课件16张PPT。探索勾股定理2第三章 勾股定理教学目标 1、尝试用多种方法验证勾股定理。
2、会熟练运用勾股定理进行简单的计算和应用．1.上节课学习了勾股定理，它的内容是什么？直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.a2+b2=c2勾股定理是否正确呢？有没有什么方法来验证呢？(1)请同学们剪出四个全等的直角三角形，（如右图）(2)用它们拼一拼、摆一摆，看看是否能拼出一个边长为c的正方形，并与同伴交流。 活动一 ? 你能利用它说明勾股定理吗？ （3）有人利用这4个直角三角形拼出了右图，你能用两种方法表示大正方形的面积吗？大正方形的面积可以表示为 —————————— 又可以表示为：———————对比两种表示方法，你得到勾股定理了吗？(a+b)2走进数学史试一试? 请利用此图象，证明勾股定理：
a2+b2=c2探索勾股定理美国第二十任总统伽菲尔德总统巧证勾股定理返回勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
现在在网络上看到较多的是16种,包括前面的6种,还有:
欧几里得证明、 利用相似三角形性质证明、
杨作玫证明、 李锐证明、
利用切割线定理证明、 利用多列米定理证明、
作直角三角形的内切圆证明、利用反证法证明、
辛卜松证明、 陈杰证明。走进数学史例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。飞机每时飞行多少千米？ABC学以致用4000米5000米20秒后如图,一根旗杆在离地面9米处折裂,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆原来有多高?12米9米议一议 观察右图，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足 a2+b2=c2. 活动二 ? 观察右图，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足 a2+b2=c2.在?ABC中, a，b，c为三边长,其中 c为最大边,
若a2 +b2=c2, 则?ABC为直角三角形;
若a2 +b2>c2, 则?ABC为锐角三角形;
若a2 +b2?ABC面积为_____,斜边为上的高为______. ??244.8（2）一个零件的形状如图，
已知：AC＝3cm,AB＝4cm，BD＝12cm,求CD说说这节课你有什么收获？内容总结：（1）运用勾股定理的条件是什么？
（2）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？
（3）勾股定理有什么用途？方法总结：用直角三角形三边表示三个正方形面积——观察归纳发现勾股定理——任意画一个直角三角形，再验证自己的发现。课件19张PPT。探索勾股定理1第三章 勾股定理你想知道吗? 国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明妈妈买了一部42英寸（106厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有85厘米长和64厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？~探索勾股定理教学目标 1、用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系。
2、会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．ABC916？怎么求SR的大小？
有几种方案？如图，小方格的边长为1.C求正方形R的面积？用“补”的方法SR用“割”的方法QSR（图中每个小方格代表一个单位面积）（1）在图中，正方形A中含
有 个小方格，即A的面积
是 个单位面积.
正方形B的面积是____个
单位面积.
正方形C的面积是_____
个单位面积.99918探究勾股定理把正方形C分割成若干个直角边为整数的三角形来求（单位面积）（单位面积）把正方形C可以看成边长为6的正方形面积的一半（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2（2）在图2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？（3）你能发现图1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图2呢？SA+SB=SC即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积（1）观察图1、图2，并填写右表： A的面积（单位面积） B的面积（单位面积） C的面积（单位面积）图1图2169254913 做一做（2）右图中正方形A,B，C的面积之间有什么关系？SA+SB=SC即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积ABCSA=a2SB=b2SC=c2abca2+b2=c2设：直角三角形的三边长分别是a、b、c猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？SA+SB=SC探索勾股定理 中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股，斜边叫做弦.
据《周髀算经》记载，西周战国时期（约公元1千多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5.345∟勾股弦人们还发现，在直角三角形中，勾是6，股是8，勾是5，股是12，弦一定是13， 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称为勾股定理.弦一定是10；应用勾股定理 已知△ABC的三边分别是a，b，c，
若∠B=90度，则有关系式（ ）A.a2+b2=c2B.a2+c2=b2C.a2-b2=c2D.b2+c2=a2ABC选一选应用勾股定理讲一讲86ABC求图中直角三角形的未知边的长度。1517ABC勾股定理，想得再多一点 国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明妈妈买了一部42英寸（106厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有85厘米长和64厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？~回头再看看通过本课时的学习，需要我们掌握：
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即1.1探索勾股定理
一．教学目标
(一)知识点
1.体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验证勾股定理.
2.会利用勾股定理解释生活中的简单现象．
(二)能力训练要求
1.在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．
2.在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力．
(三)情感与价值观要求
1.培养学生积极参与、合作交流的意识．
2.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气．
二．教学重、难点
重点：探索和验证勾股定理．
难点：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．
三．教学方法
交流—探索—猜想.
在方格纸上，同学们通过计算以直角三角形的三边为边长的三个正方形的面积，在合作交流的过程中，比较这三个正方形的面积，由此猜想出直角三角形的三边关系．
四．教具准备
1.学生每人课前准备若干张方格纸.
2.投影片三张：
第一张：填空(记作§2.1 A)；
第二张：问题串(记作§2.1 B)；
第三张：做一做(记作§2.1 C).
五．教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
出示投影片(§2.1 A)
(1)三角形按角分类，可分为_________、_________、_________.
(2)对于一般的三角形来说，判断它们全等的条件有哪些？对于直角三角形呢？
(3)有两个直角三角形，如果有两条边对应相等，那么这两个直角三角形一定全等吗？
［师］上面三个小问题是我们以前讨论过的，我们简单的回忆一下.
［生］(1)三角形按角的大小来分类可分为：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；
(2)对于一般三角形来说，我们可以用SAS(边角边)、ASA(角边角)、AAS(角角边)、SSS(边边边)来判断两个三角形全等；而对于直角三角形来说，除以上四种方法外，还可以用HL(即有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等).
(3)两个直角三角形，有两边对应相等，有两种情况：
第一种情况：两条直角边对应相等，这时，我们可注意到它们的夹角也对应相等，利用SAS可判断它们全等.
第二种情况：一条直角边和斜边对应相等，利用HL公理即可判断它们全等.
综上所述，两个直角三角形，如果有两边对应相等，则这两个直角三角形全等.
［师］我们可以注意到直角三角形有它独有的一些特征.在我们学习和生活中，你是否还发现直角三角形的其他特征呢？
这节课，我们就来继续研究直角三角形.
Ⅱ.讲述新课
1.问题串
［师］(出示投影片§2.1 B)
观察下图，并回答问题：
(1)观察图1.
正方形A中含有_________个小方格，即A的面积是_________个单位面积；
正方形B中含有_________个小方格，即B的面积是_________个单位面积；
正方形C中含有_________个小方格，即C的面积是_________个单位面积.
(2)在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流.
(3)请将上述结果填入下表，你能发现正方形A，B，C的面积关系吗？
A的面积(单位面积)
B的面积(单位面积)
C的面积(单位面积)
图1
图2
图3
［生］在图1中，正方形A含1个小方格，所以它的面积是1个单位面积；正方形B含1个小方格，所以B的面积也是1个单位面积；正方形C含2个小方格，所以C的面积是2个单位面积.
［师］如何求得正方形C的面积呢？
［生］正方形C可划分为四个直角边长都为1个单位的四个全等的等腰直角三角形，所以C的面积为4×(×1×1)=2个单位面积.
［生］我们观察可发现，这四个等腰直角三角形重新拼摆，刚好可拼摆成2个小方格，所以C的面积为2个单位面积.
［生］正方形C还可以看成边长为2个单位的正方形面积的一半，即C的面积为×22=2个单位面积.
［师］同学们能够不拘一格地积极思考问题，用多种方法去求得图1中C的面积，值得发扬广大，那么图2，图3中的A，B，C的面积是否可借鉴图1中的A，B，C的求法获得呢？请与你的同学们讨论、交流。
［生］图2中，A含有9个小方格或者说正方形A的边长是3个单位长度，都可以求得A的面积是9个单位面积；同理可求得B含有9个小方格，所以B的面积为9个单位面积；对于正方形C来说，我们观察可发现它含有18个小方格，所以C的面积为18个单位面积.
［师］看来，同学们已能从图2中很容易地就求得了A，B，C的面积.是不是在求C的面积时也和图1相类似，有多种求法呢？
［生］是的.在正方形C中，我们可以把它的边缘的12个全等的等腰直角三角形拼摆成6个小方格，再加上中间的12个小方格，正方形C共含有18个小方格，所以它的面积为18个单位面积；我们也可以把C分割成四个直角边为3个单位长度的等腰直角三角形，也可算得C的面积为4×(×32)=18个单位面积.
［生］如果把组成C的四个等腰直角三角形沿正方形的边向外翻，我们观察又可发现C在边长为6个单位长度的正方形中，并且C的面积恰好是这个正方形面积的一半即×62=18个单位面积.
［生］图3与图1，图2类似，所以我们可用同样的方法观察求得A，B，C各含4个，4个，8个小方格，面积分别为4个，4个，8个单位面积.
［师］把三个图中A，B，C的面积分别填入上面的表格中，你能发现它们的关系吗？
［生］C的面积=A的面积+B的面积.
(表格略)
［师］很好！但是A，B，C的面积为什么会有这种关系呢？我们接着观察这三个图，你能发现什么？
［生］在前面您说过这节课我们主要研究直角三角形，而在这三个图中，都是三个正方形围着一个直角三角形.
［师］的确如此，从图中我们可以发现：三个正方形好像是“长”在直角三角形的三边上.
［生］这说明三个正方形的边长分别是以直角三角形的三边为边长得到的.
［师］那么，(3)的结论即C的面积=A的面积+B的面积与三角形有什么关系？这个关系说明什么？大家可以讨论、交流.
［生］C是斜边上的正方形，所以C的面积是斜边的平方；A，B是两直角边上的正方形，所以A，B的面积分别是这两条直角边的平方.根据A，B，C的面积关系，我们不难发现：斜边的平方就等于两直角边的平方和.
［师］但是，我们也不难发现上面3个图中的直角三角形是等腰直角三角形？如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，会不会也有这种三边关系呢？
2.做一做
出示投影片(§2.1 C)
(1)观察图4，图5，
并填写下表：
A的面积(单位面积)
B的面积(单位面积)
C的面积(单位面积)
图4
图5
你是怎样得到上面结果的？与同伴交流.
(2)三个正方形A，B，C的面积之间的关系？
(让学生先独立思考，然后填写上面的表格.最后以小组为单位充分交流各自的想法，特别是在计算斜边上的正方形的面积即正方形C的求法)
［师生共析］根据图4，图5可填表如下：
A的面积(单位面积)
B的面积(单位面积)
C的面积(单位面积)
图4
16
9
25
图5
4
9
13
我们先来观察图4，不难看出A，B分别含有16个小方格，9个小方格，所以A、B的面积分别为16个单位面积，9个单位面积，但斜边上的正方形C的面积的计算较为复杂，我们可用以下几种方法求得：
第一种方法：将正方形C分割成4个直角边长分别为3、4全等的直角三角形和中间的一个小方格，利用计算三角形面积的公式可得正方形C的面积为4×(×3×4)+1=24+1=25个单位面积.
第二种方法：直接数正方形C中含有多少个小方格，但需要适当的拼凑，在第一种方法中，我们将正方形分割成5部分，直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ和一个小方格，其中直角三角形Ⅰ、Ⅲ可拼凑成一个长和宽分别为3和4的长方形，含有12个小方格，同理Ⅱ、Ⅳ也可拼凑成12个小方格，所以正方形C中共有12+12+1=25个小方格即C的面积为25个单位面积.
第三种方法：可将直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ沿正方形C的边外翻，就得到一个边长为7个单位长度的正方形，这时正方形C的面积就为(49－1)÷2+1=25个单位面积.
图5与图4同理.
我们从上表不难发现16+9=25，4+9=13即C的面积=A的面积+B的面积.
［师］图4和图5中的三个正方形A，B，C也是由中间的直角三角形“长”出来的，你能从三个正方形的面积关系与直角三角形的三边联系吗？
［生］图4中的正方形A，B，C的面积分别是直角三角形两条直角边的平方和斜边的平方，根据三个正方形的面积关系，我们不难发现，在这个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.由图5我们也可得出同样的结论.
3.议一议
［师］我们通过对前面几个直角三角形的讨论，分析，你能归纳出直角三角形三边长度存在的关系吗？用自己的语言表达你的重大发现与同伴交流.
［生］在直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边的平方.
［师］这是由前面几个特例猜想出来的，是否合理呢？我们不妨作几个直角三角形检验一下.例如，作一个分别以5厘米、12厘米为直角边的直角三角形，然后测量斜边的长度，通过计算看一下直角三角形三边的规律还成立吗？
［生］1.作一个直角∠MCN；
2.以C为圆心，分别以5厘米、12厘米为半径画弧交CM、CN于点A，B；
3.连结AB.
用刻度尺量出斜边AB的长度(强调注意测量的误差)为13厘米.经检验斜边AB2=132=169，两直角边平方和AC2+BC2=52+122=25+144=169.即两直角边的平方和等于斜边的平方.
［师］很好.同学们不妨多作几个不同的直角三角形，用上面的方法检验直角三角形三边的关系.
［师生共析］通过特例猜想、检验，我们不难发现，直角三角形的三边的规律是成立的，这就是我们将要介绍的重点内容——勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
4.读一读(课本P5)
古代人就对勾股定理有过深入的研究，几大文明古国都有相应的勾股定理的记载.我国是最早发现勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角.如果勾(即直角三角形中较短的直角边)等于3，股(即直角三角形中较长的直角边)等于4，那么弦(即直角三角形中的斜边)等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式.因此，我们也把勾股定理称为商高定理，而把商高称为“勾股先师”.在西方，把勾股定理又称为“毕达哥拉斯”定理.相传二千多年，希腊著名数学家毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此他们还举行了一次空前规模的庆祝活动，宰杀了一百头牲畜.但因此也引发了数学的第一次危机——边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或分数来表示.
关于勾股定理的记载还有很多，同学们如果有兴趣，可查阅有关这方面的资料。
所以说勾股定理有着悠久的历史，它反映了古代人民的聪明才智.
5.想一想
［师］小明的妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机.小明量了电视机的荧屏后，发现荧屏只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
［生］我听爸爸说过，29英寸或74厘米的电视机，是指荧屏对角线的长度，而不是其长或宽.
［生］可是，连结荧屏的对角线将长方形的荧屏分成全等的两个直角三角形.根据勾股定理，长2+宽2=742，可582+462≠742，这是为什么呢？
［生］因为荧屏边框遮盖了一部分，所以实际测量存在一些误差.
［师］的确如此，但这里我们要知道一个生活常识，29英寸(74厘米)指的是荧屏的对角线的长度，而非荧屏的长或宽.
6.例题讲解
［例］在△ABC中，∠C=90°
(1)若a=8，b=6，则c=_________；
(2)若 c=20，b=12，则a=_________；
(3)若a∶b=3∶4，c=10，则a=_________，b=_________.
［师生共析］
分析：在△ABC中，∠C=90°，所以有关系：a2+b2=c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”.
解：根据题意可得a2+b2=c2.
(1)若a=8，b=6，所以82+62=c2.即c2=100，c＞0，所以c=10；
(2)若c=20，b=12，所以a2+122=202，即a2=202－122=(20+12)(20－12)=32×8=162，a＞0，所以a=16；
(3)若a∶b=3∶4，可设a=3x，b=4x，所以(3x)2+(4x)2=102.化简，得9x2+16x2=100，25x2=100，x2=4，x=2(x＞0)，所以a=3x=6；b=4x=8.
评注：综合上述解法可以发现，形(即△ABC为直角三角形)与数(a2+b2=c2)的统一，所以我们说勾股定理是形与数的结合.
Ⅲ.课时小结
先由学生自己总结，然后师生共同完成.这节课我们主要研究：
1.从特例猜想出勾股定理；
2.用特例检验了勾股定理；
3.简单了解了勾股定理的历史，应用.
Ⅳ.课后作业
1.课本P30，习题2.1.
2.到网上或图书室查阅关于勾股定理的资料.
Ⅴ.活动与探究
有一根70 cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm、40 cm、30 cm的木箱中，能放进去吗？
过程：在实际生活中，往往工程设计方案比较多，应用所学的知识进行计算方可解决，而此题正是需要我们大胆实践和创新，用我们学过的勾股定理和丰富的空间想像力来解决.我们可注意到木棒虽比木箱的各边都长，按各边的大小放不进去，但木箱是立体图形，可以利用空间的最长长度.如AC′.
结果：由下图可得，AA′=30 cm，A′B′=50 cm，B′C′=40 cm.△A′B′C′， △AA′C′都为直角三角形.由勾股定理，得A′C′2=A′B′2+B′C′2.在Rt△AA′C′中.AC′最长，则AC′2=AA′2+A′B′2+B′C′2=302+402+502=5000＞702.
故70 cm的棒能放入长、宽、高分别为50 cm，40 cm，30 cm的大箱中.
六．板书设计
§2.1 探索勾股定理(一)
特例(做一做)勾股定理特例(议一议)
(直角三角形两直角
边分别为a，b，斜边
为c，则a2+b2=c2)
