求证：直线、和在同一平面上.
小结：
证明三线共面问题的两个方法
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。
★例4、在正方体中，与截面相交于，.求证：三点共线.
三、总结检测【归纳总结·训练检测】
（1）、挑战题：1、空间中A、B、C、D、E五个点，已知在A、B、C、D同一个平面内，B、C、D、E在同一个平面内，那么这五个点（ ）
A．共面 B．不一定共面 C．不共面 D． 以上都不对
2、平面，点，且，又，过A、B、C三点确定的平面记作，则是（ ）
A．直线AC B．直线BC C．直线CR D．以上都不对
☆3、如图，已知：是正方体D的棱的中点.求证：三线共点.
（2）、课堂练习：
1、若点在直线上，在平面内，则M、、之间的关系可记作 （ ）
(B) (C) (D)
2、在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有 个
3、在正方体中，判断下列说法是否正确，并说明理由。
(1)直线在平面内；(2)设正方形与的中心分别为，则平面与平面的交线为；(3)由点可以确定一个平面。
4、空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ）
A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定
5、点平面，分别是上的点，若与交于，
求证：在直线上。
A、0，1或2 B、0，2或3 C 、1，2或3 D 、0，1，2或3
四、作业项目【课外作业·开展项目】
作业：课本第43页，习题2.1A组第1、2、3、4题，1、2小题写在课本上，3、4小题写在作业本上。
同时思考今天的拓展问题，将你的答案写在作业本上。
预习下一课时《空间中直线与直线的位置关系》。
课件14张PPT。2.1平面的性质学习目标：
1. 了解平面的概念、掌握平面的画法及其表示 法；
2. 初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语
言之间的转化；
3. 了解公理1、公理2、公理3，并能简单应用性质
解决一些简单的问题．
课堂预习：
仔细阅读课本40-43页，结合课本知识，完成下述概念
(Ⅰ)平面的概念
几何里所说的平面，是从课桌面、黑板面、海面这样的 一些物体中抽象出来的，但是几何里的平面是无限延展的，同时它还具有以下几个特点：
?平面是平的；?平面是没有厚度的；?平面是没有边界的；?平面是有空间点、线组成的无限集合；?平面图形是空间图形的重要组成部分.(Ⅲ)平面的表示
为了表示平面，我们常把希腊字母 等写在代表平面的平行四边形的一个角上 . (Ⅱ)平面的画法
水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成 ，并且横边长等于其邻边长的倍.?平面的基本性质
公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
用途：常用于证明或判断直线是否在平面内.
符号语言：
公理2：不共线的三点确定一个平面.
公理3：如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.例2. 下列命题中正确的是（ ）
A．一条直线和一个点确定一个平面
B．三点确定一个平面
C．三条平行线确定一个平面
D．两条相交直线确定一个平面
D例3. 如图直线 两两相交，求证三直线在 同一平面内.
证明：如图：设它们两两交于A, B,C三点，因为A, B,C 三点不共线，所以过这三点有且只有一个平面，设为α，因为 ,所以 ,同理 ，从而命题得证.
例4. 在正方体 中
与平面 相交于点O，ACBD=M
求证：O、M、
证明：因为 平面 ， 平面 O
所以， O在平面 与平面 的交线上，
平面 平面
从而O
所以，O、M、 .?挑战题
1. 空间中A、B、C、D、E五个点，已知A、B、C、D
同一个平面内，B、C、D、E在同一个平面内，那么这
五个点（B ）
. 共面 . 不一定共面
. 不共面 . 以上都不对
【解答】当三点不共线时，五点共面，当三点共线时，五点不一定共面.? . 平面
过点确定的平面记作,则是（ ）
．直线AC ．直线BC
．直线CR ．以上都不对
. 如图，已知：E、F、G、H 是正方体 的棱AB、BC、 、 的中点.求证：EF、HG、DC 三线共点.
?C证明：连FG、HE、HG、EF
根据条件‖ HE，且HE所以，四边形FGHE梯形，从而FG与EF相交，设交点为 O，即O(平面 平面AC)
又平面 平面AC=BD
所以， O DC即
因此， EF、HG、DC三线共点.教师点拨：
1. 对学生出现的问题进行点拨；
2. 强调本节课的 重难点.
(1)平面的概念及其表示方法；
(2)平面的性质的三个公理及其简单应用：
第一，利用三条公理判别概念的时候，一定要注意
公理中的限制因素；第二，利用三条公理证明三点共线和三线共点这类问题的时候，一定要注意构造出两个平面的交线，利用“两个平面的公共点全部位于同一交线上”的特点来解决问题.
课堂练习：（导学案）
学习总结： 提醒学生对本节课所学内容进行总结，对学习过程中出现的问题做好整理反思.课本第43页
习题2.1A组第1、2、3、4题
1、2小题写在课本上
3、4小题写在作业本上
预习《空间中直线与直线的位置关系》?2.1 平面的性质（第1课时）
设计者：田许龙
教学内容
平面
教学目标
知识与技能
1．了解平面的概念、掌握平面的画法及其表示法；
2．初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；
3．了解公理1、公理2、公理3，并能简单应用性质解决一些简单的问题．
过程与方法
通过观察现实生活中的面引入平面的概念，从平面的概念入手，逐步引入平面的画法、表示方法、性质，培养学生学会观察、分析、推理、论证的思维方法，培养学生空间想象能力，领悟数形结合的数学思想。
情感、态度与价值观
在运用平面的性质解决问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学思维方法解决问题。
教学重点
1、平面的表示方法；
2、平面的性质及应用。
教学难点
平面的性质及应用。
教学方法
自主学习、小组讨论法、师生互动法。
教学准备
导学、课件。
教学步骤
教什么
怎样教
如何组织教学
一、温故
（情境导入）
(5分钟)
平面的概念
新课引入，（出示《课件1》）观察日常生活中的平面实例，提出问题：平面具有几个特点？
它还具有以下几个特点：
(平面是平的；(平面是没有厚度的；(平面是没有边界的；(平面是有空间点、线组成的无限集合；(平面图形是空间图形的重要组成部分。
同学们，我们观察日常生活中的面（如桌面、黑板面、海面）对平面有什么印象呢？几何中平面的概念是什么呢？
几何里所说的平面，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的，但是几何里的平面是无限延展的，
二、知新
（自主学习合作探究展示能力）
(35分钟)
平面的画法及表示法
1、学生看书，2分钟后由学生毛遂自荐上黑板作图，然后老师出示课件，纠正或规范平面的画法。
2、平面的表示方法及空间几何的符号体系（学生看书2分钟）老师指定中等偏下学生回答，回答后出示《课件2》的第一张PPT。
平面的画法
⑴水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成，并且横边长等于其邻边长的2倍，如图1；
图2
⑵如果一个平面被另一个平面挡住了，为了增强它的立体感，被挡住部分用虚线画出来，如图2所示；跟平面几何不同的是，在立体几何中，添加辅助线的时候遵循的原则是“眼见为实，眼不见为虚”。
平面的表示
为了表示平面，我们常把希腊字母等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如图1所示，平面通常可以表示为：平面、平面、平面或。
（Ⅳ）空间几何的符号语言体系
平面内有无数个点，平面可以看做点的集合；如果点在平面内，记作；点不在平面内，记作。
平面内的直线可以看成点的集合；点在直线上（或直线经过点），记作；点在直线外（或直线不经过点），记作。
平面内的直线可以看成平面的子集；如果直线上的所有点都在平面内，就说直线在平面内，或者说平面经过直线，记作；否则就说直线在平面外，记作。
平面内任意一个点可以看成两条直线的公共点，如果点是直线和的公共点，称点是直线和的交点，记作，这是一个记号，请注意和集合语言中的区别。
平面内任意一条直线可以看成两个平面的公共线，如果直线是平面和的公共线，称直线是平面和的交线，记作。
如果直线和平面有且仅有一个公共点，称为直线和平面的交点，记作。
同学们，大家看完书并解决如下几个问题：你能把平面画出来吗？它的表示方法有几种呢？性质是什么呢？
一般情况下，我们用平行四边形表示平面，有时候也可用圆等平面图平表示。
好，现在大家看多媒体。
平面的符号表示用希腊字母，有时也用大写字母如平面ABCD等表示平面
同学们，符号语言是数学中重要的数学语言，一定要掌握
平面的性质
学生看书记忆平面的三个性质，小组合作讨论平面性质的用途，讨论后每组指定一名学生代表回答问题（三个性质的用途？）。（此处是难点，老师要帮助个别小组和学生完成）之后老师出示《课件2》的第二张PPT。
公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
用途：常用于证明或判断直线是否在平面内.
图形语言：
符号语言：。
公理2：不共线的三点确定一个平面.
用途：用于确定平面。根据公理2，不共线的三点可以确定一个平面，我们把它记成平面。
图形语言：
公理3：如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
图形语言：符号语言：。用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.
同学们，看书后学习小组进行讨论回答：平面的性质是什么呢？用符号语言怎样表示呢？
平面的性质是判断共面的依据，要认真体会。
好，请各个小组指派一名学生回答刚才的问题。
看课件：平面的基本性质
例题解答
（出示《课件3》）给出一些问题，学生小组讨论，完成导学内容，并派代表说出小组结论，教师汇总结果并反馈。
老师出示课件规范解答
★例1、 将下列文字语言转化为符号语言，图形语言.
(1)直线经过平面外一点；
(2)，，，，。
【解答】（1）。
图形语言略。
▲概念辨析、公理应用（1）
★例2、下列命题中正确的是 （ D ）
A．一条直线和一个点确定一个平面 B．三点确定一个平面
C．三条平行线确定一个平面 D．两条相交直线确定一个平面
【解答】A、公理2的简单推论：一条直线和直线外一点可以确定一个平面；
B、公理2的直接应用：不共线的三点可以确定一个平面；
C、三棱柱，为模型，三棱柱的三条棱互相平行，确定三个平面。
D、公理2的简单推论：两条相交直线可以确定一个平面。
▲共线、共面问题，公理应用（2）
★例3、如图，已知直线、和两两相交，且三线不共点.
求证：直线、和在同一平面上.
证明：由条件，A,B,C三点不共线，根据公理2，A,B,C三点共面，记作平面ABC。
结合公理1，、、三线共面。
★例4、在正方体中，与截面相交于，.求证：三点共线.
证明：由条件，面，与截面相交于，从而
面截面；
又面截面=，
从而，即三点共线.
我们学习了三个公里，接下来大家看导学案的例题并给出解答。
请每个小组的代表说出你们的结论。
符号语言要注意点在平面内和直线在平面内符号区别，这点往往会表示错误，需要重点防范。
看多媒体订正自己的答案。
现在我来小结一下：
例1小结：
进行语言翻译的时候，注意正确使用集合语言；
画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）。
例2小结：注意公理中的限制条件。
例3小结：
证明三线共面问题的两个方法
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。
例4小结：
证明三点共线问题，我们采用的基本方法是“构造交线法”。利用公理2以及公理1，构造出两个平面的交线，利用交线的特点来证明问题。
巩固提高
学生先独立思考完成导学，之后小组交流老师参与其中指导个别组和学生。之后教师出示《课件4》，学生与课件内容对比，订正自己解题思路和步骤。
◆挑战题
☆1、空间中A、B、C、D、E五个点，已知在A、B、C、D同一个平面内，B、C、D、E在同一个平面内，那么这五个点（ B）
A共面 B不一定共面 C不共面 D 以上都不对
【解答】当B、C、D三点不共线时，五点共面，当B、C、D三点共线时，五点不一定共面。
☆2、平面，点，且，又，过A、B、C三点确定的平面记作，则是（ C ）
A．直线AC B．直线BC C．直线CR D．以上都不对
☆3、如图，已知：是正方体D的棱的中点.求证：三线共点.
证明：连接,，,,
根据条件,，因此四边形为梯形，
从而与相交，记作，即；
由条件，
从而，即，即三线共点.
接下来，考验大家的时候到了，请同学们独立思考完成以下题目，之后学习小组互相交流，看自己能否得到准确答案。
好，请同学们看多媒体：
课堂练习：
学生看《导学案》完成（练习题）
学生独立思考解决，后老师初始课件展示答案，学生自主纠正
下面同学们独立完成导学案上的联系
好，请看多媒体这些题目的解答：
三、总结
（归纳总结课堂检测）
(4分钟)
总结、布置作业
学习总结： 提醒学生对本节课所学内容进行总结，（1）对学生出现的问题进行点拨；（2）强调本节课的重难点。对学习过程中出现的问题做好整理反思，教师出示《课件5》使全体学生记忆校对自己的总结.
同学们，这节课我们共同学习了：
(1)平面的概念及其表示方法；(2)平面的性质的三个公理及其简单应用：
第一，利用三条公理判别概念的时候，一定要注意公理中的限制因素；
第二，利用三条公理证明三点共线和三线共点这类问题的时候，一定要注意构造出两个平面的交线，利用“两个平面的公共点全部位于同一交线上”的特点来解决问题。
四、作业
（布置作业）
(1分钟)
布置课后作业，提出拓展问题。
适当的布置课后作业。
预习下一课《空间中直线与直线的位置关系》
拓展问题：结合例题和挑战提，总结体会三个性质的应用。
同学们，根据我们今天学习的内容，课后完成作业：课本第43页，习题2.1A组第1、2、3、4题，1、2小题写在课本上，3、4小题写在作业本上。
同时思考今天的拓展问题，将你的答案写在作业本上。
预习下一课时《空间中直线与直线的位置关系》。
