福安一中 23 级高一下第一次月考数学试卷参考答案
一 单选题：
1、【答案】B【详解】复数 z 1 i在复平面内所对应的点的坐标为 1,1 ，位于第二象限.故选：B
2.【答案】C【详解】∵平面向量 ， ，且 ，∴ ，解得 m＝4，
∴ ＝（1，﹣2）+（﹣2，4）＝（﹣1，2）．故选：C．
2 3 2 2 2
【答案】A【解】由 a b a b ，可得a 2a b b a 2a b b ，所以 a b 0，
1 1 2 2 2
因为 a , b ，可得 2a 3b 4a 12a b 9b 1 0 1 2，所以 2a 3b 2 .故选 A.
2 3
4.【答案】B【详解】依题意， ．选：B．
1 5. 【 答 案 】 A 【 详 解 】 因 为 点 O 是 BC 的 中 点 ， 所 以 AO AB AC ， 又 因 为2
m n
AB mAM , AC nAN (m,n 0)所以 AO AM AN ，因为O,M ,N
2 2
m n
三点共线，所以 1，所以m n 2 .故选：A
2 2
6.【答案】D
7.【答案】A 解：如图，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，
从而∠ACB＝45°．在△ABC 中，由正弦定理可得 BC＝ ×sin30°＝
10 ．故选：A．
8.【答案】B【详解】已知 3sin2 B 2sin2 C sin2 A sin A 2sin B sinC
由正弦定理可知： 3b2 2c2 a2 2bc sin A， 3b2 2c2 a2 2bc sin A，
2 2 2 2 2
整理得： b2 c2 a2 2b2 c2 2bcsin A 2bc b c a 2b c，两边同除 得： sin A，
2bc 2bc
b c
根据余弦定理得： cos A
b c
sin A，即 sin A cos A 2 sin
A ，
c 2b c 2b 4
b 0 c 0 b c 2 b c b c， ， 2，当且仅当 ，即 时等号成立.
c 2b c 2b c 2b c 2b
又
b c
sin A cos A 3 2 sin A
2c 2b 4 ，当且仅当
A 时，等号成立.
4
b c b c b c 3
综上所述： 2且 2，故得： 2，此时
c 2b c 2b c 2b c 2b且 A ，4
S 1 bc sin 3 2
S 2 bc 2 c 2 1
bc ， 2 2 .2 4 4 b 4 b2 4 b 4 2
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部
选对得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9.【答案】BD【详解】由于复数 z 3 2i ，所以 z 的实部为 3，虚部为 2，所以 z 3 2i ，
z 3 2 22 13 .所以 AC 选项错误，BD 选项正确.故选：BD
1
{#{QQABaQwUoggAAJJAABhCAQFgCgMQkACACIoGAEAEMAAAiBFABAA=}#}
10.【答案】ABC解：对于 A，因为 ＝3×1+（﹣1）×（﹣2）＝5，故正确；对于 B，与 同向的
单位向量是 ＝ （3，﹣1）＝（ ，﹣ ），故正确；对于 C，cos ＝
＝ ，∴ ＝ ，故正确；对于 D，设与 垂直的单位向量为 ＝（x，y），
则 x2+y2＝1，x＝2y，解得 或 ．故错．故选：ABC．
11.【答案】AC 解：对于 A：在△ABC中，利用正弦定理得：a：b：c＝sinA：sinB：sinC，故 A正确；
对于 B：在△ABC中，若 sin2A＝sin2B，所以 2A＝2B或 2A＝π﹣2B，整理得 A＝B或 A+B＝ ，即 A
＝B或C＝ ，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C：△ABC中，当 sinA＞sinB 2RsinA
＞2RsinB a＞b A＞B；当 A＞B a＞b 2RsinA＞2RsinB sinA＞sinB，故 sinA＞sinB是 A＞B的充要条
件，故 C正确；对于 D：在△ABC中，若 sinA＝ ，则 A＝ ，故 D错误．故选：AC．
12【答案】ACD【详解】对于 A，由量 a 1, 3 ,b cos ,sin ，a b ，得 cos 3 sin 0，
3 2x 6 0
解得 tan ，A正确；对于 B，由 a,b 的夹角为锐角，得 cos a,b 0且 a,b不共线，则 ，
3 3x 4
4
解得 x 3且 x ，因此“ a ,b 的夹角为锐角”是“ x 3”的充分不必要条件，B错误；对于 C，由向量
3
a 4,3 ,b 1,3 ，得 a b 4 1 3 3 5,| b | 12 32 10 ，因此 a在b 方向上的投影向量
a b b 1 1 3为 b ( , )，C正确；对于 D，在 ABC中，
| b | | b | 2 2 2
( A B A C ) BC ( A B A C ) (AC AB) | AC | | AB | AB AC AB AC
AB AC AB AC AB AC
BA BC 1
(| AC | | AB |)(1 cos A) 0，而 1 cos A 1，因此 | AB | | AC |，由 ，得BA BC 2
cosB 1 π，又0 B π，则 B ，所以 ABC为等边三角形，D正确.故选：ACD
2 3
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13【答案】 2
m2 4 0
【详解】 ，解得m 2 .故答案为： 2 .
m 2 0
14.【答案】
【详解】由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）＝ab可得 a2+b2﹣c2+2ab＝ab
2
{#{QQABaQwUoggAAJJAABhCAQFgCgMQkACACIoGAEAEMAAAiBFABAA=}#}
即 a2+b2﹣c2＝﹣ab由余弦定理得：cosC＝ ＝ 又因为 0＜C＜π，所以 C＝ ．
15.【答案】 3 1
【详解】∵ DBC 45 ， DAC 15 ，∴ BDA 30 ，
AB BD
在△ABD中，由正弦定理有 ，
sin ADB sin BAD
50 BD 6 2
即 ，即 BD 100sin15 100 25( 6 2)，
sin 30 sin15 4
BCD CD BD 25 25 6 2在△ 中，由正弦定理有 ，即 ，
sin DBC sin BCD sin 45 sin BCD
所以 sin BCD 3 1，因此 cos sin( BCD) sin BCD 3 1.故答案为： 3 1.
16.【答案】2
【详解】以 ABC外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图，因为等边 ABC的边长为 3，则
BC
2r r 1，设 A(1,0),B( 1 , 3 ),C( 1 , 3 ),P(cos ,sin ) ，
sin A 2 2 2 2
则 PA (1 cos , sin ),PB 1 ( cos , 3 1 3 sin ) ， PC ( cos , sin ) ，
2 2 2 2
所以 PC PB ( 1 2cos , 2sin )，
PA PB PC (1 cos , sin ) ( 1 2cos , 2sin ) 1 cos ，
因为 1 cos 1，所以0 1 cosα 2
所以 PA PB PC 的最大值为 2．故答案为：2
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、本题 10 分
【小问 1 详解】
设向量 c (x, y)，由 a (1, 2)， | c | 2 5， c / /a，
x2 y2 2 5 x 2 x 2
所以 ，解得 或 ，所以y 4 y 4 c (2, 4)
或 c ( 2, 4) . ------5 分
2x y
【小问 2 详解】
因为 a 2b与 2a b垂直，则 (a 2b ) (2a b ) 2a2 3a b 2b 2 0，
又 | b | 5 ， | a | 5，所以 2 5 3a
5 5
b 2 0，得 a b ，
2 4 2
3
{#{QQABaQwUoggAAJJAABhCAQFgCgMQkACACIoGAEAEMAAAiBFABAA=}#}
a
5
b
所以 cos
2 1，又 [0,π]，故 π . ---------------------10分
a b 5 5
2
17.本题 12 分
解：（1）∵A，B，C三点共线，∴不妨设 ＝k ，
∵ ＝ ﹣ ＝t ﹣ ， ＝ ﹣ ＝ （ + ）﹣ ＝ + ，
∴t ﹣ ＝k（ + ），
∴t＝ ，﹣1＝ ，∴t＝﹣ ； ------6分
（2）∵ 且 与 夹角为 120°，
∴ ＝| | | | cos120°＝﹣ ，
∴ 2＝| |2+x2| |2﹣2x ＝1+x2+x＝（x+ ）2+ ，
当 x＝﹣ 时，取的最小值，最小值为 ． ---------------------12分
19.本题 12 分
【详解】（1）设 B a,b ，因为 AB所对的复数是 3 i，所以 AB 3,1 a 1,b 2 ，
a 1 3 a 2
所以 B 2,3 b 2 1 ，解得 ，所以 ，则OA 1,2 ,OB 2,3 ， b 3
cos AOB OA OB 4 4所以 5 13 65 ，则 sin AOB 1
16 7
，
OA OB 65 65
S 1
所以 AOB OA OB sin AOB
1 5 13 7 7
2 2 2 ；--------------------6 分65
（2）设小狗所在的位置为 P，OP OA R ，
则OP , 2 ，故 P , 2 ，则 BP 2,2 3 ，当 BP OA时，点 P到点 B的距离最短，
则 BP OA 2 2 4 82 3 0 ，解得 = 4 ，即 P ,
5 5 5
，
4
所以小狗在 ,
8
时，离小明最近.---------------------12 分
5 5
20.本题 12 分
【小问 1 详解】设 AD DC x，
7 x2 9 7 x2 7 x
由余弦定理可得 cos ADB , cos CDB ,
2 7x 2 7x 2 7
4
{#{QQABaQwUoggAAJJAABhCAQFgCgMQkACACIoGAEAEMAAAiBFABAA=}#}
又 cos ADB cos CDB
7 x2 9 x
， x 1，即 AC 2 . -----------------------------6 分
2 7x 2 7
【小问 2 详解】
32 221 cos A 7 1
由（ ）知 ，因为 0 A ，所以 A ，
2 3 2 2 3
由 S ABE S ACE S ABC 可得，
1
3AE sin 30 1 2AE sin 30 1 3 2 sin 60 ，
2 2 2
6 3
即5AE 6 3 解得 AE . ----------------------------------------12分
5
21.本题 12 分
解：（1） ，
（B为锐角），
； ——————————6分
（2）由 得 ac＝a2+c2﹣4，
∵a2+c2≥2ac，∴ac≤4．
∴ ，
即 S△ABC的最大值为 ．----------------------------------------12分
22、本题 12 分
【小问 1 详解】
选择条件①， 2a b 2ccosB，
2 2
ABC a c b
2 a2 c2 b2
在 中，由余弦定理得 2a b 2c b ，
2ac a
a22 2 b
2 c2 1 π
整理得 a b c2 ab，则 cosC ，又C 0, π ，所以C ；
2ab 2 3
选择条件②， 2a sin AcosB bsin 2A 2 3a cosC ，
于是 asin AcosB bsin Acos A 3acosC，
由正弦定理得 sin2 Acos B sin Asin Bcos A 3 sin AcosC ，
5
{#{QQABaQwUoggAAJJAABhCAQFgCgMQkACACIoGAEAEMAAAiBFABAA=}#}
因为 sin A 0，则 sin AcosB sin Bcos A 3 cosC ，即 sin A B 3 cosC，
因为 A B C π，因此 sinC 3 cosC ，即 tanC 3，又C 0, π π，所以C ；3
选择条件③， 3sinC 3 2cos2 C ，则 3 sinC 2 2cos
2 C 1 2 cosC，2 2
π
所以 3sinC cosC 2，则 sin C 6
1，又C 0, π ，
C π π , 7π π π π即有 ，则C ，所以C ；------5 分6 6 6 6 2 3
【小问 2 详解】
π 2π
由（1）知，C ，有 ABC BAC ，
3 3
而 BAC π与 ABC的平分线交于点 I，即有 ABI BAI ，
3
AIB 2π于是 ， -------------6 分
3
π π
设 ABI ，则 BAI ，且0 ，------------7 分
3 3
BI AI AB 2 3
2π 4在△ABI中，由正弦定理得
sin π sin sin AIB sin
，---8 分
3 3
所以 BI 4sin
π
， AI 4sin ，
3
2 3 4sin π 所以△ABI的周长为 4sin -----------------9分
3
2 3 4 3
cos
1
sin 4sin =2 3 2sin +2 3 cos =2 3
π
4sin +
，
2 2 3
0 π π π 2π由 ，得 ，
3 3 3 3
则当 + π π π ，即 = 时，△ABI的周长取得最大值
3 2 6 4 2 3
，
所以△ABI周长的最大值为 4 2 3 .-------------12分
6
{#{QQABaQwUoggAAJJAABhCAQFgCgMQkACACIoGAEAEMAAAiBFABAA=}#}福安一中 23 级高一下第一次月考
数 学 试 卷
一 单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．复数 z 1 i在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知平面向量 a 1， 2 ，b 2，m ，且 a //b，则 a b等于（ ）
A． 1 , 6 B． 1 , 1 C． 1 ,2 D． 1 , 3
1 1 r r
3. 已知 a ， b ，若 a b a b ，则 2a 3b （ ）
2 3
A. 2 B. 2 2 C. 4 2 D. 4
4．如图所示的△ABC 中，点 D 是线段 AC 上靠近 A 的三等分点，点 E 是线段 AB 的中点，则 DE＝
（ ）
1 1 1 1
A． BA BC B． BA BC
3 6 6 3
5 1
C. BA BC 5 1D． BA BC
6 3 6 3
5. 如图所示，在 ABC中，点O是 BC的中点，过点O的直线分别交直线 AB、AC于不同的两点
M、N ，若 AB mAM , AC nAN (m,n 0)，则m n的值为（ ）
9
A. 2 B. 3 C. D. 5
2
6. 已知点O为 ABC 所在平面内一点，若动点 P满足OP OA AB AC 0 ，则点一定
P经过 ABC 的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心
1
{#{QQABaQwUoggAAJJAABhCAQFgCgMQkACACIoGAEAEMAAAiBFABAA=}#}
7．一艘海轮从 A处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后到达 B
处，在 C处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是
北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是（ ）海里．
A．10 B．20
C．10 D．20
8．已知 ABC中，设角A、B、C所对的边分别为 a、b、c， ABC的面积为S，若
3sin2 B 2sin2 C sin A sin A 2sin B sinC S，则 的值为（ ）
b2
1 1
A． B． C．1 D．2
4 2
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全
部选对得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．已知复数 z 3 2i，则下列说法正确的是（ ）
A． z的实部为 3 B． z的虚部为 2 C． z 3 2i D． z 13
10．已知a 3， 1 ，b 1， 2 ，则正确的有（ ）
A．a b 5 B．与 同向的单位向量是
C． 和 的夹角是 D．与 垂直的单位向量是
11．下列说法正确的有（ ）
A．在△ABC中，a：b：c＝sinA：sinB：sinC
B．在△ABC中，若 sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形
C．△ABC中，sinA＞sinB是 A＞B的充要条件
D．在△ABC中，若 sinA＝ ，则 A＝
12. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知向量 a 1, 3 ,b cos ,sin tan 3，若 a b ，则
3
B. 已知向量 a 2,3 ,b x,2 ，则“ a,b 的夹角为锐角”是“ x 3”的充要条件
2
{#{QQABaQwUoggAAJJAABhCAQFgCgMQkACACIoGAEAEMAAAiBFABAA=}#}
C. 若向量 a 1 3 4,3 ,b 1,3 a ，则 在b 方向上的投影向量的坐标为 ,
2 2
ABC
AB AC BA BC 1
D. 在 中，向量 AB与 AC满足 BC 0，且 ， AB AC BA BC 2
则 ABC为等边三角形
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 已知复数 m2 4 m 2 i, m R 是纯虚数，则m ________．
14．设△ABC的内角 A，B，C，所对的边分别是 a，b，c．若 a b c a b c ab，
则角 C＝ ．
15．如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC的顶上有一高度为 25m的
建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 ，在山坡的A处
测得 DAC 15 ，沿山坡前进50m到达 B处，又测得 DBC 45 ，
根据以上数据得 cos ．
16. 已知 ABC是边长为 3的正三角形，点 P是 ABC的外接圆上一点，则 PA PB PC 的最
大值是
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 本题 10 分
已知 a,b,c是同一平面内的三个向量， a (1, 2) .
（1）若 | c | 2 5，且 c / /a，求 c的坐标；
（2）若 | b | 5 ，且 a 2b与2a b垂直，求 a与b的夹角 .
2
18．本题 12 分
设 a,b是两个不共线的非零向量（t∈R）．
（1）记OA a，OB tb，OC
1
a b ，那么当实数 t为何值时，A，B，C三点共线？3
（2）若 a b 1且 a与b夹角为 120°，那么实数 x为何值时 a xb 的值最小，并求出最小值．
3
{#{QQABaQwUoggAAJJAABhCAQFgCgMQkACACIoGAEAEMAAAiBFABAA=}#}
19.本题 12 分
在复平面上有点 A(1,2)
和点 B，AB所对的复数是 3 i．已知小明在点 B处休憩，有只小狗沿着
OA所在直线来回跑动．
(1)求 OAB的面积；
(2)问：小狗在什么位置时（即小狗的坐标），离小明最近？
20. 本题 12 分
已知 ABC中，D是 AC边的中点． BA 3， BC 7，BD 7．
（1）求 AC的长； （2） BAC的平分线交 BC于点 E，求 AE的长．
21．本题 12 分
已知△ABC的内角为 A、B、C，其对边分别为 a、b、c，B为锐角，向量m 2sin B, 3 ，
n cos 2B, 2cos
2 B 1 ，且2 m // n
（1）求角 B的大小；
（2）如果 b＝2，求 S△ABC的最大值．
22. 本题 12 分
已知条件：①2a b 2ccosB；② 2a sin AcosB bsin 2A 2 3a cosC ；
2 C
③ 3sinC 3 2cos 。从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：
2
在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，满足：____.
（1）求角 C的大小；
（2）若 c 2 3， ABC与 BAC的平分线交于点 I，求△ABI周长的最大值.
4
{#{QQABaQwUoggAAJJAABhCAQFgCgMQkACACIoGAEAEMAAAiBFABAA=}#}
